Ven tal

Venlige tal  er to eller flere naturlige tal med det samme redundansindeks , forholdet mellem summen af ​​tallenes divisorer og selve tallet. To tal med samme redundans danner et venskabeligt par , n tal med samme redundans danner en venskabelig n -tupel .

At være venner er en ækvivalensrelation og genererer derfor en opdeling af positive naturlige tal i klubber ( ækvivalensklasser ) af parvise venskabelige tal.

Et tal, der ikke er en del af et venligt par, kaldes en eremit .

Redundansindekset for tallet n  er et rationelt tal , hvor det betyder summen af ​​divisorer . Et tal n er venligt, hvis der findes sådan, at . Bemærk, at redundans ikke er det samme som overskydende , hvilket er defineret som .

Redundans kan også udtrykkes som , hvor er divisorfunktionen af ​​c lig med summen af ​​de k . potenser af divisorerne af n .

Tal fra 1 til 5 er eneboere. Det mindste venlige tal er 6, som parrer med 28 med et redundansindeks på . Den samlede værdi af 2 er et heltal i dette tilfælde, hvilket ikke er sandt i mange andre tilfælde. Tal med et redundansindeks på 2 er også kendt som perfekte tal . Der er en række uløste problemer relateret til venlige numre.

På trods af ligheden mellem navne er der ingen direkte sammenhæng mellem venskabsnumre og venskabsnumre eller ledsagernumre , selvom definitionerne af disse tal også bruger divisorfunktionen.

Eksempler

I tabellen er blå tal bevist at være venlige (sekvens A074902 i OEIS ), røde tal er bevist at være eneboere (sekvens A095739 i OEIS ), tal n der er relativt prime til c (sekvens A014567 i OEIS ) er ikke farvet her , selvom de åbenbart er eneboere. De resterende numre har en ukendt status og er fremhævet med gult .

n n n n
en en en 37 38 38/37 73 74 74/73 109 110 110/109
2 3 3/2 38 60 30/19 74 114 57/37 110 216 108/55
3 fire 4/3 39 56 56/39 75 124 124/75 111 152 152/111
fire 7 7/4 40 90 9/4 76 140 35/19 112 248 31/14
5 6 6/5 41 42 42/41 77 96 96/77 113 114 114/113
6 12 2 42 96 16/7 78 168 28/13 114 240 40/19
7 otte 8/7 43 44 44/43 79 80 80/79 115 144 144/115
otte femten 15/8 44 84 21/11 80 186 93/40 116 210 105/58
9 13 13/9 45 78 26/15 81 121 121/81 117 182 14/9
ti atten 9/5 46 72 36/23 82 126 63/41 118 180 90/59
elleve 12 12/11 47 48 48/47 83 84 84/83 119 144 144/119
12 28 7/3 48 124 31/12 84 224 8/3 120 360 3
13 fjorten 14/13 49 57 57/49 85 108 108/85 121 133 133/121
fjorten 24 12/7 halvtreds 93 93/50 86 132 66/43 122 186 93/61
femten 24 8/5 51 72 24/17 87 120 40/29 123 168 56/41
16 31 31/16 52 98 49/26 88 180 45/22 124 224 56/31
17 atten 18/17 53 54 54/53 89 90 90/89 125 156 156/125
atten 39 13/6 54 120 20/9 90 234 13/5 126 312 52/21
19 tyve 20/19 55 72 72/55 91 112 16/13 127 128 128/127
tyve 42 21/10 56 120 15/7 92 168 42/23 128 255 255/128
21 32 32/21 57 80 80/57 93 128 128/93 129 176 176/129
22 36 18/11 58 90 45/29 94 144 72/47 130 252 126/65
23 24 24/23 59 60 60/59 95 120 24/19 131 132 132/131
24 60 5/2 60 168 14/5 96 252 21/8 132 336 28/11
25 31 31/25 61 62 62/61 97 98 98/97 133 160 160/133
26 42 21/13 62 96 48/31 98 171 171/98 134 204 102/67
27 40 40/27 63 104 104/63 99 156 52/33 135 240 16/9
28 56 2 64 127 127/64 100 217 217/100 136 270 135/68
29 tredive 30/29 65 84 84/65 101 102 102/101 137 138 138/137
tredive 72 12/5 66 144 24/11 102 216 36/17 138 288 48/23
31 32 32/31 67 68 68/67 103 104 104/103 139 140 140/139
32 63 63/32 68 126 63/34 104 210 105/52 140 336 12/5
33 48 16/11 69 96 32/23 105 192 64/35 141 192 64/47
34 54 27/17 70 144 72/35 106 162 81/53 142 216 108/71
35 48 48/35 71 72 72/71 107 108 108/107 143 168 168/143
36 91 91/36 72 195 65/24 108 280 70/27 144 403 403/144

Et andet eksempel er, at 30 og 140 danner et venligt par, fordi 30 og 140 har det samme redundansindeks:

Tallene 2480, 6200 og 40640 er medlemmer af klubben, da alle tre tal har et redundansindeks på 12/5.

Som et eksempel på ulige venlige tal, overvej 135 og 819 (redundansindeks 16/9). Der er også tilfælde, hvor lige tal er venlige med ulige, såsom 42 og 544635 (indeks 16/7).

Et perfekt kvadrat kan være et venligt tal, for eksempel 693479556 (kvadraten på 26334) og 8640 har et redundansindeks på 127/36 (dette eksempel er af Dean Hickerson).

Eremittal

Numre, der tilhører en klub af et element, da der ikke er andre numre, der er venlige med dem, er eneboere. Alle primtal er eneboere. Mere generelt, hvis tallene n og er coprime , dvs. den største fælles divisor af disse tal er 1, og derfor er en irreducerbar brøk, så er tallet n en eremit (sekvens A014567 i OEIS ). For et primtal p har vi , og dette tal er relativt primtal til p .

Der kendes ingen generel metode til at afgøre, om et nummer er et eremitnummer eller et vennenummer. Det mindste tal, hvis klassificering er ukendt (fra 2009) er tallet 10. Der er et forslag om, at det er en eremit, hvis det ikke er det, er dens mindste ven et ret stort tal, ligesom tallet 24 - selvom tallet 24 er venlig, dens mindste ven er nummeret 91.963.648. For tallet 10 er der intet venligt tal mindre end 2.000.000.000 [1] .

Store klubber

Et åbent problem er, om der er uendeligt store klubber eller gensidigt venlige numre. De perfekte tal danner en kølle, og der er en antagelse om, at der er uendeligt mange perfekte tal (mindst lige så mange, som der er Mersenne-tal ), men der er ingen beviser. I 2018 er 50 perfekte tal kendt, og det største kendte tal har over 46 millioner cifre i decimalnotation . Der er klubber med bedre kendte medlemmer, især klubber dannet af multiperfekte tal , det vil sige tal, hvis redundansindeks er et heltal. I begyndelsen af ​​2013 havde vennetalsklubben med et indeks på 9 2094 medlemmer [2] . Selvom køller med multiperfekte tal vides at være ret store (med undtagelse af selve de perfekte tal), er der formodning om, at disse køller er endelige.

Noter

  1. ↑ Cemra .
  2. ↑ Flammenkamp, ​​2008 .

Litteratur