Perfekt tal

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. februar 2022; checks kræver 3 redigeringer .

Et perfekt tal ( andet græsk ἀριθμὸς τέλειος ) er et naturligt tal lig med summen af alle dets egne divisorer (det vil sige alle positive divisorer bortset fra tallet selv). For eksempel er tallet 6 lig med summen af dets egne divisorer 1 + 2 + 3 . Dette koncept blev introduceret af pythagoræerne i det 6. århundrede f.Kr. e.; ifølge deres numerologiske mystik vidnede sammenfaldet af et tal med summen af dets divisorer om den særlige perfektion af et sådant tal [1] .

Hvis vi summerer alle divisorerne af et tal (altså lægger selve tallet sammen) eller får en anden ækvivalent definition: Perfekte tal er tal, hvor summen af alle divisorer er 2 gange større end selve tallet. $\sigma (N)-N=N$ $\sigma (N)=2N,$

Når de naturlige tal stiger, bliver de perfekte tal sjældnere. Det vides ikke, om mængden af alle perfekte tal er uendelig. Det vides heller ikke, om nogen af dem er ulige.

Perfekte tal danner sekvensen A000396 i OEIS :

6 ,
28 ,
496 _
8128 ,
33 550 336
8 589 869 056 ,
137 438 691 328 ,
2 305 843 008 139 952 128 ,
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 ,
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 ,

…

Eksempler

Det 1. perfektum - 6 har følgende rigtige divisorer: 1, 2, 3; deres sum er 6.
Det 2. perfekte tal - 28 har følgende rigtige divisorer: 1, 2, 4, 7, 14; deres sum er 28.
Det 3. perfekte tal - 496 har følgende rigtige divisorer: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; deres sum er 496.
Det 4. perfekte tal - 8128 har følgende rigtige divisorer: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; deres sum er 8128.

Studiehistorie

Selv perfekte tal

Algoritmen til at konstruere lige perfekte tal er beskrevet i Bog IX af Euclid 's Beginnings , hvor det blev bevist, at et tal er perfekt, hvis tallet er primtal (de såkaldte Mersenne-primtal ) [2] . Efterfølgende beviste Leonhard Euler , at alle lige perfekte tal har den form, der er angivet af Euklid. $\ 2^{{p-1}}(2^{p}-1)$ $\ 2^{p}-1$

I oldtiden var kun de første fire perfekte tal (svarende til p = 2, 3, 5 og 7) kendt, de er givet i Nicomachus af Geraz ' aritmetik .

Det femte perfekte tal 33 550 336 , svarende til p = 13, blev fundet i 1536 af den hollandske matematiker Hudalrich Perius ( lat. Hudalrichus Regius ) i afhandlingen " Utriusque Arithmetices " (1536) [3] . Senere blev dette nummer også opdaget af historikere i et upubliceret manuskript af Regiomontanus fra 1461 [4] .

I 1603 opdagede og offentliggjorde den italienske matematiker Cataldi det sjette og syvende perfekte tal: 8589869056 og 137438691328 . De svarer til p = 17 og p = 19 .

I begyndelsen af det 20. århundrede fandt man yderligere tre perfekte tal (for p = 89, 107 og 127). Efterfølgende blev søgningen langsommere indtil midten af det 20. århundrede, hvor det med computernes fremkomst blev mulige beregninger, der oversteg menneskets evner.

For 2019 kendes 51 perfekte tal, der stammer fra Mersenne-primtal , som der søges efter af GIMPS distributed computing- projektet .

Ulige perfekte tal

Ulige perfekte tal er endnu ikke blevet opdaget, men det er ikke blevet bevist, at de ikke eksisterer. Det er også ukendt, om sættet af ulige perfekte tal er endeligt, hvis de findes.

Det er blevet bevist, at et ulige perfekt tal, hvis det findes, er større end 10 1500 ; mens antallet af primdivisorer af et sådant tal, under hensyntagen til multipliciteten, ikke er mindre end 101 [5] . OddPerfect.org distribuerede computerprojekt er engageret i søgningen efter ulige perfekte tal .

Egenskaber

Alle lige perfekte tal (undtagen 6) er summen af terninger af på hinanden følgende ulige naturlige tal

1^{3}+3^{3}+5^{3}+\ldots +(2n-1)^{3}=n^{2}(2n^{2}-1)

Alle lige perfekte tal er trekantede og samtidig sekskantede tal , det vil sige, at de kan repræsenteres som for nogle naturlige tal . $n({2n-1})$ $n$
Summen af alle reciproke divisorer af et perfekt tal (inklusive selve tallet) er 2. Dette er en direkte konsekvens af definitionen og det faktum, at summen af divisorer divideret med selve tallet giver summen af reciproke værdier af divisorer.
Alle perfekte tal er malmtal .
Alle lige perfekte tal undtagen 6 og 496 ender i decimalnotation med 16, 28, 36, 56 eller 76.
Alle lige perfekte tal i binær notation indeholder først enere efterfulgt af nuller (en konsekvens af deres generelle repræsentation). $s$ $p-1$
Hvis du tilføjer alle cifrene i et lige perfekt tal (undtagen 6), så tilføjer du alle cifrene i det resulterende tal og gentager, indtil du får et enkeltcifret tal [6] , så vil dette tal være lig med 1 (2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1; 4 + 9 + 6 \u003d 19, 1 + 9 \u003d 10 ...) Ækvivalent formulering: resten af at dividere et lige perfekt tal andet end 6 med 9 er 1.

I religion

Den særlige ("perfekte") karakter af tallene 6 og 28 er blevet anerkendt i kulturer med rødder i de abrahamitiske religioner , som hævder, at Gud skabte verden på 6 dage, og som har bemærket, at Månen kredser om Jorden på omkring 28 dage. .

James A. Eshelman i The Hebrew Hierarchical Names of Briah [7] skriver, at ifølge gematria :

Lige så vigtig er ideen udtrykt ved tallet 496. Dette er den "teosofiske forlængelse" af tallet 31 (det vil sige summen af alle heltal fra 1 til 31). Dette er blandt andet summen af ordet Malchut (riget). Således optræder Kongeriget, den fulde manifestation af den primære idé om Gud, i gematria som et naturligt supplement eller manifestation af tallet 31, som er nummeret på navnet 78.

" Leviathan " (lit. "writhing") - en af de fire mørkets fyrster, legemliggjort i form af en slange. Derfor betyder at holde Leviathan at kontrollere Nefeshs energier forbundet med Sephirah Yesod. For det andet kan "buet slange" også betyde "oprullet slange", det vil sige Kundalini . For det tredje er gematrien for ordet "Leviathan" 496, såvel som ordet "Malchut" (riget); Ideen om, at ærkeenglen Yesod begrænser Malchuts natur, giver rig stof til eftertanke. For det fjerde er tallet 496 summen af tallene fra 1 til 31, det vil sige den fulde udvidelse eller manifestation af navnet "El", det guddommelige navn på de tre højeste sefirot i Briah (inklusive sefiraen Kether , hvis engel er Yehoel).

I The City of God skrev Saint Augustin :

Tallet 6 er perfekt i sig selv, og ikke fordi Herren skabte alt på 6 dage; snarere tværtimod skabte Gud alt på 6 dage, fordi dette tal er perfekt. Og det ville forblive perfekt, selvom der ikke var nogen skabelse på 6 dage.

Variationer og generaliseringer

Gamle matematikere skelnede mellem tre typer naturlige tal , afhængigt af summen af deres egne divisorer :

redundante tal , for hvilke summen af deres egne divisorer er større end selve tallet;
utilstrækkelige tal , for hvilke summen af deres egne divisorer er mindre end selve tallet;
perfekte tal, for hvilke summen af deres egne divisorer er lig med selve tallet.

Moderne forskning har vist, at undertal er de mest almindelige, omkring 75%. Overskydende tal er lidt mindre end 25 %. Andelen af perfekte tal i intervallet fra 1 til tenderer mod nul med vækst [9] . $N$ $N$

Et naturligt tal, hvis sum af alle divisorer er et multiplum af selve tallet, kaldes et multiperfektum [10] .

Se også

venlige tal
Magiske tal (fysik)
åbne matematiske problemer
semi-perfekte tal
Lidt overflødige tal (kvasi-perfekte tal)
Lidt utilstrækkelige tal
Super perfekte tal

Noter

↑ Uspensky, V. A. Forord til matematik [artikelsamling]. - Sankt Petersborg. : Amphora Trading and Publishing House LLC, 2015. - S. 87. - 474 s. — (Popularvidenskab, nr. 12). - ISBN 978-5-367-03606-0 .
↑ Perfekt skønhed og perfekt ubrugelighed af perfekte tal . Hentet 19. april 2010. Arkiveret fra originalen 31. oktober 2010. (ubestemt)
↑ Popov, I. N. Perfekte og venlige tal: Studievejledning . - Archangelsk: Pomorstaten. universitet. M. V. Lomonosov, 2005. - 153 s. - ISBN 5-88086-514-2 . Arkiveret 25. november 2021 på Wayback Machine
↑ 12 Perfekte tal . Hentet 21. september 2021. Arkiveret fra originalen 5. oktober 2021. (ubestemt)
↑ Ochem, Pascal; Rao, Michail. Ulige perfekte tal er større end 10 1500 // Mathematics of Computation : journal. - 2012. - Bd. 81 , nr. 279 . - S. 1869-1877 . — ISSN 0025-5718 . - doi : 10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 . Arkiveret fra originalen den 15. januar 2016.
↑ se Numerologi#Reducering af tal til cifre
↑ Tal . Hentet 10. september 2011. Arkiveret fra originalen 16. april 2015. (ubestemt)
↑ Simon Singh . Fermats sidste sætning. Med. 9 (utilgængeligt link) .
↑ Stewart, Ian . Professor Stewarts utrolige tal = Professor Stewarts utrolige tal. - M . : Alpina faglitteratur, 2016. - S. 103-104. — 422 s. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
↑ Siden Multiplikér perfekte tal . Hentet 10. februar 2022. Arkiveret fra originalen 19. februar 2020. (ubestemt)

Links

Depman I. Perfekte tal // Kvant . - 1991. - Nr. 5 . - S. 13-17 .
Evgeny Epifanov. Perfekte tal . Elementer. (ubestemt)

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 7683309-4