Fuld firkant

Et perfekt kvadrat , også et nøjagtigt kvadrat eller et kvadrattal , er et tal, der er kvadratet af et eller andet heltal . Med andre ord er et kvadrat et heltal, hvis kvadratrod er ekstraheret fuldstændigt. Geometrisk kan et sådant tal repræsenteres som arealet af en firkant med en heltalside.

For eksempel er 9 et kvadrattal, fordi det kan skrives som 3 × 3 og også repræsenterer arealet af et kvadrat med en side på 3.

Kvadratnummeret indgår i kategorien klassiske figurtal .

Eksempler

Rækkefølgen af firkanter starter således:

0, 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 , 225 , 256 , 289 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 3 1 676 , 729 , 784 , , 900 , 961841 A000290 i OEIS ) Tabel af firkanter

	_0	_en	_2	_3	_fire	_5	_6	_7	_otte	_9
0_	0	en	fire	9	16	25	36	49	64	81
en_	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2_	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3_	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
fire_	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5_	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6_	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7_	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
otte_	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9_	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Udsigter og ejendomme

Kvadratet af et naturligt tal kan repræsenteres som summen af de første ulige tal : $n$ $n$

en:

1=1

4=1+3

...
7:

49=1+3+5+7+9+11+13

...

En anden måde at repræsentere kvadratet af et naturligt tal: Eksempel:
$n^{2}=1+1+2+2+...+(n-1)+(n-1)+n$

en:

1=1

4=1+1+2

...
fire:

16=1+1+2+2+3+3+4

...

Summen af kvadrater af de første naturlige tal beregnes med formlen [1] : $n$

\sum _{{k=1}}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\ frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

Konklusion

Metode 1, støbemetode:

Overvej summen af terninger af naturlige tal fra 1 til :

n+1

\sum _{{k=1}}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{{k=0}}^{n}(k+1)^ {3}=\sum _{{k=0}}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{{k=0}}^{n} k^{3}+\sum _{{k=0}}^{n}3k^{2}+\sum _{{k=0}}^{n}3k+\sum _{{k=0} }^{n}1=\sum _{{k=0}}^{n}k^{3}+3\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}+3\ sum _{{k=0}}^{n}k+\sum _{{k=0}}^{n}1

Vi får:

(n+1)^{3}=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{ k=0}^{n}1=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1 )

Gang med 2 og omarranger:

6\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1) )(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

(Formlen blev brugt i ræsonnementet: , hvis udledning svarer til den angivne)

\sum _{{k=0}}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}

Metode 2, metode med ukendte koefficienter:

Bemærk, at summen af potensfunktioner kan udtrykkes som en potensfunktion. Baseret på dette faktum, lad os antage:

N

N+1

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D

f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14

Vi får et system af lineære ligninger med hensyn til de nødvendige koefficienter:

{\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\ \end{sager}}

At løse det, får vi

A={\frac {1}{3)),B={\frac {1}{2)),C={\frac {1}{6)),D=0

På denne måde:

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2} }n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

En række omvendte kvadrater konvergerer [2] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac { 1}{2^{2}}}+\dots +{\frac {1}{n^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Fire forskellige kvadrater kan ikke danne en aritmetisk progression . [3] Der findes aritmetiske forløb af tre kvadrater - for eksempel: 1 , 25 , 49 .

Hvert naturligt tal kan repræsenteres som summen af fire kvadrater ( Lagranges sum af fire kvadraters sætning ).

4900 er det eneste tal > 1, der er både kvadratisk og pyramideformet.

Summen af par af på hinanden følgende trekantede tal er kvadrattal.

I decimalnotation har kvadrattal følgende egenskaber:

Det sidste ciffer i et kvadrat i decimalnotation kan være 0, 1, 4, 5, 6 eller 9 ( kvadratiske rester modulo 10).
Et kvadrat kan ikke ende med et ulige antal nuller.
Et kvadrat er enten deleligt med 4, eller når det divideres med 8 giver det en rest af 1. Et kvadrat er enten deleligt med 9, eller når det divideres med 3 giver det en rest af 1.
De sidste to cifre i kvadratet i decimalnotation kan være 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 eller 96 (kvadratiske rester modulo 100). Afhængigheden af kvadratets næstsidste ciffer på det sidste kan repræsenteres i form af følgende tabel:

sidste ciffer	næstsidste ciffer
0	0
5	2
1, 4, 9	også selvom
6	ulige

Geometrisk repræsentation

en

fire

9

16

25

Se også

Noter

↑ Nogle endelige talrækker . Math24.ru . Hentet 14. juni 2019. Arkiveret fra originalen 14. juni 2019. (ubestemt)
↑ Kokhas K. P. Summen af inverse kvadrater // Matematisk uddannelse. - 2004. - Udgave. 8 . — S. 142–163 .
↑ K. Brown. Ingen fire kvadrater i aritmetisk progression

Litteratur

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Bag siderne i en matematik lærebog: Aritmetik. Algebra. Geometri . - M . : Uddannelse, 1996. - S. 30 . - 320 sek. — ISBN 5-09-006575-6 .
Deza E., Deza M. Krøllede tal. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Links

Curly Numbers Arkiveret 23. november 2018 på Wayback Machine
Figurate Numbers Arkiveret 10. juni 2019 på Wayback Machine på MathWorld- webstedet

krøllede tal

flad

Klassisk polygonal	trekantet Firkant Femkantet Sekskantet Heptagonal Ottekantet Dodecagonal
Centreret	trekantet Firkant Femkantet Sekskantet Heptagonal Ottekantet Ni-vinklet Dekagonal

Pyramideformet	tetraedrisk Firkantet pyramideformet
mangefacetteret	kubik Oktaedral Dodekaedral icosahedral Stellet oktaedral

mangefacetteret	Pentatopisk Bisquare