Pseudoskalært produkt

Et pseudoskalært [1] eller skævt produkt af vektorer og på en plan er et tal $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\sin \theta ,

hvor er rotationsvinklen (mod uret) fra til . Hvis mindst en af vektorerne er nul, så . Geometrisk er det pseudoskalære produkt af vektorer det orienterede område af parallelogrammet spændt ud af disse vektorer. Med dens hjælp er det praktisk at arbejde med områderne af polygoner, udtrykke betingelserne for vektorernes kollinearitet og finde vinklerne mellem dem. $\theta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =0$

Det pseudoskalære produkt eksisterer kun for 2-dimensionelle vektorer, dets modstykke i 3D-rum er det tredobbelte punktprodukt .

Egenskaber

Linearitet : Her er vilkårlige reelle tal . $\mathbf {a} \wedge (\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {c} )=\lambda \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} +\mu \mathbf {a} \wedge \mathbf {c} .$ $\lambda$ $\mu$
Antikommutativitet :. _ $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =-\mathbf {b} \wedge \mathbf {a}$
$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ er en pseudoskalær , dvs. invariant under alle ikke-degenererede isometrier, der ikke inkluderer refleksioner.
Det pseudoskalære produkt er det orienterede område af parallelogrammet spændt ud af vektorerne og . $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {b}}$
- Den absolutte værdi af det pseudoskalære produkt er
området for et sådant parallelogram. $|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} |$
Det orienterede område af en trekant er udtrykt ved formlen $\trekant ABC$ $S(A,B,C)={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {AB}}\wedge {\overrightarrow {AC}}),$

og dens areal er derfor lig med modulet af denne mængde.

Hvis vi betragter et plan i tredimensionelt rum, så

\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\pm (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {n} ,

hvor « » og « » er henholdsvis vektor- og skalarprodukter og er enhedsvektoren for normalen til planet. Plustegnet tages, hvis det rigtige grundlag på planet, suppleret med vektoren , også danner et rigtigt grundlag; ellers minus.

\ gange

\ \cdot

\mathbf {n}

\mathbf {n}

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\mathbf {0}$ er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for kollineariteten af vektorer uden nul på planet. Nullvektoren betragtes normalt som ortogonal i forhold til enhver anden vektor for nemheds skyld med det mere almindelige punktprodukt , selvom dette er en vilkårlig konvention.
Det følger af linearitet og antikommutativitet, at hvis en ortonormal basis og to vektorer med koordinater i det er givet på planet, så er deres pseudoskalære produkt lig med determinanten $\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle ,~~\angle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2 })={\tfrac {\pi }{2)),$ $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}),~~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}),$

\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix))

Dette udtryk kan også skrives i form af Levi-Civita-symbolet i to dimensioner:

{\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\sum _{i,\;j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j))

Se også

Noter

↑ Prasolov V.V. , Opgaver i planimetri. Arkiveksemplar dateret 16. november 2011 på Wayback Machine - 4. udgave, suppleret - M .: MTSNMO, 2001. - 584 s. ; ISBN 5-900916-82-0 .

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet