Venlige tal

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. marts 2021; checks kræver 7 redigeringer .

Venlige tal er to forskellige naturlige tal , hvor summen af alle rigtige divisorer af det første tal er lig med det andet tal og omvendt, summen af alle rigtige divisorer af det andet tal er lig med det første tal. Det vil sige, at et par naturlige tal kaldes venlige, hvis: $M, N$

m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{k}=N,

n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{l}=M,

hvor er tallets divisorer , er tallets divisorer . ${\displaystyle m_{1},m_{2},...m_{k))$ $M$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},...n_{l))$ $N$

Disse par er ikke af stor betydning for talteorien , men de er et mærkeligt element i underholdende matematik .

Nogle gange betragtes perfekte tal som et særligt tilfælde af venskabelige tal : hvert perfekt tal er venligt over for sig selv.

Hvis vi tager højde for alle divisorer, får vi: eller en anden definition af venskabelige tal, svarende til denne. To tal kaldes et venskabeligt par , hvis de har den samme sum af alle deres divisorer, hvilket er lig med summen af disse tal. $\sigma (M)-M=N$ $\sigma (M)=M+N=\sigma (N)$

På samme måde danner tre tal en mindelig tripel , hvis de har den samme sum af alle deres divisorer, hvilket er lig med summen af disse tal. . $\sigma (M)=\sigma (N)=\sigma (K)=M+N+K$

Historie

Venlige tal blev opdaget af Pythagoras tilhængere ; dog lykkedes det kun at finde ét par venskabsnumre - 220 og 284.

Liste over divisorer for 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 og 110 - deres sum er 284.
Liste over divisorer for 284: 1, 2, 4, 71 og 142 - og summen er 220.

Omkring 850 foreslog den arabiske astronom og matematiker Thabit ibn Qurra en formel til at finde nogle par venlige tal. Hans formel gjorde det muligt at finde to nye par venskabelige tal:

17296 og 18416 ;
9 363 584 og 9 437 056 .

I det 18. århundrede fandt Euler et tilstrækkeligt kriterium til at konstruere par af venskabelige tal, og der var allerede 90 par på hans liste. Sandt nok dækker dette kriterium ikke alle par: for eksempel bemærkede Euler ikke parret (1184, 1210) - det blev opdaget allerede i det 19. århundrede. I det 20. århundrede hjalp computere med at finde titusinder af par. Men der er stadig ingen effektiv generel måde at finde alle sådanne par på.

Første par

Par af venskabsnumre danner sekvensen A063990 i OEIS , og de numre, der er mindre i deres venskabspar, er samlet i sekvensen A002025 , og de større er A002046 . Summen af tallene i hvert par danner sekvensen A180164 . Det er bemærkelsesværdigt, at alle sådanne summer, vilkårene hvor er lige, op til (summen og ) er delelige med . Summer, der ikke kan divideres med , er i A291550 . $1362660800=2^{6}\cdot 5^{2}\cdot 31\cdot 83\cdot 331$ $666030256$ $696630544$ $9$ $9$

220 og 284 ( Pythagoras , omkring 500 f.Kr.)
1184 og 1210 (Paganini, 1866 )
2620 og 2924 ( Euler , 1747 )
5020 og 5564 ( Euler , 1747 )
6232 og 6368 ( Euler , 1750 )
10.744 og 10.856 ( Euler 1747 )
12.285 og 14.595 (Brun 1939 )
17296 og 18416 ( Ibn al-Banna , ca. 1300 ; Farisi , ca. 1300 ; Ferma , 1636 )
63 020 og 76 084 ( Euler , 1747 )
66928 og 66992 ( Euler 1750 )
67 095 og 71 145 ( Euler , 1747 )
69 615 og 87 633 ( Euler , 1747 )
79 750 og 88 730 (Rolf, 1964 )
100 485 og 124 155
122 265 og 139 815
122 368 og 123 152
141 664 og 153 176
142 310 og 168 730
171 856 og 176 336
176 272 og 180 848
185 368 og 203 432
196 724 og 202 444
280 540 og 365 084
308 620 og 389 924
319 550 og 430 402
356 408 og 399 592
437 456 og 455 344
469 028 og 486 178
503 056 og 514 736
522 405 og 525 915
600 392 og 669 688
609 928 og 686 072
624 184 og 691 256
635 624 og 712 216
643 336 og 652 664
667 964 og 783 556
726 104 og 796 696
802 725 og 863 835
879 712 og 901 424
898 216 og 980 984
947 835 og 1 125 765
998 104 og 1 043 096
etc.

Måder at bygge på

Formel for Thabit ibn Qurra

Hvis for et naturligt tal er alle tre tal: $n>1$

p=3\ gange 2^{{n-1}}-1

q=3\ gange 2^{n}-1

r=9\ gange 2^{{2n-1}}-1

er primtal , derefter tallene og danner et par venskabelige tal. $2^{n}pq$ $2^{n}r$

Denne formel giver parrene (220, 284), ( 17296 , 18416 ) og ( 9363584 , 9437056 ) henholdsvis for , men der er ingen andre par af venskabelige tal, der kunne opnås fra denne formel for . $n=2,\;4,\;7$ $n<20~000,$

Eulers formel

Euler udvidede formlen for Thabit ibn Qurra. Hvis for naturlige alle tre tal: $n>m$

p=(2^{nm}+1)\ gange 2^{m}-1

q=(2^{nm}+1)\ gange 2^{n}-1

r=(2^{nm}+1)^{2}\ gange 2^{m+n}-1

er primtal , derefter tallene og danner et par venskabelige tal. Thabit ibn Qurras formel er opnået fra Eulers formel ved substitution . Eulers formel tilføjede kun 2 par til listen over venskabelige tal: $2^{n}pq$ $2^{n}r$ $m=n-1$ $(m,n)=(1,8),(29,40).$

Walter Bohrs metode

Hvis for et par venlige tal af formen og tallene og er prime og ikke er delelige med , så for alle naturlige tal, for hvilke både tal og er primtal, er tallene og venskabelige. $A=au$ $B=as$ $s$ $p=u+s+1$ $-en$ $s$ $n$ $q_{1}=(u+1)p^{{n+1}}-1$ $q_{2}=(u+1)(s+1)p^{n}-1$ $B_{1}=Ap^{n}q_{1}$ $B_{2}=ap^{n}q_{2}$

Åbne numre

Det vides ikke, om antallet af par af venskabelige tal er endeligt eller uendeligt. Fra april 2016 kendes mere end 1.000.000.000 par venskabsnumre [1] . Alle består af tal med samme paritet.

Det vides ikke, om der er et lige-ulige par venskabstal.

Det vides heller ikke, om der findes coprime- venlige tal, men hvis et sådant par af venskabelige tal findes, så skal deres produkt være større end 10 67 .

Interessante fakta

Et par venlige numre 1184 og 1210 blev opdaget i 1866 af en italiensk skoledreng - Niccolo Paganini - den fulde navnebror til den berømte virtuos og komponist . Det er mærkeligt, at dette par ikke blev opdaget af andre store matematikere.

Først stiger antallet af kendte venskabsnumre med n cifre overvejende og når et maksimum ved n = 111 ( 19.790.790 par venskabsnumre med 111 decimaler kendes), men falder derefter overvejende og når nul ved n = 917 (der er ingen kendte 917-cifrede par venskabsnumre). Her er antallet af cifre i et par antallet af cifre i det mindste antal af parret.

BOINC-projektet

Den 30. januar 2017 blev et distribueret computerprojekt på BOINC-platformen - Amicable Numbers [2] lanceret . Søgningen efter venlige numre udføres både ved hjælp af beregninger på processoren og på videokortet .

Se også

Noter

↑ Sergei Chernykh Amicable Pairs-liste Arkiveret 16. august 2017 på Wayback Machine
↑ Offentlig lancering 30. januar 2017

Links

M. García, JM Pedersen, HJJ te Riele. Mindelige par, en undersøgelse (neopr.) // Rapport MAS-R0307. - 2003. Arkiveret 29. november 2006. Arkiveret 29. november 2006 på Wayback Machine
Weisstein, Eric W. Amicable Pair (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Weisstein, Eric W. Thâbit ibn Kurrah Rule (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Weisstein, Eric W. Euler's Rule (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .
Amicable Numbers er et BOINC-projekt for at finde venlige numre.

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)

Tal efter delelighedskarakteristika
Generel information	Faktorisering af heltal Delbarhed enhedsdeler Divisor funktion primtal Grundlæggende sætning for aritmetik Aritmetisk tal
Faktoriseringsformer	primtal Komposit nummer Semiprime rektangulært tal Sphenisk tal Kvadratløst tal Fuld multiple Perfekt grad Achilles nummer glat nummer Almindelig nummer groft tal usædvanligt antal
Med begrænsede divisorer	perfekt tal Lidt utilstrækkelige tal Lidt overflødige tal Multiperfekt tal Hemiperfekte tal hyperperfekt tal super perfekt nummer enhedsprimtal semiperfekt tal pararytmisk tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med mange divisorer	Overskydende tal Primitive overskydende tal Meget overflødige tal Super redundante numre Enormt overflødige tal supersammensat tal Et meget supersammensat tal mærkeligt nummer
Relateret til aliquot -sekvenser	helligt tal venlige tal offentlige numre Kvasivenlige tal
Andet	Ikke nok tal ven tal sublimerede tal Malmtal ydmygt nummer Lige cifre ekstravagant nummer