Blandet produkt

Det blandede produkt af vektorer er skalarproduktet af en vektor og vektorproduktet af vektorer og : $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}}$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {b}}$ ${\mathbf {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf c})={\mathbf {a}}\cdot \left({\mathbf {b}}\ gange {\mathbf c} \ret)

Det kaldes nogle gange det tredobbelte punktprodukt af vektorer, tilsyneladende på grund af det faktum, at resultatet er en skalar (mere præcist, en pseudoskalær ).

Geometrisk betydning: modulet af det blandede produkt er numerisk lig med volumenet af parallelepipedet dannet af vektorerne . ${\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c}$

Egenskaber

Det blandede produkt er skævsymmetrisk med hensyn til alle dets argumenter:

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c})=({\mathbf b},{\mathbf c},{\mathbf a})=({\mathbf c},{\mathbf a},{\mathbf b})=-({\mathbf b},{\mathbf a},{\mathbf c})=-({\mathbf c},{\mathbf b},{\mathbf a} )=-({\mathbf a},{\mathbf c},{\mathbf b});

dvs. en permutation af to vilkårlige faktorer ændrer produktets fortegn. Derfor følger det

\langle {\mathbf a},[{\mathbf b},{\mathbf c}]\rangle =\langle [{\mathbf a},{\mathbf b}],{\mathbf c}\rangle

Det blandede produkt i det højre kartesiske koordinatsystem (i den ortonormale basis) er lig med determinanten af matrixen sammensat af vektorerne og : $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\mathbf {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x} &b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.

Det blandede produkt i det venstre kartesiske koordinatsystem (på ortonormal basis) er lig med determinanten af matrixen sammensat af vektorer og taget med et minustegn: $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\mathbf {c}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})=-{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x }&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.

I særdeleshed,

Hvis to vektorer er kollineære, danner de med en hvilken som helst tredje vektor et blandet produkt lig nul.
Hvis tre vektorer er lineært afhængige (dvs. koplanære, ligger i samme plan), så er deres blandede produkt nul.
Geometrisk betydning - Det blandede produkt i absolut værdi er lig med volumenet af parallelepipedummet (se figur) dannet af vektorerne og ; tegnet afhænger af, om denne trippel af vektorer er højre eller venstre. $({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ ${\mathbf {a},{\mathbf {b))$ ${\mathbf {c}}$
Kvadratet af det blandede produkt af vektorer er lig med Gram- determinanten defineret af dem [1] :215 .

Det blandede produkt er bekvemt skrevet med Levi-Civita-symbolet (tensor) :

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c})=\sum _{{i,j,k}}\varepsilon _{{ijk}}a^{i}b^{j} c^{k}

(i den sidste formel i en ortonormal basis kan alle indekser skrives som lavere; i dette tilfælde gentager denne formel formlen med en determinant ret direkte, men dette resulterer automatisk i en faktor (-1) for venstre baser) .

Generalisering

I det dimensionelle rum er en naturlig generalisering af det blandede produkt, som har betydningen af et orienteret volumen, determinanten for en matrix sammensat af rækker eller kolonner fyldt med vektorkoordinater. Betydningen af denne mængde er et orienteret -dimensionelt volumen (en standardbasis og en triviel metrisk er underforstået). $n$ $n\ gange n$ $n$

På et vilkårligt grundlag af vilkårlig dimension er det blandede produkt bekvemt skrevet ved hjælp af Levi-Civita-symbolet (tensor) af den tilsvarende dimension:

({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c},\ldots )=\sum _{{i,j,k,\ldots }}\varepsilon _{{ijk\ldots }}a^ {i}b^{j}c^{k}\ldots

I todimensionelt rum er dette det pseudoskalære produkt .

Se også

Noter

↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra i eksempler og opgaver . - M . : Højere skole , 1985. - 232 s.

Links

Blandet produkt af vektorer og dets egenskaber. Eksempler på problemløsning

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet