Mersenne nummer

Mersenne- tallet er et tal af formen , hvor er et naturligt tal ; sådanne tal er bemærkelsesværdige ved, at nogle af dem er prime for store værdier på . De er opkaldt efter den franske matematiker Marin Mersenne , som studerede deres egenskaber i det 17. århundrede. $M_{n}=2^{n}-1$ $n$ $n$

Første Mersenne-numre [1] :

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, …

Egenskaber

For alle gælder følgende: hvis er sammensat, så er det også sammensat, hvilket følger af udvidelsen: $M_{n}$ $n$ $n=kl,k,l>1$ $M_{n}$

2^{n}-1=2^{kl}-1=(2^{k}-1)(2^{k(l-1)}+2^{k(l-2)} +\dots +1),

Det følger umiddelbart heraf: et tal er kun primtal , hvis tallet også er primtal. Det omvendte udsagn er ikke sandt i det generelle tilfælde, det mindste modeksempel er . $M_{n}$ $n$ $M_{{11}}=2047=23\cdot 89$

Enhver divisor af et sammensat tal for et primtal har formen , hvor er et naturligt tal (dette er en konsekvens af Fermats lille sætning ). $M_{p}$ $s$ $2\cdot p\cdot k+1$ $k$

Mersenne-primtal er tæt forbundet med perfekte tal . Euklid viste, at et tal af formen , hvor Mersenne-tallet er primtal, er perfekt. Euler beviste, at alle lige perfekte tal er opbrugt af denne formel. (Med hensyn til ulige perfekte tal, er der intet kendt om deres eksistens indtil nu.) ${\tfrac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=2^{{p-1}}(2^{p}-1)$ $M_{p}$

Mersenne primtal

For alle formens primtal er eksponenten også altid et primtal, så Mersenne-tal med en prim -eksponent [2] studeres især (i nogle artikler er det kun sådanne tal, der betragtes som Mersenne-tal). Sekvensen af Mersenne-primtal starter således [3] : $2^{n}-1$ $n$ $M_{p}=2^{p}-1$ $s$

3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131 071, 524 287, 2 147 483 647 , 2 305 843 009 213 693 951 , 618 970 019 642 690 137 449 562 111 , 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127 127 , 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 …

Eksponenterne for kendte Mersenne-primtal danner en sekvens [4] [5] : $s$

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281 , 3217 , 4253 . , 23 209 , 44 497 , 86 243 , 110 503 , 132 049 , 216 091 , 756 839 , 859 433 , 1 257 787 , 1 398 269 , 2 976 221 , 3 021 377 , 6 972 593 , 13 466 917 20 996 011 , 24 036 583 , 25 964 951 , 30 402 457 , 32 582 657 , 37 156 667 , 42 643 801 , 43 112 509 8 , 7 3 112 609 8 , 7 2 5 2 5 2 7 2 5 2 7 2 7

Mersenne-numre vandt berømmelse i forbindelse med en effektiv algoritme til at kontrollere enkelheden af Mersenne-tal - Luc-Lehmer-testen . Derfor har Mersenne primtal længe haft føringen som de største kendte primtal [6] . Også Mersenne-primtal bruges til at konstruere pseudo-tilfældige talgeneratorer med store perioder [7] , såsom Mersenne-hvirvelen .

Finde Mersenne-primtal

Det største kendte primtal (fra januar 2019) er Mersenne-tallet , fundet den 7. december 2018 af Patrick Laroche som en del af GIMPS frivillige computerprojekt . Decimalnotationen af et tal indeholder 24.862.048 cifre [8] . $M_{82589933}=2^{82589933}-1$ $M_{82589933}$

I alt er der i december 2018 kendt 51 Mersenne-primtal, mens serienumre kun er pålideligt etableret for de første 48 [9] tal. Det vides især ikke, om der er andre Mersenne-primtal mindre end den kendte rekord. Navnlig blev den 45. Mersenne prime fundet to uger senere end den 47. kendte Mersenne prime , mens den 46. kendte Mersenne prime ikke blev fundet før et år senere. $M_{37156667}$ $M_{{43112609}}$ $M_{42643801}$

I 2009 modtog GIMPS-projektet en pris på $ 100.000 fra Electronic Frontier Foundation for at finde et Mersenne-primtal for at finde et primtal, hvis decimalnotation indeholder mindst 10 millioner cifre [10] . $M_{{43112609}}$

Variationer og generaliseringer

Det dobbelte Mersenne- tal er et tal af formen. Fra januar 2021 kendes kun 4 primtal af denne art (for). $M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$ $n=2,3,5,7$

Catalansk-mersenne-tal er medlemmer af en talfølge, der starter med 2 og er bygget ved at anvende en funktionpå det foregående medlem; første elementer[11]: $2^{n}-1$ $n$

2, 3, 7, 127 , 170141183460469231731687303715884105727 …

Catalansk antog, at disse tal var prime "op til en vis grænse."

Det generaliserede Mersenne- tal er et nummer af formen:

h^{0}+h^{1}+h^{2}+\dots +h^{n-1}={\frac {h^{n}-1}{h-1)) =M_{t,n}

En sådan generalisering skyldes, hvad der kan repræsenteres som summen af de første led i en stigende geometrisk progression : $2^{n}-1$ $n$

2^{n}-1=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\dots +2^{n-1}={\frac {2^{n}- 1}{2-1}}

med andre ord er Mersenne-tal et specialtilfælde af generaliserede Mersenne-tal for . For nogle værdier er og generaliserede Mersenne-tal enkle, for eksempel, , , , , , , og en række andre. $h=2$ $h$ $n$ $M_{3,3}$ $M_{3,7}$ $M_{3,13}$ $M_{3,71}$ $M_{5,3}$ $M_{5,7}$ $M_{5,47}$

Åbne numre

Det vides ikke, om sættet af Mersenne-primtal er endeligt eller uendeligt, og tætheden af deres fordeling i sættet af naturlige tal er ukendt.

Det vides ikke, om der eksisterer prime dobbelte Mersenne-tal for . $n>7$

Noter

↑ OEIS -sekvens A000225 _
↑ OEIS -sekvens A001348 _
↑ OEIS -sekvens A000668 _
↑ OEIS -sekvens A000043 _
↑ Liste over kendte Mersenne- primtal . Fantastisk Internet Mersenne Prime Search . Hentet: 9. december 2016.
↑ De største kendte primtal – et resumé . The Prime Pages (26. december 2018). Hentet: 28. december 2018.
↑ R. P. Brent, P. Zimmermann. Tilfældige talgeneratorer med periode deleligt med et Mersenne-primtal // Lecture Notes in Computer Science. - 2003. - T. 2667 . - S. 1-10 .
↑ Elizabeth Ivtushok. Det største primtal er blevet øget med halvanden million tegn . nplus1.ru. Hentet: 23. december 2018. (Russisk)
↑ GIMPS-milepæle . www.mersenne.org . Hentet: 5. april 2022. (ubestemt)
↑ Optag 12-million-cifrede primtalsnetto $100.000 -præmie
↑ OEIS -sekvens A007013 _