Cyklisk tal

Et cyklisk tal  er et heltal , hvis cykliske permutationer af cifrene er produkterne af dette tal med successive tal. Det mest berømte eksempel på et sådant tal er 142857 :

142857 × 1 = 142857 142857 × 2 = 285714 142857 × 3 = 428571 142857 × 4 = 571428 142857 × 5 = 714285 142857 × 6 = 857142

Detaljer

For at et tal skal være cyklisk, kræves det, at multiplikation med successive tal giver permutationer af tallets cifre. Tallet 076923 betragtes således ikke som cyklisk, fordi selvom alle cykliske permutationer er produktet af tallet med nogle heltalsfaktorer , er disse faktorer ikke konsekutive heltal :

076923 × 1 = 076923 076923 × 3 = 230769 076923 × 4 = 307692 076923 × 9 = 692307 076923 × 10 = 769230 076923 × 12 = 923076

Følgende typiske tilfælde er normalt udelukket:

1. Enkeltcifre, fx 5
2. gentagne tal som 555
3. gentagne cykliske tal som 142857142857

Hvis indledende nuller ikke er tilladt i tal , så er 142857 det eneste cykliske tal i decimalnotation , som bestemt af den påkrævede talstruktur beskrevet i næste afsnit. Hvis indledende nuller er tilladt, starter rækkefølgen af ​​cykliske tal med:

(10 6 −1) / 7 = 142857 (6 cifre) (10 16 −1) / 17 = 0588235294117647 (16 cifre) (10 18 −1) / 19 = 052631578947368421 (18 cifre) (10 22 −1) / 23 = 0434782608695652173913 (22 cifre) (10 28 −1) / 29 = 0344827586206896551724137931 (28 cifre) (10 46 −1) / 47 = 0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 cifre) (10 58 −1) / 59 = 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 cifre) (10 60 −1) / 61 = 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 cifre) (10 96 −1) / 97 = 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226816134025 97268161341325 9726816134162

Sammenhæng med gentagne decimaltal

Cykliske tal er relateret til periodiske decimalbrøker af én . Et cyklisk tal med længden L har en decimalrepræsentation

1/( L + 1).

Omvendt, hvis decimalperioden for tallet 1 / p (hvor p er primtal) er [1]

p - 1

så repræsenterer cifrene et cyklisk tal.

For eksempel:

1/7 = 0,142857 142857….

Multiplicering af denne brøk giver en cyklisk permutation:

1/7 = 0,142857 142857… 2/7 = 0,285714 285714… 3/7 = 0,428571 428571… 4/7 = 0,571428 571428… 5/7 = 0,714285 714285… 6/7 = 0,857142 857142….

Cyklisk talformat

Ved hjælp af sammenhængen med brøkdele af en kan det vises, at de cykliske tal har form af Fermats kvotient

,

hvor b  er grundtallet for talsystemet (10 for decimal ) og p  er et primtal , der ikke deler b . (Primtal p , der danner cykliske tal til grundtal b , kaldes fuld-gentagne primtal eller lange primtal til grundtal b [2] ).

For eksempel, for b = 10, giver p = 7 det cykliske tal 142857, og for b = 12 giver p = 5 det cykliske tal 2497.

Ikke alle p -værdier giver cykliske tal ifølge denne formel. For eksempel giver p = 13 076923076923 10 for b = 10 , og for b = 12 giver p = 19 076B45076B45076B45 12 . Disse tal er ikke cykliske, fordi de består af gentagne sekvenser.

De første p - værdier, for hvilke formlen giver cykliske tal i grunddecimal ( b = 10) ( OEIS -sekvens A001913 )

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619. 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, …

For b = 12 ( duodecimal ) er disse p -værdier (sekvens A019340 i OEIS )

5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223. 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 619, 6131. 761, 773, 787, 797, 809, 821, 857, 881, 929, 953, 967, 977, 991, …

For b = 2 ( binær ) er disse p -værdier (sekvens A001122 i OEIS )

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 72, 197, 6 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547. 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, …

For b = 3 ( ternær ) er disse p -værdier (sekvens A019334 i OEIS )

2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 3, 211, 7 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557. 677, 691, 701, 739, 751, 773, 797, 809, 811, 821, 823, 857, 859, 881, 907, 929, 941, 953, 977, …

Der er ingen sådanne p -tal i hexadecimal .

Kendte skemaer for sådanne sekvenser er opnået fra algebraisk talteori , nemlig denne sekvens er sættet af primtal p , således at b er en primitiv rod modulo p .

Konstruktion af cykliske tal

Cykliske tal kan opnås ved følgende procedure :

Lad b  være grundtallet for talsystemet (10 for decimaltal)
Lad p  være et primtal, der ikke er en divisor af b .
Lad t = 0.
Lad r = 1.
Lad n = 0.
cyklus:

Lad t = t + 1 Lad x = r b _ Lad os sætte d = heltalsdel ( x / p ) Lad r = x mod p Lad n = n b + d _ Hvis r ≠ 1, gå til begyndelsen af ​​løkken.

Hvis t = p − 1, så er n et cyklisk tal.

Fremgangsmåden fungerer ved at beregne cifrene i brøken 1/ p til grundtallet b ved hjælp af division med en kolonnealgoritme . Ved hvert trin er r resten , og d er det næste ciffer.

Trin

n = n b + d _

giver blot samlingen af ​​cifrene i et tal. For computere, der ikke er i stand til at beregne meget store heltal, kan disse tal blot udskrives eller indsamles på anden måde.

Bemærk, at når t når grænsen p /2, skal det resulterende tal være cyklisk, og der er ikke behov for at beregne yderligere cifre.

Egenskaber for cykliske tal

Bemærk : Nedenstående abonnent betyder base. Så 142 10 betyder tallet 142 i grundtallet 10, og 142 5 betyder tallet 142 i grundtallet 5 (det vil sige 47 10 ).

• Hvis vi multiplicerer et tal med et genererende primtal, får vi rækkefølgen af ​​cifrenes grundtal −1' (9 i tilfælde af et decimaltal). 142857 10  × 7 = 999999 10 .
• Hvis vi opdeler tallet i grupper af cifre (to, tre, fire, osv. cifre), og derefter tilføjer de resulterende tal, får vi sekvenser af ni. 14 + 28 + 57 = 99 , 142 + 857 = 999 , 1428 + 5714+ 2857 = 9999 osv... (Dette er et specialtilfælde af Midis sætning .)
• Alle cykliske tal er delelige med ́ grundtal −1' (9 i tilfælde af grundtal).

Hvor mange cykliske tal?

Antallet af cykliske tal, der ikke overstiger 10 n for naturligt n , danner en sekvens (sekvens A086018 i OEIS ):

1, 9, 60, 467, 3617, 25883, 248881, 2165288, 19016617...

Det er blevet antaget (endnu ikke bevist), at der er et uendeligt sæt af cykliske tal [2] . Ifølge Emil Artins formodning [3] indeholder denne sekvens 37.395..% af primtal (for b fra sekvens A085397; sekvens A085397 i OEIS ).

Andre talsystemer

Ved hjælp af ovenstående teknik kan du finde cykliske tal i andre talsystemer.

I binært starter sekvensen af ​​cykliske tal med: (sekvens A001122 i OEIS )

11 2 =3 10 → 01 2 101 2 = 5 10 → 0011 2 1011 2 = 11 10 → 0001011101 2 1101 2 = 13 10 → 000100111011 2 10011 2 =19 10 → 000011010111100101 2 11101 2 =29 10 → 00001000110100111110111001011 2 100101 2 = 37 10 → 000001101110101100111110010001010011 2

I ternært : (sekvens A019334 i OEIS )

2 3 =2 10 → 1 3 12 3 = 5 10 → 0121 3 21 3 = 7 10 → 010212 3 122 3 = 17 10 → 0011202122110201 3 201 3 =19 10 → 001102100221120122 3 1002 3 = 29 10 → 0002210102011122200121202111 3 1011 3 = 31 10 → 0002121112210202222010111001202 3

I det kvartære system:

(ingen cykliske tal)

I quinary: (sekvens A019335 i OEIS )

2 5 = 2 10 → 2 5 3 5 = 3 10 → 13 5 12 5 = 7 10 → 032412 5 32 5 = 17 10 → 0121340243231042 5 43 5 = 23 10 → 0102041332143424031123 5 122 5 = 37 10 → 003142122040113342441302322404331102 5 133 5 = 43 10 → 002423141223434043111442021303221010401333 5

I hexadecimal: (sekvens A167794 i OEIS )

15 6 = 11 10 → 0313452421 6 21 6 = 13 10 → 024340531215 6 25 6 = 17 10 → 0204122453514331 6 105 6 = 41 10 → 0051335412440330234455042201431152253211 6 135 6 = 59 10 → 0033544402235104134324250301455220111533204514212313052541 6 141 6 = 61 10 → 003312504044154453014342320220552243051511401102541213235335 6 211 6 =79 10 → 002422325434441304033512354102140052450553133230121114251522043201453415503105

I syv år: (sekvens A019337 i OEIS )

2 7 = 2 10 → 3 7 5 7 = 5 10 → 1254 7 14 7 = 11 10 → 0431162355 7 16 7 = 13 10 → 035245631421 7 23 7 = 17 10 → 0261143464055232 7 32 7 = 23 10 → 0206251134364604155323 7 56 7 = 41 10 → 0112363262135202250565543034045314644161 7

I oktal : (sekvens A019338 i OEIS )

3 8 = 3 10 → 25 8 5 8 = 5 10 → 1463 8 13 8 = 11 10 → 0564272135 8 35 8 = 29 10 → 0215173454106475626043236713 8 65 8 = 53 10 → 0115220717545336140465103476625570602324416373126743 8 73 8 = 59 10 → 0105330745756511606404255436276724470320212661713735223415 8 123 8 = 83 10 → 0061262710366576352321570224030531344173277165150674112014254562075537472464583604

I decimalsystem:

2 9 = 2 10 → 4 9 (ingen andre)

I unix 11: (sekvens A019339 i OEIS )

2 11 = 2 10 → 5 11 3 11 = 3 10 → 37 11 12 11 = 13 10 → 093425A17685 11 16 11 = 17 10 → 07132651A3978459 11 21 11 = 23 10 → 05296243390A581486771A 11 27 11 = 29 10 → 04199534608387A69115764A2723 11 29 11 = 31 10 → 039A32146818574A71078964292536 11

I duodecimal : (sekvens A019340 i OEIS )

5 12 = 5 10 → 2497 12 7 12 = 7 10 → 186A35 12 15 12 = 17 10 → 08579214B36429A7 12 27 12 = 31 10 → 0478AA093598166B74311B28623A55 12 35 12 = 41 10 → 036190A653277397A9B4B85A2B15689448241207 12 37 12 = 43 10 → 0342295A3AA730A068456B879926181148B1B53765 12 45 12 = 53 10 → 02872B3A23205525A784640AA4B9349081989B6696143757B117 12

Tretten: (sekvens A019341 i OEIS )

2 13 = 2 10 → 6 13 5 13 = 5 10 → 27A5 13 B 13 = 11 10 → 12495BA837 13 16 13 = 19 10 → 08B82976AC414A3562 13 25 13 = 31 10 → 055B42692C21347C7718A63A0AB985 13 2B 13 = 37 10 → 0474BC3B3215368A25C85810919AB79642A7 13 32 13 = 41 10 → 04177C08322B13645926C8B550C49AA1B96873A6 13

Hexadecimal : (sekvens A019342 i OEIS )

3 14 = 3 10 → 49 14 13 14 = 17 10 → 0B75A9C4D2683419 14 15 14 = 19 10 → 0A45C7522D398168BB 14 19 14 = 23 10 → 0874391B7CAD569A4C2613 14 21 14 = 29 10 → 06A89925B163C0D73544B82C7A1D 14 3B 14 = 53 10 → 039AB8A075793610B146C21828DA43253D6864A7CD2C971BC5B5 14 43 14 = 59 10 → 03471937B8ACB5659A2BC15D09D74DA96C4A62531287843B21C80D4069 14

Hexadecimal : (sekvens A019343 i OEIS )

2 15 = 2 10 → 7 15 D 15 = 13 10 → 124936DCA5B8 15 14 15 = 19 10 → 0BC9718A3E3257D64B 15 18 15 = 23 10 → 09BB1487291E533DA67C5D 15 1E 15 = 29 10 → 07B5A528BD6ACDE73949C6318421 15 27 15 = 37 10 → 061339AE2C87A8194CE8DBB540C26746D5A2 15 2B 15 = 41 10 → 0574B51C68BA922DD80AE97A39D286345CC116E4 15

I hexadecimal :

(ingen cykliske tal)

Hexadecimal : (sekvens A019344 i OEIS )

2 17 = 2 10 → 8 17 3 17 = 3 10 → 5B 17 5 17 = 5 10 → 36DA 17 7 17 = 7 10 → 274E9C 17 B17 = 1110 → 194ADF7C63 17 16 17 = 23 10 → 0C9A5F8ED52G476B1823BE 17 1E 17 = 31 10 → 09583E469EDC11AG7B8D2CA7234FF6 17

Hexadecimal : (sekvens A019345 i OEIS )

5 18 = 5 10 → 3AE7 18 B18 = 1110 → 1B834H69ED 18 1B 18 = 29 10 → 0B31F95A9GDAE4H6EG28C781463D 18 21 18 = 37 10 → 08DB37565F184FA3G0H946EACBC2G9D27E1H 18 27 18 = 43 10 → 079B57H2GD721C293DEBCHA86CA0F14AFG5F8E4365 18 2H 18 = 53 10 → 0620C41682CG57EAFB3D4788EGHBFH5DGB9F51CA3726E4DA9931 18 35 18 =59 10 → 058F4A6CEBAC3BG30G89DD227GE0AHC92D7B53675E61EH19844FFA13H7 18

Hex : (sekvens A019346 i OEIS )

2 19 = 2 10 → 9 19 7 19 = 7 10 → 2DAG58 19 B19 = 1110 → 1DFA6H538C 19 D 19 = 13 10 → 18EBD2HA475G 19 14 19 = 23 10 → 0FD4291C784I35EG9H6BAE 19 1A 19 = 29 10 → 0C89FDE7G73HD1I6A9354B2BF15H 19 1I 19 = 37 10 → 09E73B5C631A52AEGHI94BF7D6CFH8DG8421 19

I vigesimal : (sekvens A019347 i OEIS )

3 20 = 3 10 → 6D 20 D 20 = 13 10 → 1AF7DGI94C63 20 H 20 = 17 10 → 13ABF5HCIG984E27 20 13 20 = 23 10 → 0H7GA8DI546J2C39B61EFD 20 1H20 = 37 10 → 0AG469EBHGF2E11C8CJ93FDA58234H5II7B7 20 23 20 = 43 10 → 0960IC1H43E878GEHD9F6JADJ17I2FG5BCB3526A4D 20 27 20 = 47 10 → 08A4522B15ACF67D3GBI5J2JB9FEHH8IE974DC6G381E0H 20

I 21-decimalsystem: (sekvens A019348 i OEIS )

2 21 = 2 10 → A 21 J 21 = 19 10 → 1248HE7F9JIGC36D5B 21 12 21 = 23 10 → 0J3DECG92FAK1H7684BI5A 21 18 21 = 29 10 → 0F475198EA2IH7K5GDFJBC6AI23D 21 1A 21 = 31 10 → 0E4FC4179A382EIK6G58GJDBAHCI62 21 2B 21 = 53 10 → 086F9AEDI4FHH927J8F13K47B1KCE5BA672G533BID1C5JH0GD9J 21 38 21 = 71 10 → 06493BB50C8I721A13HFE42K27EA785J4F7KEGBH99FK8C2DIJAJH356GI0ID6ADCF1G5D 21

I 22-decimalsystem: (sekvens A019349 i OEIS )

5 22 = 5 10 → 48HD 22 H 22 = 17 10 → 16A7GI2CKFBE53J9 22 J 22 = 19 10 → 13A95H826KIBCG4DJF 22 19 22 = 31 10 → 0FDAE45EJJ3C194L68B7HG722I9KCH 22 1F 22 = 37 10 → 0D1H57G143CAFA2872L8K4GE5KHI9B6BJDEJ 22 1J 22 = 41 10 → 0BHFC7B5JIH3GDKK8CJ6LA469EAG234I5811D92F 22 23 22 = 47 10 → 0A6C3G897L18JEB5361J44ELBF9I5DCE0KD27AGIFK2HH7 22

I 23-decimalsystem: (sekvens A019350 i OEIS )

2 23 = 2 10 → B 23 3 23 =3 10 → 7F ​​​​23 5 23 = 5 10 → 4DI9 23 H 23 = 17 10 → 182G59AILEK6HDC4 23 21 23 = 47 10 → 0B5K1AHE496JD4KCGEFF3L0MBH2LC58IDG39I2A6877J1M 23 2D 23 = 59 10 → 08M51CJK65AC1LJ27I79846E9H3BFME0HLA32GHCAL13KF4FDEIG8D5JB7 23 3K 23 = 89 10 → 05LG6ADG0BK9CL4910HJ2J8I21CF5FHD4327B8C3864EMH16GC96MB2DA1IDLM53K3E4KLA7H759IJKFBEAJEGI8 23

I 24-decimalsystem: (sekvens A019351 i OEIS )

7 24 = 7 10 → 3A6KDH 24 B 24 = 11 10 → 248HALJF6D 24 D 24 = 13 10 → 1L795CM3GEIB 24 H 24 = 17 10 → 19L45FCGME2JI8B7 24 17 24 = 31 10 → 0IDMAK327HJ8C96N5A1D3KLG64FBEH 24 1D 24 = 37 10 → 0FDEM1735K2E6BG54CN8A91MGKI3L9HC7IJB 24 1H 24 = 41 10 → 0E14284G98IHDB2M5KBGN9MJLFJ7EF56ACL1I3C7 24

I det 25-årige system:

2 25 = 2 10 → C 25 (ingen andre)

Bemærk, at for en ternær base ( b = 3) giver kasus p = 2 1, som efter reglerne ikke er et cyklisk tal (trivielt kasus, et ciffer). Her er dette tilfælde givet for fuldstændigheden af ​​teorien om, at alle tal opnås på denne måde.

Det kan påvises, at cykliske tal (bortset fra de trivielle et-cifrede tilfælde) ikke eksisterer i kvadratbaserede talsystemer, det vil sige base 4, 9, 16, 25 osv.

Se også

• Periodisk brøk
• Fermats lille sætning
• Cyklisk permutation af cifre i heltal

Noter

1. ↑ Gardner, 2009 , s. 114.
2. ↑ 1 2 Vasilenko .
3. ↑ Artin's Constant - fra Wolfram MathWorld

Litteratur

• S.L. Vasilenko. Skjulte mønstre af cykliske numeriske former . (ubestemt)
• Martin Gardner. Matematisk Cirkus: Flere gåder, spil, paradokser og anden matematisk underholdning fra Scientific American. New York: The Mathematical Association of America, 1979. s. 111–122.
  • Martin Gardner. De bedste matematikspil og puslespil (Eller et rigtigt matematikcirkus). - Moskva: AST Astrel, 2009. - S. 111–121. - ISBN 978-5-17-058244-0 ; 978-5-271-23247-3; UDC 159,9 BBK 88,37.

Læsning for yderligere læsning

• Dan Kalman. Brøker med cykelcifret mønstre  // The College Mathematics Journal. - 1996. - Marts ( bind 27 , hæfte 2 ). — S. 109–115 .
• John Leslie. Aritmetikkens filosofi: Udviser et progressivt syn på teorien og praksisen i ..... . - Longman, Hurst, Rees, Orme, Brown, 1820. - ISBN 1-4020-1546-1 .
• David Wells. Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . — Penguin Press. — ISBN 0-14-008029-5 .

Links

• Weisstein, Eric W. Cyclic Number  (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
• Youtube: "Cyclic Numbers - Numberphile"

Klasser af naturlige tal
Beføjelser og relaterede numre	Achilles Grad 2 10 grader 12 grader firkanter Cuba fjerde grader Femte grad Perfekt grad Fuld multiple Potens af et primtal
Tal på formen a × 2 b ± 1	Cullen Dobbelt Mersenne-tal Gårdsnumre Mersenne Catalana - Mersenne Prota Sabita Woodala
Andre polynomielle tal	Carola Gilbert Passende tal Kenya Leyland Lykkelige Euler-tal Genforenes
Rekursivt definerede tal	fibonacci Jacobsthal Leonardo Luca Padovan rækkefølge Pella Perrina
Sæt af tal med specifikke egenskaber	Knodel Riesel Sierpinsky
Udtrykt i mængder	Ikke-hypotenuse Praktisk Principal semisimplet Ulama Wolsenholm
Fås med en sigte	lykketal
Relaterede koder _	Mirtens
krøllede tal	2-dimensionel centreret _ trekantet firkant femkantet sekskantet sekskantet ottekantet ikke-kantet tikantet stjerneklar off- center trekantet firkant firkantet trekantet sekskantet ottekantet 3-dimensionel centreret _ tetraedrisk kubik oktaedral dodekaedral icosahedral off- center tetraedrisk oktaedral dodekaedral icosahedral Stjerne-oktaedral pyramideformet _ firkant femkantet sekskantet sekskantet 4-dimensionel centreret _ pentakorisk trekantet i en firkant off- center pentatop
Pseudosimple	Carmichael Catalana elliptisk Euler Euler-Jacobi Gård Frobenius Luca Somera - Luca stærkt pseudo-simpelt
kombinatoriske tal	Klokkenumre kage numre Catalana Dedekind Delanoya Euler Fussa - Catalana central polygonal Lobba Motzkin numre Narayana Antal Bell-bestillinger Schroeder-numre Schroeder - Hipparchus
Aritmetiske funktioner	σ( n ) overflødig næsten perfekt aritmetik kolossalt overflødig Descartes halvperfekte tal meget overflødige tal høje komponenttal hyperperfekte tal multiperfekte tal engageret praktisk primitivt overflødigt lidt overflødig tau tal majestætiske tal overflod af tal supersammensatte tal superperfekte tal Ω( n ) næsten simpelt halvsimpelt φ( n ) meget kovalent høj-totient perfekt totient lidt totient s( n ) venlige beskæftiget utilstrækkelig semi-perfekt Euklid formuetal
Ved divisorer	Viferiha Fibonacci - Viferiha Wolstenholm Wilson
Andre prime divisorer eller relateret til delelighed	Bloom Erdős - Woods coprime venlige beskeden Jugi Malmtal Luca - Carmichael rektangulær fast k-ru glat gemytlig sphenisk Sturmer Super Poole numre Zeisel
Underholdende matematik	Talsystemer _ automorfe tal cyklisk Osiris Dudeni lige cifre ekstravagant Factorion Friedman tilfreds Nivena Kita Lichrel beløb med manglende ciffer Armstrong palindromisk pandigital parasitisk skadelig magisk primitiv repdigits genforeninger selvgenereret selvbeskrivende Smarandsha - Wellena strengt ikke-palindromisk skiftere forskydning trimorfe bølget vampyrer Aronson sekvens pandekage numre