Centreret kvadrattal

Et centreret kvadrattal er et centreret polygontal , der repræsenterer en firkant med en prik i midten og alle andre omgivende punkter, der er på firkantede lag.

Således er hvert centreret kvadrattal lig med antallet af punkter inden for en given afstand, i blokke , fra midtpunktet på kvadratgitteret . Centrerede kvadrattal, ligesom figurative tal , har få, om nogen, praktiske anvendelser, men de studeres i underholdende matematik for deres elegante geometriske og aritmetiske egenskaber.

Tallene for de første fire centrerede kvadrattal er vist nedenfor:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=5$		$C_{4,3}=13$		$C_{4,4}=25$

Forbindelse med andre krøllede tal

Det n'te centrerede kvadrattal er givet ved

C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.

Med andre ord er et centreret kvadrattal summen af to på hinanden følgende kvadrater . Følgende diagrammer viser formlen:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=1+4$		$C_{4,3}=4+9$		$C_{4,4}=9+16$

Formlen kan repræsenteres som følger

C_{4,n}={(2n-1)^{2}+1 \over 2};

så det n'te centrerede kvadrattal er lig med halvdelen af det n'te ulige kvadrat + 1/2 som illustreret nedenfor:


$C_{4,1}=(1+1)/2$		$C_{4,2}=(9+1)/2$		$C_{4,3}=(25+1)/2$		$C_{4,4}=(49+1)/2$

Ligesom andre centrerede polygonale tal , kan centrerede kvadrattal udtrykkes i form af trekantede tal :

C_{4,n}=1+4\,T_{n-1},

hvor

{\displaystyle T_{n}={n(n+1) \over 2}={n^{2}+n \over 2}={n+1 \vælg 2))

er det n'te trekanttal. Dette er let at se, hvis du blot fjerner midtpunktet og deler de resterende i fire trekanter, som følger:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=1+4\ gange 1$		$C_{4,3}=1+4\ gange 3$		$C_{4,4}=1+4\ gange 6.$

Forskellen mellem to på hinanden følgende ottekantede tal er et centreret kvadrattal (Conway og Guy, s. 50).

Egenskaber

De første par centrerede kvadrattal [1] :

1 , 5 , 13 , 25 , 41 , 61 , 85 , 113 , 145 , 181 , 221 , 265 , 313 , 365 , 421 , 481 , 545 , 613 , 685 , 1 , 685 , 613 , 685 , 1 , 5 , 1 , 5 , 1 , 5 , 1 , 1 , 121 1301 1405 1513 1625 1741 1861 1985 2113 2245 2381 2521 2665 2813 2965 3121 3281 3445 3613 3613 3613 39 3 9

Alle centrerede kvadrattal er ulige, og det sidste ciffer i decimalrepræsentation giver sekvensen 1-5-3-5-1.

Alle centrerede kvadrattal og deres divisorer har en rest på 1, når de divideres med 4. Derfor er alle centrerede kvadrattal og deres divisorer kongruente med 1 eller 5 modulo 6, 8 eller 12.

Alle centrerede kvadrattal undtagen 1 har en hypotenuse i en af Pythagoras tripler (f.eks. 3-4-5, 5-12-13).

Centrerede firkantede primtal

Centrerede kvadratiske primtal er centrerede kvadrattal, der også er primtal . I modsætning til almindelige kvadrattal , som aldrig er primtal, er flere centrerede kvadrattal primtal.

Adskillige første centrerede firkantede primtal [2] :

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3121, …

Et bemærkelsesværdigt eksempel kan ses i det 10. århundredes magiske plads i al-Antaakiya.

Se også

Antallet af celler i von Neumann-kvarteret i orden r falder sammen med det centrerede kvadrattal med nummer r
Sætning om fremstilling af primtal som summen af to kvadrater

Noter

↑ OEIS -sekvens A001844 _
↑ OEIS -sekvens A027862 _

Litteratur

Alfred, U. (1962), n og n + 1 på hinanden følgende heltal med lige store summer af kvadrater, Mathematics Magazine bind 35 (3): 155–164
Beiler, A. H. (1964), Recreations in the Theory of Numbers , New York: Dover, s. 125
Conway, John H. & Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers , New York: Copernicus, s. 41-42, ISBN 0-387-97993-X

Links

(n² + 1) / 2 som et specialtilfælde af M(i, j) = (i² + j) / 2

krøllede tal

flad

Klassisk polygonal	trekantet Firkant Femkantet Sekskantet Heptagonal Ottekantet Dodecagonal
Centreret	trekantet Firkant Femkantet Sekskantet Heptagonal Ottekantet Ni-vinklet Dekagonal

Pyramideformet	tetraedrisk Firkantet pyramideformet
mangefacetteret	kubik Oktaedral Dodekaedral icosahedral Stellet oktaedral

mangefacetteret	Pentatopisk Bisquare