Symmetrisk matrix

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. november 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Symmetrisk (symmetrisk) kaldes en kvadratisk matrix , hvis elementer er symmetriske om hoveddiagonalen . Mere formelt kaldes en matrix symmetrisk hvis . $EN$ $\forall i,j:a_{{ij}}=a_{{ji}}$

Det betyder, at den er lig med dens transponerede matrix :

A=A^{T}

Eksempler

{\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0 \\0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}

Egenskaber

En symmetrisk matrix er altid kvadratisk .

For enhver symmetrisk matrix A med reelle elementer gælder følgende:

den har reelle egenværdier
dens egenvektorer svarende til forskellige egenværdier er ortogonale i forhold til hinanden:

Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0

dens egenvektorer kan altid danne en ortonormal basis
matrix A kan reduceres til en diagonal form: , hvor er en ortogonal matrix , hvis søjler indeholder en ortonormal basis af egenvektorer, og D er en diagonal matrix med egenværdier af matrix A på diagonalen. $A=QDQ^{{T}}$ $Q$
Hvis en symmetrisk matrix A har en enkelt egenværdi , så har den en diagonal form: , hvor er identitetsmatrixen , på ethvert grundlag. $\lambda$ $A=\lambda E$ $E$
For en symmetrisk matrix er enhver kongruent matrix også symmetrisk, dvs.

${\textstyle A=A^{\mathrm {T} }\quad \Longrightarrow \quad X^{\mathrm {T} }AX=(X^{\mathrm {T}}AX)^{\mathrm {T} }.}$

Positive (negative) bestemte matricer

En symmetrisk matrix af dimension siges at være positiv bestemt, hvis betingelsen for en negativ, ikke-positiv og ikke-negativ bestemt matrix er formuleret på samme måde med en tilsvarende ændring i ulighedstegnet. For at tydeliggøre arten af matrixens sikkerhed kan Sylvester-kriteriet bruges . $EN$ $k\ gange k$ ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {R} ^{k}\setminus \{\mathbf {0} \))$ $z^{T}Az>0.$

Se også

Litteratur

Bellman R. Introduktion til matrixteori . — M .: Mir, 1969 (djvu).
Gantmakher F. R. Matrix Theory. - 5. udg. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 s. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (2. udg.). — M. : Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Matrixberegninger. — M .: Mir, 1999. — 548 s. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. Forløb af højere algebra. - 9. udg. - M . : Nauka, 1968. - 432 s.

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet