Kvadratisk pyramidetal

Et kvadratisk pyramidetal (ofte blot omtalt som et pyramidetal ) er et rumligt figurativt tal, der repræsenterer en pyramide med en kvadratisk base. Firkantede pyramidetal udtrykker også antallet af kvadrater med sider parallelle med koordinatakserne i et gitter af N  ×  N punkter.

Sekvens start:

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204 , 285 , 385 , 506 , 650 , 819 , 1015 , 1240 , 1496 , 1785 , 21009 , ... ( 070IS , 240IS , 0709 , ... 240 sekvens ) .

Formel

Den generelle formel for det th kvadratiske pyramidetal i rækkefølge er:

Dette er et særligt tilfælde af Faulhabers formel , som er let at bevise ved induktion . For første gang blev en tilsvarende formel givet i " Bog om Abacus " af Fibonacci (XIII århundrede).

I moderne matematik sker formaliseringen af ​​krøllede tal ved hjælp af Hérard-polynomier . Herard-polynomiet L ( P , t ) af polytopen P er et polynomium , der tæller antallet af heltalspunkter i en kopi af polytopen P , som øges ved at gange alle dens koordinater med tallet t . Erard-polynomiet for en pyramide, hvis basis er et kvadrat på side 1 med heltalskoordinater, og hvis toppunkt er i en højde af 1 over basen, beregnes ved formlen [1] :

( t  +1)( t  +2)( 2t  +3)/6 =  Pt  + 1 .

Genererer funktion

Genereringsfunktionen for kvadratiske pyramidetal er:

Forbindelse med andre krøllede tal

Firkantede pyramidetal kan også udtrykkes som summen af ​​binomiale koefficienter :

De binomiale koefficienter, der vises i dette præsenterede udtryk, er tetraedriske tal . Denne formel udtrykker kvadratiske pyramidetal som summen af ​​to tal, ligesom ethvert kvadrattal er summen af ​​to på hinanden følgende trekantede tal . I denne sum tæller et af de to tetraedriske tal antallet af kugler i den stablede pyramide, der er placeret over eller til den ene side af diagonalen af ​​pyramidens firkantede base; og den anden - placeret på den anden side af diagonalen. Kvadratiske pyramidetal er også relateret til tetraedriske tal som følger [2] :

Summen af ​​to på hinanden følgende kvadratiske pyramidetal er et oktaedrisk tal .

Problemet med at finde kvadratiske pyramidetal, der også er kvadrattal, er kendt som kanonkuglestablingsproblemet og blev formuleret af Lucas (1875) [3] .

Noter

  1. ↑ Beck, M.; DeLoera, JA; Develin, M. & Pfeifle, J. (2005), Koefficienter og rødder af Ehrhart-polynomier, Heltalspunkter i polyedre—geometri, talteori, algebra, optimering , vol. 374, Contemp. Math., Providence, R.I.: Amer. Matematik. Soc., s. 15-36 
  2. ↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 75.
  3. ↑ Edouard Lucas. Spørgsmål 1180 // Nouv. Ann. Matematik. - 1875. - Udgave. 14. - S. 336.

Litteratur

Links