Dobbelt kryds produkt
Dobbeltvektorprodukt (et andet navn: triple vektorprodukt ) af vektorer - vektorproduktet af en vektor ved vektorproduktet af vektorer og
![\venstre[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5516ee4951b687c51ae4fdaf2bd2bfbb4f75d63)
![\venstre[{\vec {a)],{\vec {b)),{\vec {c}}\right]=\venstre[{\vec {a)],\venstre[{\vec {b} },{\vec {c}}\right]\right].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25ec0ade11817559ae9c35a44c380117a2b764e)
I litteraturen kaldes denne type produkt af tre vektorer både triple [1] (ifølge antallet af vektorer) og dobbelt [2] (ifølge antallet af multiplikationsoperationer).
Egenskaber
Lagranges formel
For dobbeltvektorproduktet er Lagrange-formlen gyldig:
![{\displaystyle {\Big [}{\vec {a)),{\big [}{\vec {b)],{\vec {c}}{\big ]}{\Big ]}={\vec {a}}\times {\big (}{\vec {b}}\times {\vec {c}}{\big )}={\vec {b}}{\big (}{\vec {a }}\cdot {\vec {c}}{\big )}-{\vec {c}}{\big (}{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}{\big )} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786531cc83fa02005050f0996904731a272479ff)
som kan huskes efter mnemonreglen "bang minus tsab" .
Bevis 1Lad os vælge et rigtigt ortonormalt grundlag , så det
Derefter
![\left[{\vec {b)],{\vec {c}}\right]=\left(0,0,-\beta _{2}\gamma _{1}\right),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711d686f29d08b6c0f159c18cde16deafbd28417)
![\left[{\vec {a)],\left[{\vec {b)],{\vec {c}}\right]\right]=\left(-\alpha _{2}\beta _{ 2}\gamma _{1},\alpha _{1}\beta _{2}\gamma _{1},0\right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64275fc8b28ff088ed73518658feae05fb5dd992)
og
På denne måde
Bevis 2 (ved hjælp af Levi-Civita-tensoren )![\left[{\vec {a)],\left[{\vec {b)],{\vec {c}}\right]\right]={\vec {b}}\left({\vec { a}}\cdot {\vec {c}}\right)-{\vec {c}}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f8325b29e2087be9e09986648ce21d0031b72d)
En anden version af beviset bruger udvidelsen af krydsproduktet med hensyn til komponenter ved hjælp af Levi-Civita-tensoren :
![{\displaystyle [{\vec {a)],\;{\vec {b))]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0208d5e804d66cac8d217f91a88608e63326b3c)
(her og nedenfor udføres summering over gentagne indekser, dvs. se Einsteins summeringskonvention).
![{\displaystyle \left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_ {j}(\varepsilon _{klm}b_{l}c_{m})=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}a_{j}b_{l}c_{m}=(\delta _{ il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl})a_{j}b_{l}c_{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0b96f916403ac58e579afcfa4731e0937067ea)
Forholdet hvor er Kronecker-symbolet bruges . Yderligere,
![{\displaystyle \left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]_{i}=\delta _{il}\ delta _{jm}a_{j}b_{l}c_{m}-\delta _{im}\delta _{jl}a_{j}b_{l}c_{m}=\delta _{il}a_ {m}b_{l}c_{m}-\delta _{im}a_{l}b_{l}c_{m}=a_{m}b_{i}c_{m}-a_{l}b_{ l}c_{i}=b_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-c_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {b} }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c60555540b1a6169c2d6355eb0e421d7c3fa5de)
Her bruges egenskaben for Kronecker deltaet, som giver dig mulighed for at erstatte det indeks, som summeringen med deltaet udføres over: Således,
![{\displaystyle \left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]_{i}=b_{i}({\ vec {a}}\cdot {\vec {c}})-c_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8b5a9b21f31b49743c3e8d3eff66a2ec016f1d)
og ved at gå fra komponenterne til hele vektoren opnår vi den nødvendige relation.
Jacobi-identitet
For dobbeltkrydsproduktet gælder Jacobi-identiteten:
![{\displaystyle {\big [}{\vec {a)),{\vec {b)],{\vec {c}}{\big ]}+{\big [}{\vec {b)), {\vec {c)),{\vec {a}}{\big ]}+{\big [}{\vec {c}},{\vec {a}},{\vec {b}}{ \big ]}={\vec {0)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65448711aa4cd575d4965e41d0803eccf95eb351)
hvilket bevises ved at åbne parenteserne ved hjælp af Lagrange-formlen:
Noter
- ↑ Se for eksempel Weisstein, Eric W. Vector Triple Product på Wolfram MathWorld ..
- ↑ Se for eksempel M. Ya. Vygodsky, Handbook of Higher Mathematics, Moscow, 1977, s. 156.
Se også
| Vektorer og matricer | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Vektorer |
| ||||||||
| matricer |
| ||||||||
| Andet | |||||||||