Potens af et primtal

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. oktober 2020; checks kræver 6 redigeringer .

I matematik er potensen af et primtal et primtal hævet til en positiv heltalspotens .

Eksempler

Tallene 5 = 5 1 , 9 = 3 2 og 16 = 2 4 er primpotenser, mens 6 = 2 × 3, 15 = 3 × 5 og 36 = 6 2 = 2 2 × 3 2 ikke er det.

De tyve mindste potenser af primtal [1] :

2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 11 , 13 , 16 , 17 , 19 , 23 , 25 , 27 , 29 , 31 , 32 , 37 , 41 , …

Egenskaber

Algebraiske egenskaber

Hver potens af et primtal er kun deleligt med et primtal.
Tætheden af fordelingen af magter af primtal er asymptotisk ækvivalent med tætheden af primtal op til . $\pi(x)$ $O({\sqrt {x)))$
Enhver potens af et primtal (med undtagelse af en potens af 2) har en primitiv rod . Således er den multiplikative gruppe af heltal modulo p n (eller ækvivalent gruppen af enheder i ringen Z / p n Z ) cyklisk .
Antallet af elementer i et endeligt felt er altid en potens af et primtal og omvendt, enhver potens af et primtal er antallet af elementer i et begrænset felt (det eneste op til isomorfisme ).

Kombinatoriske egenskaber

En egenskab ved potenser af et primtal, ofte brugt i analytisk talteori , er, at sættet af potenser af primtal, der ikke er primtal, er lille i den forstand, at den uendelige sum af deres gensidige tal konvergerer , selvom sættet af primtal. er et stort sæt.

Egenskaber for delelighed

Euler-funktionen ( φ ) og sigma-funktionen ( σ 0 ) og ( σ 1 ) af potensen af et primtal kan beregnes ved hjælp af formlerne:

\phi(p^n) = p^{n-1} \phi(p) = p^{n-1} (p - 1) = p^n - p^{n-1} = p^n \ venstre(1 - \frac{1}{p}\right),

\sigma_0(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{0*j} = \sum_{j=0}^{n} 1 = n+1,

\sigma_1(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{1*j} = \sum_{j=0}^{n} p^{j} = \frac{p^{ n+1} - 1}{p - 1}.

Alle potenser af primtal er utilstrækkelige tal . Potensen af et primtal p n er n - næsten primtal . Det vides ikke, om primpotenser pn kan være venskabelige tal . Hvis sådanne tal findes, skal p n være større end 10 1500 og n skal være større end 1400.

Nødvendig betingelse

$\forall a\in \mathbb {N} :\gcd(a,N)=1\Rightarrow \gcd(a^{N-1}-1,N)>1$

Lad tallet være en potens af et primtal . Derefter divideret med . $N$ ${\displaystyle N=p^{k))$ $N-1$ $p-1$

Ved Fermats lille sætning deler man ikke $\forall a\in \mathbb {N} :p$ $a\Rightarrow a^{p-1}\equiv 1(mod~p)$

$a^{N-1}\equiv a^{p-1}\equiv 1(mod~p)\Rightarrow \gcd(a^{N-1}-1,N)=p^{m} >1,$ hvor $1\leqslant m\leqslant k$

Se også

Noter

↑ OEIS -sekvens A000961 : primpotenser = primtalpotenser

Litteratur

Jones, Gareth A. og Jones, J. Mary. Springer-Verlag. Elementær talteori. — London: Limited, 1998.