Firkantet (algebra)

Kvadratet af et tal er resultatet af at gange et tal med sig selv: . Betegnelse :. $x$ $x\cdot x$ $x^{2}$

Beregning er en matematisk operation kaldet kvadrering . Denne operation er et særligt tilfælde af eksponentiering , nemlig at hæve et tal til 2 potens. $x^{2}$ $x$

Det følgende er begyndelsen af talsekvensen for kvadraterne af ikke-negative heltal (sekvens A000290 i OEIS ):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 441, 6 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521.

Historisk set blev naturlige tal fra denne sekvens kaldt "firkantet" .

Præsentationsmetoder

Kvadratet af et naturligt tal kan repræsenteres som summen af de første ulige tal : $n$ $n$

en:

1=1

4=1+3

…
7:

49=1+3+5+7+9+11+13

…

En anden måde at repræsentere kvadratet af et naturligt tal: Eksempel:
$n^{2}=1+1+2+2+\ldots +(n-1)+(n-1)+n$

en:

1=1

4=1+1+2

…
fire:

16=1+1+2+2+3+3+4

…

Summen af kvadraterne af de første naturlige tal beregnes ved formlen: $n$
$\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}={\ frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Konklusion

Metode 1, støbemetode:

Overvej summen af terninger af naturlige tal fra 1 til :

n+1

\sum _{{k=1}}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{{k=0}}^{n}(k+1)^ {3}=\sum _{{k=0}}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{{k=0}}^{n} k^{3}+\sum _{{k=0}}^{n}3k^{2}+\sum _{{k=0}}^{n}3k+\sum _{{k=0} }^{n}1=\sum _{{k=0}}^{n}k^{3}+3\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}+3\ sum _{{k=0}}^{n}k+\sum _{{k=0}}^{n}1

Vi får:

(n+1)^{3}=3\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}+3\sum _{{k=0}}^{n}k+\sum _ {{k=0}}^{n}1=3\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}} +(n+1)

Gang med 2 og omarranger:

6\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1) )(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

(Formlen blev brugt i ræsonnementet: , hvis udledning svarer til den angivne)

\sum _{{k=0}}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}

Metode 2, metode med ukendte koefficienter:

Bemærk, at summen af potensfunktioner kan udtrykkes som en potensfunktion. Baseret på dette faktum, lad os antage:

N

N+1

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D

f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14

Vi får et system af lineære ligninger med hensyn til de nødvendige koefficienter:

{\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\ \end{sager}}

At løse det, får vi

A={\frac {1}{3)),B={\frac {1}{2)),C={\frac {1}{6)),D=0

På denne måde:

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2} }n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

Kvadratet af et komplekst tal

Kvadratet af et komplekst tal i algebraisk form kan beregnes ved hjælp af formlen:

\left(a+bi\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi.

En lignende formel for et komplekst tal i trigonometrisk form er:

\left(r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\right)^{2}=r^{2}\left(\cos {2\phi}+i\sin {2\ phi}\right).

Geometrisk sans

Kvadraten af et tal er lig med arealet af et kvadrat med en side lig med det tal.

Litteratur

Graham R., Knut D., Patashnik O. - Konkret matematik. Grundlaget for informatik. Om. fra engelsk. -M.: Mir, 1998. -703 s.

Se også

At tage en kvadratrod er den omvendte operation af kvadratering.
kvadrattal
terning nummer
Generalisering til højere grader på Wolfram Arkiveret 2. juli 2012 på Wayback Machine .