Tau nummer

Tau-tal ( -tal , eng. refactorable number ) er et heltal, der er deleligt med antallet af dets divisorer , eller, algebraisk set, sådan at . De første par tau-numre [1] : $\tau$ $n$ $n$ $\tau (n)|n$

1 , 2 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36 , 40 , 56 , 60 , 72 , 80 , 84 , 88 , 96 .

For eksempel har 18 seks faktorer (1 og 18, 2 og 9, 3 og 6) og er delelig med 6.

Tau-tal har en asymptotisk tæthed på nul. Ingen tre på hinanden følgende heltal kan være tau-tal [2] Colton beviste, at intet tau-tal er perfekt . Ligningen (hvor er den største fælles divisor og ) har kun en løsning, hvis er et tau-tal. $(n,x)=\tau (n)$ $(n,x)$ $n$ $x$ $n$

Flere problemer er stadig uløste med hensyn til tau-numre:

om der findes vilkårligt store , for hvilke og , og er tau-tal $n$ $n$ $n+1$
hvis der er et tau-tal , følger det, at der eksisterer et sådant, der er et tau-tal og . $n_{0}\equiv a{\pmod {m))$ ${\displaystyle n>n_{0))$ $n$ $n\equiv a{\pmod {m))$

Tau-tal blev først defineret af Curtis Cooper og Robert Kennedy i 1990 [3] , som fandt ud af, at tau-tal har nul asymptotisk tæthed. De blev senere genopdaget af Simon Colton ved hjælp af et program han skrev til at opfinde og teste forskellige definitioner inden for talteori og grafteori [4] . Colton navngav disse numre på engelsk. refactorable . Selvom computerprogrammer har opdaget beviser før, var det første gang, at et program havde fundet en ny eller tidligere ubemærket idé. Colton beviste mange resultater om tau-tal, der viste uendeligheden af deres antal og flere betingelser for deres fordeling.

Noter

↑ OEIS -sekvens A033950 _
↑ J. Zelinsky, Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results Arkiveret 11. november 2020 på Wayback Machine // Journal of Integer Sequences , Vol. 5 (2002), artikel 02.2.8
↑ Cooper, CN og Kennedy, RE Tau-tal, naturlig tæthed og Hardy og Wrights sætning 437 // Internat. J Math. Matematik. sci. 13, 383-386, 1990
↑ S. Colton, Refactorable Numbers - A Machine Invention Arkiveret 27. juli 2020 på Wayback Machine // Journal of Integer Sequences , Vol. 2 (1999), artikel 99.1.2