Omvendt matrix

En invers matrix er sådan en matrix , når den multipliceres med den oprindelige matrix , opnås identitetsmatrixen : $A^{{-1}}$ $EN$ $E$

AA^{-1}=A^{-1}A=E.

Den inverse matrix kan defineres som:

A^{-1}={\frac {{\mbox{adj}}A}{|A|}},

hvor er den tilsvarende tilhørende matrix ,

{\mbox{adj}}A

|A|

er matrixens determinant .

EN

Denne definition indebærer et kriterium for invertibilitet: en matrix er inverterbar, hvis og kun hvis den er ikke- degenereret , det vil sige, at dens determinant ikke er lig med nul. For ikke-kvadratiske matricer og degenererede matricer er der ingen inverse matricer. Det er dog muligt at generalisere denne forestilling og introducere pseudoinverse matricer , som ligner inverse i mange egenskaber.

Egenskaber for den inverse matrix

Lad kvadratiske matricer være ikke-degenererede. Derefter: $A,~B$

${\bigl (}A^{-1}{\bigr )}^{-1}=A$
$\det A^{{-1}}={\frac {1}{\det A}}$ , hvor angiver determinanten . $\det$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
${\displaystyle (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T))$ , hvor angiver transponeringsoperationen . $T$
$(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$ for enhver koefficient . $k\ikke=0$
$E^{-1}=E$ .
Lad det være nødvendigt at løse et system af lineære ligninger , hvor er den ønskede vektor, er en ikke-nul vektor. Hvis det findes, så . Ellers er enten dimensionen af løsningsrummet større end nul, eller også er der slet ingen. $akse=b$ $x$ $b$ $A^{{-1}}$ $x=A^{{-1}}b$
$\left({A}-{B}\right)^{-1}={A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({A}-{ B}\right)^{-1},$
$\left({A}+{B}\right)^{-1}=\left({I}+{A}^{-1}{B}\right)^{-1}{A }^{-1},$
$\left({A}-{B}\right)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({A}^{-1}{B}\ højre)^{k}{A}^{-1}.$

Måder at finde den omvendte matrix

Hvis matricen er inverterbar, kan du bruge en af følgende metoder for at finde den inverse af matrixen:

Præcise (direkte) metoder

Jordan-Gauss metode

Lad os tage to matricer: sig selv og identitetsmatrixen . Lad os bringe matricen til enhed 1 ved hjælp af Gauss-Jordan-metoden , ved at anvende transformationer i rækker (du kan også anvende transformationer i kolonner). Efter at have anvendt hver operation på den første matrix, skal du anvende den samme operation på den anden. Når reduktionen af den første matrix til identitetsformularen er gennemført, vil den anden matrix være lig med . $EN$ $E$ $EN$ $A^{{-1}}$

Når du bruger Gauss-metoden, vil den første matrix blive ganget fra venstre med en af de elementære matricer ( en transvektion eller en diagonal matrix med ener på hoveddiagonalen undtagen én position): $\Lambda _{i}$

\Lambda _{1}\cdot \dots \cdot \Lambda _{n}\cdot A=\Lambda A=E\Rightarrow \Lambda =A^{-1}.

\Lambda _{m}={\begin{bmatrix}1&\dots &0&-a_{1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\&&&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_{m -1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_{m+1m}/a_{mm}&1&\dots &0\ \&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_{nm}/a_{mm}&0&\dots &1\end{bmatrix}}.

Den anden matrix efter anvendelse af alle operationerne vil være lig med , det vil sige, det vil være den ønskede. Kompleksiteten af algoritmen er . $\lambda$ $O(n^{3})$

Ved hjælp af matrixen af algebraiske komplementer

Matrixen invers til matrix , kan repræsenteres som: $EN$

{A}^{-1}={{{\mbox{adj}}(A)} \over {\det(A))),

hvor er den adjoint matrix (en matrix sammensat af algebraiske komplementer for de tilsvarende elementer i den transponerede matrix).

{\mbox{adj}}(A)

Algoritmens kompleksitet afhænger af kompleksiteten af determinantberegningsalgoritmen og er lig med . ${\displaystyle O_{\det ))$ ${\displaystyle O(n^{2})\cdot O_{\det ))$

Brug af LU- eller LUP-dekomponering

Matrixligningen for den inverse matrix kan betragtes som et sæt af systemer af formen . Betegn den -. kolonne i matrixen med ; da , , da den -te kolonne i matrixen er enhedsvektoren . Med andre ord er det at finde den inverse matrix reduceret til at løse ligninger med én matrix og forskellige højresider. Løsningen af disse ligninger kan simplificeres ved hjælp af LU- eller LUP-dekomponering af matrixen . Efter at have udført LUP-nedbrydningen i tid , skal hver ligning have tid til at løse , så denne algoritme tager også tid [1] . $AX=I_{n}$ $x$ $n$ $akse=b$ $jeg$ $x$ $X_{i}$ $AX_{i}=e_{i}$ $i=1,\ldots ,n$ $jeg$ $I}$ $e_{i}$ $n$ $EN$ $O(n^{3})$ $n$ $O(n^{2})$ $O(n^{3})$

Matrixen omvendt til en given ikke-singular matrix kan også beregnes direkte ved hjælp af matricerne opnået fra dekomponeringen. $EN$

Resultatet af LUP-nedbrydningen af matrixen er ligheden . Lad ,. _ Så kan vi ud fra egenskaberne for den inverse matrix skrive: . Hvis vi ganger denne lighed med og så kan vi få to ligheder af formen og . Den første af disse ligheder er et system af lineære ligninger, for hvilke højresiderne er kendt (fra egenskaberne for trekantede matricer). Den anden repræsenterer også et system af lineære ligninger, for hvilke højresiderne er kendt (også fra egenskaberne for trekantede matricer). Sammen danner de et system af lighed. Med deres hjælp kan du rekursivt bestemme alle elementerne i matrixen . Så fra ligheden opnår vi ligheden . $EN$ $PA=LU$ $PA=B$ $B^{{-1}}=D$ $D=U^{{-1}}L^{{-1}}$ $U$ $L$ $UD=L^{{-1}}$ $DL=U^{{-1}}$ $n^{2}$ $n(n+1)/2$ $n^{2}$ $n(n-1)/2$ $n^{2}$ $n^{2}$ $D$ $(PA)^{-1}=A^{-1}P^{-1}=B^{-1}=D$ $A^{{-1}}=DP$

I tilfælde af brug af LU-nedbrydning ( ), kræves ingen permutation af søjlerne i matrixen , men opløsningen kan divergere, selvom matrixen er ikke -singular. $A=LU$ $D$ $EN$

Kompleksiteten af begge algoritmer er . $O(n^{3})$

Iterative metoder

Matrixen kan beregnes med vilkårlig præcision som et resultat af følgende iterative proces , kaldet Schultz-metoden, og som er en generalisering af den klassiske Newton-metode : $A^{{-1}}$

X_{k+1}=2X_{k}-X_{k}AX_{k}.

Rækkefølgen af matricer konvergerer til som . Der er også den såkaldte generaliserede Schulz-metode, som beskrives ved følgende gentagelsesrelationer [2] : $X_{k}$ $A^{{-1}}$ $k\to\infty$

{\begin{cases}\Psi _{k}=E-AX_{k},\\X_{k+1}=X_{k}\sum \limits _{i=0}^{n} \Psi _{k}^{i}.\end{cases}}

Valg af indledende approksimation

Problemet med at vælge den indledende tilnærmelse i processerne med iterativ matrixinversion, der betragtes her, tillader os ikke at behandle dem som uafhængige universelle metoder, der konkurrerer med direkte inversionsmetoder baseret for eksempel på matrixnedbrydning. Der er nogle anbefalinger om valget af , som sikrer opfyldelsen af betingelsen ( matricens spektrale radius er mindre end enhed), hvilket er nødvendigt og tilstrækkeligt til konvergensen af den iterative proces. Men i dette tilfælde er det for det første nødvendigt at kende den øvre grænse for spektret af en inverterbar matrix eller matrix (nemlig hvis er en symmetrisk positiv bestemt matrix og , så kan vi tage , hvor ; hvis er en vilkårlig ikke-singular matrix og , så antager vi , hvor også ; vi kan selvfølgelig forenkle situationen og ved at bruge det faktum at , sætte ). For det andet, med en sådan specifikation af den oprindelige matrix, er der ingen garanti for, at den vil være lille (det kan endda vise sig at være ), og en høj rækkefølge af konvergenshastighed vil ikke blive opdaget med det samme. $X_{0}$ $LU$ $X_{0}$ $\rho (\Psi _{0})<1$ $EN$ $AA^{T}$ $EN$ $\rho (A)\leqslant \beta$ $X_{0}={\alpha }E$ $\alpha \in \left(0,2/\beta \right)$ $EN$ $\rho (AA^{T})\leqslant \beta$ ${\displaystyle X_{0}={\alpha }A^{T))$ $\alpha \in \left(0,2/\beta \right)$ $\rho (AA^{T})\leqslant {\mathcal {k}}AA^{T}{\mathcal {k}}$ $X_{0}=A^{T}/\|AA^{T}\|$ $\|\Psi _{0}\|$ $\|\Psi _{0}\|>1$

Til Newtons metode kan man vælge som en indledende tilnærmelse , hvor overskriften betegner den hermitiske konjugation , og er de tilsvarende matrixnormer . Dette beregnes i blot nogle få operationer, hvor er rækkefølgen af matricen, og sikrer konvergensen af algoritmen [3] . $X_{0}=A^{H}/\left(||A||_{1}||A||_{\infty }\right)$ $H$ $||\cdot ||_{1}$ ${\displaystyle ||\cdot ||_{\infty ))$ $X_{0}$ $O(n^{2})$ $n$

Eksempler

Matrix 2×2

\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf { A} }}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\- c&a\\\end{bmatrix}}.

[fire]

Inversionen af en 2 × 2 matrix er kun mulig, hvis . $ad-bc=\det A\neq 0$

Noter

↑ Kormen T. , Leyzerson Ch., Rivest R., Stein K. Algoritmer: konstruktion og analyse, - M . : Williams, 2006 (s. 700).
↑ Petković, MD Generaliserede Schultz iterative metoder til beregning af ydre inverse // Computere og matematik med applikationer . - 2014. - Juni ( vol. 67 , udg. 10 ). - S. 1837-1847 . - doi : 10.1016/j.camwa.2014.03.019 .
↑ Pan, V. , Reif, J. Hurtig og effektiv parallelløsning af tætte lineære systemer // Computere og matematik med applikationer . - 1989. - Bd. 17 , iss. 11 . - S. 1481-1491 . - doi : 10.1016/0898-1221(89)90081-3 .
↑ Hvordan finder man den inverse matrix? . mathprofi.ru Hentet 18. oktober 2017. Arkiveret fra originalen 17. oktober 2017. (ubestemt)

Links

Implementering med fuldt pivotvalg i C++

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet