Ulam nummer

Den stabile version blev tjekket den 22. august 2020 . Der er ubekræftede ændringer i skabeloner eller .

Ulam-tallet er et medlem af heltalssekvensen , opfundet og opkaldt efter ham selv af Stanislav Ulam , i 1964.

Definition

Standard Ulam-sekvensen (eller (1, 2)-Ulam-tal) starter med U 1  = 1 og U 2  = 2. For n  > 2 er U n defineret som det mindste heltal større end U n-1 , der entydigt nedbrydes i summen af ​​to distinkte tidligere medlemmer af sekvensen.

Eksempler

Det følger af definitionen, at 3 er Ulam-tallet (1+2); og 4 er Ulam-tallet (1+3). (Her er 2+2 ikke den anden repræsentation af 4, fordi de foregående led skal være forskellige.) Tallet 5 er ikke et Ulam-tal, fordi 5 = 1 + 4 = 2 + 3. Rækkefølgen starter således:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155, 175, 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219. 258, 260, 273, 282, ... sekvens A002858 i OEIS .

De første Ulam-tal, som også er primtal:

2 3 11 13 47 53 97 131 197 241 409 431 607 673 739 751 983 991 1103 1433 1489 1531 1553 1709 1721 2371, 2393, 2447, 2633, 2789, 2833, 2897, ... OEIS -sekvens A068820 .

Der er uendeligt mange Ulam-tal, for efter at have tilføjet de første n led, kan du altid tilføje endnu et element: U n − 1 + U n , som vil blive entydigt bestemt som summen af ​​to elementer mindre end det, og vi kan blive endnu mindre elementer ved hjælp af en lignende metode, så det næste element kan defineres som det mindste blandt disse unikt definerede muligheder. [en]

Ulam mente, at Ulam-tallene har en asymptotisk tæthed på nul , [2] men tilsyneladende er den lig med 0,07398. [3]

Skjult struktur

Det blev bemærket [4] at de første 10 millioner Ulam-numre opfylder egenskaben: bortset fra 4 elementer (og dette fortsætter som bekendt indtil ). Uligheder af denne type er normalt sande for sekvenser, der har en form for periodicitet, men Ulam-sekvensen vides ikke at være periodisk, og fænomenet er ikke blevet forklaret. Den kan bruges til hurtigt at beregne Ulam-sekvensen (se eksterne links).

Variationer og generaliseringer

Ideen kan generaliseres som (u, v)-Ulam-tal ved at vælge forskellige begyndelsesværdier (u, v). En sekvens af (u, v)-Ulam-tal er periodisk, hvis sekvensen af ​​forskelle mellem på hinanden følgende tal i sekvensen er periodisk. Når v er et ulige tal større end tre, er sekvensen af ​​(2, v)-Ulam tal periodisk. Når v er lig med 1 (modulo 4) og mindst fem, er sekvensen af ​​(4, v)-Ulam-tal igen periodisk. Standard Ulam-numrene er dog ikke periodiske. [5]

En sekvens af tal siges at være s-additiv, hvis hvert tal i sekvensen efter de indledende 2s-led i sekvensen har nøjagtig s-repræsentationer som summen af ​​de to foregående tal. Ulam-tallene og (u, v)-Ulam-tallene er således 1-additive sekvenser. [6]

Hvis en sekvens dannes ved at tilføje det største tal med en unik repræsentation som summen af ​​to tidligere tal, i stedet for at tilføje det mindste entydigt repræsentable tal, så er den resulterende sekvens en sekvens af Fibonacci-tal . [7]

Noter

  1. ↑ Recaman (1973 ) bruger et lignende argument formuleret som bevis ved modsigelse . Han hævder, at hvis der var et endeligt antal Ulam-tal, så ville summen af ​​de to sidste også være et Ulam-tal, en selvmodsigelse. Men selvom summen af ​​de sidste to tal i dette tilfælde har en unik repræsentation som summen af ​​to Ulam-tal, er det ikke nødvendigvis det mindste tal med en unik repræsentation.
  2. ↑ Udsagnet om, at Ulam antog dette, er i OEIS A002858 , men Ulam forsøgte ikke at estimere sin sekvens i Ulam (1964a ), og i Ulam (1964b ) nævnte han problemet med den asymptotiske tæthed af dette sæt, men forsøgte heller ikke at vurdere det. Recaman (1973 ) gentager spørgsmålet fra Ulam (1964b ) om den asymptotiske tæthed, uden igen at gøre nogen antagelser om dens værdi.
  3. ↑ OEIS A002858
  4. ↑ Steinerberger (2015 )
  5. ↑ Queneau (1972 ) lagde først mærke til mønsteret for u = 2 og v  = 7 eller v  = 9. Finch (1992 ) var den første til at formode, at v er ulige større end tre, og det blev bevist af Schmerl & Spiegel (1994 ) . Periodiciteten af ​​(4,  v )-Ulam tal blev bevist af Cassaigne & Finch (1995 ).
  6. ↑ Queneau (1972 ).
  7. ↑ Finch (1992 ).

Litteratur


Eksterne links