Tetraedrisk nummer

Tetraedriske tal , også kaldet trekantede pyramidetal , er figurative tal , der repræsenterer en pyramide , ved hvis basis ligger en regulær trekant . Det th i ordens tetraedriske tal er defineret som summen af de første trekantede tal : $n$ $\Delta _{n}$ $n$

{\displaystyle \Delta _{n}=T_{1}+T_{2}+\dots +T_{n))

Begyndelsen af en sekvens af tetraedriske tal:

1, 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … ( OEIS -sekvens A000292 ).

Formel

Den generelle formel for det tetraedriske nummer er: $n$

\Delta _{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6)).

Formlen kan også udtrykkes i form af binomiale koefficienter :

\Delta _{n}=C_{n+2}^{3}={\binom {n+2}{3)).

Egenskaber

De tetraedriske tal er i 4. position i hver række i Pascals trekant .

Kun tre tetraedriske tal er kvadrattal :

\Delta _{1}=1^{2}=1

\Delta _{2}=2^{2}=4

\Delta _{48}=140^{2}=19600

Fem tetraedriske tal er trekantede på samme tid (sekvens A027568 i OEIS ):

\Delta _{1}=T_{1}=1

\Delta _{3}=T_{4}=10

\Delta _{6}=T_{15}=120

\Delta _{20}=T_{55}=1540

\Delta _{34}=T_{119}=7140

Det eneste pyramidetal , der er både kvadratisk og kubisk , er tallet 1.

Det kan ses, at:

{\displaystyle \Delta _{5}=\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4))

Rækken af gensidige tetraedriske tal er teleskopisk og konvergerer derfor:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\Delta _{n))}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6 }{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.

En af Pollocks "formodninger " (1850): hvert naturligt tal kan repræsenteres som summen af højst fem tetraedriske tal. Det er endnu ikke bevist, selvom det er blevet testet for alle tal under 10 milliarder [1] [2] .

Multidimensionel generalisering

Tredimensionelle tetraedriske tal kan generaliseres til fire eller flere dimensioner, svarende til overgangen fra trekantede tal til tetraedriske tal. En analog af tetraedriske tal i det dimensionelle rum er " simplex tal", også kaldet hypertetraedriske [3] : $d$

S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!))={\frac {\prod _{k= 0}^{d-1}(n+k)}{d!}}.

Deres særlige tilfælde er:

$S_{n}^{[2]}$ er trekantede tal .
$S_{n}^{[3]}$ er tetraedriske tal .
$S_{n}^{[4]}$ er pentatopnumre .

Noter

↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 239.
↑ Frederick Pollock. Om udvidelsen af princippet i Fermats sætning om de polygonale tal ultimative til den højere rækkefølge af rækker, hvis forskelle er konstante. Med et nyt sætning foreslået, gældende for alle ordrer // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London: journal. - 1850. - Bd. 5 . - S. 922-924 . — .
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 126-134.

Litteratur

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Bag siderne i en matematik lærebog: Aritmetik. Algebra. Geometri . - M . : Uddannelse, 1996. - S. 30 . - 320 sek. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer GI Historie om matematik i skolen . - M . : Uddannelse, 1964. - 376 s.
Deza E., Deza M. Krøllede tal. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Links

krøllede tal
Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Geometrisk bevis for den tetraedriske talformel af Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project .
Om forholdet mellem dobbeltsummeringer og tetraedriske tal af Marco Ripà

krøllede tal

flad

Klassisk polygonal	trekantet Firkant Femkantet Sekskantet Heptagonal Ottekantet Dodecagonal
Centreret	trekantet Firkant Femkantet Sekskantet Heptagonal Ottekantet Ni-vinklet Dekagonal

Pyramideformet	tetraedrisk Firkantet pyramideformet
mangefacetteret	kubik Oktaedral Dodekaedral icosahedral Stellet oktaedral

mangefacetteret	Pentatopisk Bisquare