Matrix spor

Sporet af en matrix er en operation, der kortlægger rummet af kvadratiske matricer ind i det felt , som matricen er defineret over (for reelle matricer, ind i feltet af reelle tal, for komplekse matricer, ind i feltet af komplekse tal ). Sporet af en matrix er summen af elementerne i matrixens hoveddiagonal, det vil sige, hvis elementerne i matrixen er , så er dens spor . Matricer med nul-spor kaldes sporløse (fra engelsk sporløs eller sporfri ) [1] . $a_{{ij}}$ $EN$ ${\mathop {{\rm {tr}}}}\;A=\sum _{i}a_{{ii}}$

I matematiske tekster er der to betegnelser for driften af at tage et spor: (fra det engelske trace - et spor), og (fra det. Spur - et spor). $\mathop {\rm {tr))\;A$ ${\mathop {{\rm {Sp))))\;A$

I tensorregning er sporet af en tensor af anden rang (en gang kovariant og en gang kontravariant) summen af dens diagonale elementer. Uanset kovarians og kontravarians beregnes sporet af en tensor af anden rang som et dobbelt skalarprodukt af en tensor med en metrisk tensor og er den første invariant : . ${\rm {tr}}A=I_{1}(A)=g\cdot \cdot A$

Definition

Sporet af en kvadratisk størrelse matrix forstås som: $EN$ $n\ gange n$

$\mathrm {tr} \;A=\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}=a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{ n,n},$

hvor er elementerne i hoveddiagonalen : ${\displaystyle a_{i,i))$

$\mathrm {tr} \;{\begin{pmatrix}\color {rød}{a_{1,1}}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\color {rød}{\ ddots }&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &\color {rød}{a_{n,n}}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\ farve {rød}{a_{i,i}}$ .

Egenskaber

Linearitet . ${\mathop {{\rm {tr))))\;(\alpha A+\beta B)=\alpha {\mathop ({\rm {tr))))\;A+\beta {\mathop ({\ rm {tr}}}}\;B$
${\mathop {{\rm {tr))))\;(AB)={\mathop {{\rm {tr))))\;(BA)$ . Følge: sporet er det samme for alle lignende matricer: . $\mathop {\rm {tr)) \;(C^{-1}AC)=\mathop {\rm {tr)) \;A$
${\mathop {{\rm {tr}}}}\;A={\mathop {{\rm {tr}}}}\;A^{{\mathrm {T}}}$ , hvor angiver transponeringsoperationen . $\mathrm{T}$
$\ln \det A={\mathop {{\rm {tr))))\;\ln A$ .
Hvis tensorproduktet af matricerne A og B , så . $Nogle gange B$ ${\mathop {{\rm {tr))))\;A\otimes B=({\mathop {{\rm {tr))))\;A)({\mathop {{\rm {tr)) }}\;B)$
Sporet af en matrix er lig med summen af dens egenværdier .
Determinanten af en kvadratisk matrix kan udtrykkes i form af spor af potenser af denne matrix, der ikke overstiger . F.eks . $n\ gange n$ $n$ $\det A_{{3\times 3}}={\frac {1}{6}}\left(({\mathop {{\rm {tr}}}}A)^{3}-3{\mathop {{\rm {tr}}}}A\cdot {\mathop {{\rm {tr}}}}A^{2}+2{\mathop {{\rm {tr}}}}A^{3 }\ret)$

Geometrisk egenskab

${\mathop {{\rm {det))))(E+G\varepsilon )=1+{\mathop ({\rm {tr))))G\ \varepsilon \ +o(\varepsilon )$ ,

hvor E er identitetsmatrixen, ε er et infinitesimalt tal. Det vil sige, at en infinitesimal lineær transformation ændrer volumen med en mængde, der er proportional med sporet af generatoren af denne transformation i første orden i dens lille parameter. Med andre ord er volumenændringshastigheden under en sådan transformation lig med sporet af dens generator.

Konsekvenser:
- ${\mathop {{\rm {det}}}}\ {\mathop {{\rm {exp}}}}(G\alpha )=1+{\mathop {{\rm {tr}}}}G\ \alfa \$ for lille α
- For at transformationer ikke skal ændre volumen, er det tilstrækkeligt, at deres generatorer er sporløse.

Se også

Spor (feltteori)

Noter