Jacobsthal-numre

Jacobsthal-tal er en heltalssekvens opkaldt efter den tyske matematiker E. E. Jacobsthal .

Jacobsthal-numre

Ligesom Fibonacci-tallene er Jacobstal-tallene en af Lucas-sekvenserne

U_{n}(P,Q),

hvor P = 1 og Q = −2 [1] . Sekvens starter med tal [1] [2]

0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 683 1365 2731 5461 10923

Jacobstal-tallene er defineret af den rekursive relation [1] [2]

J_{n}={\begin{cases}0,&n=0;\\1,&n=1;\\J_{n-1}+2J_{n-2},&n>1.\\ \end{sager}}

Andre muligheder for tilbagevendende sekvensering [2] :

${\displaystyle J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n))$
${\displaystyle J_{n+1}=2^{n}-J_{n))$

Jacobstal-tallet med et givet tal kan beregnes ved hjælp af formlen [1] [2]

J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.

Jacobsthal-Luc numre

Jacobsthal-Luc-numrene er Lucas-sekvensen . De opfylder de samme gentagelsesforhold som Jacobstal-tallene, men adskiller sig i begyndelsesværdier [1] : $V_{n}(1,-2)$

j_{n}={\begin{cases}2,&n=0;\\1,&n=1;\\j_{n-1}+2j_{n-2},&n>1.\\ \end{sager}}

Alternativ formel [3] :

j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.

Jacobsthal-Luc-tallet med et givet tal kan beregnes ved hjælp af formlen [3]

j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.

Jacobsthal-Luc-sekvensen starter med tallene [1] [3]

2, 1, 5 , 7 , 17 , 31 , 65, 127 , 257 , 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16385 .

Noter

↑ 1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. Jacobsthal Nummer (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ 1 2 3 4 OEIS -sekvens A001045 = Jacobsthal -sekvens
↑ 1 2 3 OEIS -sekvens A014551 = Jacobsthal - Lucas-numre

Litteratur

A. F. Horadam . Jacobsthal-repræsentationsnumre (engelsk) (maj 1994).
Paul Barry . Trekantgeometri og Jacobsthal-tal (engelsk) , irsk matematik. soc. Bulletin (april 2003).
Zvonko Cerin . Summer af kvadrater og produkter af Jacobsthal-tal (engelsk) , Journal of Integer Sequences.

Jacobsthal-numre