Kraftens øjeblik

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. januar 2022; checks kræver 6 redigeringer .

Kraftens øjeblik
$\vec{M}=\venstre[\vec{r}\times\vec{F}\right]$
Dimension	L2MT -2 _ _
Enheder
SI	N m
GHS	Dina - centimeter
Noter
Pseudovektor

Kraftmoment ( kraftmoment i forhold til et punkt ) er en vektorfysisk størrelse , der karakteriserer kraftpåvirkningen på et mekanisk objekt, som kan forårsage dets rotationsbevægelse. Det er defineret som krydsproduktet af radiusvektoren for kraftpåføringspunktet og kraftvektoren . Momenter af kræfter dannet under forskellige forhold i teknologien kan have navne: drejningsmoment, rotationsmoment, drejningsmoment, drejningsmoment, vridningsmoment . ${\vec {r))$ $\vec{F}$

Kraftmomentet er angivet med symbolet eller, mere sjældent, (tau). ${\vec {M}}$ ${\vec {\tau ))$

SI -enhed : N⋅m . Størrelsen af kraftmomentet afhænger af valget af oprindelsen af radiusvektorerne O.

Begrebet kraftmoment bruges hovedsageligt inden for statik og opgaver relateret til rotation af dele ( håndtag osv.) i teknisk mekanik . Tilfældet med rotation af et stivt legeme omkring en fast akse er særligt vigtigt - så vælges O på denne akse, og i stedet for selve momentet betragtes dets projektion på aksen ; sådan en projektion kaldes kraftmomentet omkring aksen . ${\displaystyle M_{\parallel ))$

Tilstedeværelsen af et kraftmoment medfører en ændring i kroppens vinkelmomentum i forhold til den samme begyndelse O med tiden : forholdet finder sted . I statik er ligheden til nul af summen af momenterne af alle kræfter påført kroppen en af betingelserne (sammen med ligheden til nul af summen af kræfter) for realiseringen af hviletilstanden. $\vec{L}$ $t$ $d{\vec {L}}/dt={\vec {M}}$

Definition, generel information

I fysik spiller kraftmomentet rollen som en roterende effekt på kroppen.

I det enkleste tilfælde, hvis kraften påføres håndtaget vinkelret på det og rotationsaksen, defineres kraftmomentet som produktet af størrelsen af afstanden fra stedet for påføring af kraften til aksen af drejning af håndtaget, kaldet "kraftens skulder": $\vec{F}$ $F$ $x$

M=[{\rm {force}}]\cdot [{\rm {force\,arm}}]=Fx

For eksempel skaber en kraft på 3 newton påført i en afstand af 2 m fra aksen det samme moment som en kraft på 1 newton med en skulder på 6 m.

Hvis to kræfter virker, taler de om øjeblikket for et par kræfter (denne formulering går tilbage til Arkimedes ' værker ). I dette tilfælde opnås ligevægt i situationen . $F_{1}x_{1}=F_{2}x_{2}$

For tilfælde af mere komplekse bevægelser og mere komplekse objekter kræver definitionen af et øjeblik som et produkt universalisering. $Fx$

Kraftmomentet omtales nogle gange som drejningsmoment eller drejningsmoment. Et "roterende" moment forstås i teknologi som en ydre kraft påført et objekt, og et "drejningsmoment" forstås som et internt moment, der opstår i selve objektet under påvirkning af påførte belastninger (dette koncept bruges i styrke materialer ).

Kraftmoment omkring et punkt

I det generelle tilfælde defineres kraftmomentet på kroppen som vektorproduktet $\vec{F}$

{\vec {M}}=\left[{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right]

hvor er radiusvektoren for kraftpåføringspunktet. Vektoren er vinkelret på vektorerne og . ${\vec {r))$ ${\vec {M}}$ ${\vec {r))$ $\vec{F}$

Oprindelsen af radiusvektorerne O kan være hvad som helst. Normalt vælges O på et valgt punkt: på det sted, hvor ophænget er fikseret, i massecentret, på rotationsaksen osv. Hvis kroppens vinkelmomentum analyseres samtidigt , så er oprindelsen O altid valgt at være det samme for og . $\vec{L}$ $\vec{L}$ ${\vec {M}}$

Medmindre andet er angivet, er et "kraftmoment" et kraftmoment omkring et punkt (O), ikke en eller anden akse.

I tilfælde af flere påførte koncentrerede kræfter summeres deres momenter vektorielt:

{\vec {M}}=\sum _{i}\left[{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}\right]

hvor er radiusvektoren for påføringspunktet for th kraften . I tilfælde af en kraft fordelt med tæthed , ${\vec {r}}_{i}$ $jeg$ ${\vec {F}}_{i}$ $d{\vec {F}}/dV$

{\vec {M}}=\int \limits _{V}\venstre[{\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {F}}}{dV}}\right ]dV

Hvis (N/m 3 ) er en generaliseret funktion, der også kan indeholde delta-lignende led, så dækker de to sidste formler de to foregående. $d{\vec {F}}/dV$

Kraftmoment om aksen

Kraftmomentet om aksen er den algebraiske værdi af projektionen af momentet på aksen, dvs. ${\vec {M}}$

M_{\parallel }={\vec {M}}\cdot {\vec {e}}_{o}

hvor er enhedsvektoren langs aksen, og oprindelsen O er valgt på aksen. Kraftmomentet om aksen kan beregnes som ${\vec {e}}_{o}$

M_{\parallel }=\pm \left|{\vec {r}}_{\perp }\times {\vec {F}}_{\perp }\right|

hvor og er komponenterne i radiusvektoren og kræfterne i planet vinkelret på aksen. ${\vec {r}}_{\perp }$ ${\vec {F}}_{\perp }$

I modsætning til kraftmomentet ændres størrelsen af kraftmomentet omkring aksen ikke, når punktet O forskydes langs aksen. ${\vec {M}}$ ${\displaystyle M_{\parallel ))$

For kortheds skyld kan symbolet på parallelisme og tegnet udelades, og (som ) kaldes "kraftmomentet". ${\displaystyle M_{\parallel ))$ ${\vec {M}}$

Måleenheder

Kraftmomentet har dimensionen "kraft ganget med afstand" og måleenheden er newtonmeter i SI -systemet . 1 Nm er det moment, der frembringes af en kraft på 1 N på en 1 m lang stang, påført enden af armen og rettet vinkelret på den.

Formelt falder dimensionen (N m) sammen med dimensionerne for energi og mekanisk arbejde . Men brugen af enheden "joule" i denne sammenhæng er uønsket, da dette slører den fysiske betydning. ${\vec {M}}$

Nogle eksempler

Formel for håndtagsmoment

Det kraftmoment, der virker på håndtaget er

{\vec {M}}=rF\sin \alpha \cdot {\vec {e}}_{o}

eller hvis vi skriver kraftmomentet om aksen,

M_{\parallel }=rF\sin \alpha

hvor er vinklen mellem kraftens retning og håndtaget. Gearingen er den samme . Den maksimale værdi af momentet opnås, når håndtaget og kraften er vinkelrette, det vil sige ved . Med co -direction og håndtaget er momentet lig nul. $\alfa$ $r\sin \alpha$ $\alpha =\pi /2$ $\vec{F}$

Statisk ligevægt

For at et objekt skal være i ligevægt, skal ikke kun summen af alle kræfter være lig med nul, men også summen af momenterne af alle kræfter omkring ethvert punkt.

For det todimensionelle tilfælde med vandrette og lodrette kræfter er kravet, at summen af kræfter i to dimensioner er nul: og kraftmomentet i den tredje dimension :. $\Sigma F_{horisontal}=0,\,\Sigma F_{vertical}=0$ $\Sigma M=0$

Stiv kropsbevægelse

Bevægelsen af et stivt legeme kan repræsenteres som bevægelsen af et bestemt punkt og rotation omkring det.

Vinkelmomentet i forhold til punktet O i et stift legeme kan beskrives gennem produktet af inertimomentet og vinkelhastigheden i forhold til massecentret og massecentrets lineære bevægelse.

{\vec {L_{o}}}=I_{c}\,{\vec {\omega }}+[M({\vec {r_{o}}}-{\vec {r_{c }}}),{\vec {v_{c}}}}].

Vi vil overveje roterende bevægelser i Koenig-koordinatsystemet , da det er meget sværere at beskrive bevægelsen af et stivt legeme i verdenskoordinatsystemet.

Lad os differentiere dette udtryk med hensyn til tid. Og hvis er en konstant i tid, så $jeg$

{\vec {M}}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\alpha }}),

hvor - vinkelacceleration , målt i radianer pr. sekund pr. sekund (rad/s 2 ). Eksempel: En ensartet skive roterer. ${\vec {\alpha ))$

Hvis inertietensoren ændres med tiden, beskrives bevægelsen omkring massecentret ved hjælp af Eulers dynamiske ligning:

{\vec {M_{c}}}=I_{c}{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}+[{\vec {w}},I_{c} {\vec {w}}].

Forholdet til andre mængder

Med vinkelmomentum

Kraftmomentet er den afledede af vinkelmomentet i forhold til punktet O i forhold til tiden: ${\vec {L}}={\vec {r}}\time {\vec {p}}$

{\vec {M}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}

En lignende formel kan skrives for øjeblikke om aksen:

M_{\parallel }={\frac {dL_{\parallel }}{dt}}

Hvis kraftmomentet eller er nul, bevares vinkelmomentet omkring det tilsvarende punkt eller akse . ${\vec {M}}$ ${\displaystyle M_{\parallel ))$

Med magt

Hvis kraften udfører en handling på en hvilken som helst afstand, så udfører den mekanisk arbejde og udvikler kraft (hvor er hastigheden af et materialepunkt). Det er det samme i tilfældet med kraftmomentet: hvis den udfører en handling gennem "vinkelafstanden", udvikles kraft ${\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$ $\vec{v}$

P={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}

I SI -systemet måles effekt i watt , og vinkelhastighed måles i radianer pr. sekund . $P$ $\vec{\omega}$

Med mekanisk arbejde

Hvis kroppen under påvirkning af et kraftmoment roterer gennem en vinkel , udføres mekanisk arbejde ${\vec {M}}$ $d\varphi$

dA=\left|{\vec {M}}\right|d\varphi

At dreje f.eks. et håndtag rundt om en fast akse med en vinkel, får vi $\varphi _{2}-\varphi _{1}$

A=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\left|{\vec {M}}\right|d\varphi =\left|{\vec {M }}\right|(\varphi _{2}-\varphi _{1})=\left|{\vec {M}}\right|\int _{t_{1}}^{t_{2}} \omega (t)dt

I SI -systemet måles arbejde i joule , og vinkler måles i radianer . $EN$

Dimensionen af arbejde (og energi) falder sammen med dimensionen af kraftmomentet (“newtonmeter” og joule er de samme enheder). Et kraftmoment på 1 N m, når håndtaget eller akslen drejes med 1 radian, udfører arbejde på 1 J, og når den drejes en omdrejning, udfører den mekanisk arbejde og giver joule-energi. $2\pi$

Måling af kraftmomentet

Målingen af kraftmomentet udføres ved hjælp af specielle instrumenter - torsiometre . Princippet for deres drift er normalt baseret på måling af vridningsvinklen på en elastisk aksel, der overfører drejningsmoment, eller på måling af deformationen af en elastisk håndtag. Deformations- og vridningsvinkelmålinger udføres af forskellige strain gauges - strain gauge , magnetoelastic , såvel som små forskydningsmålere - optiske, kapacitive , induktive , ultralyds , mekaniske.

Der findes specielle momentnøgler til måling af tilspændingsmomentet af gevindforbindelser og justerbare og ikke-justerbare momentbegrænsere, de såkaldte "skralde", der bruges i skruenøgler , skruetrækkere , skruemikrometre mv.

Fra konceptets historie

For at forstå, hvor begrebet kraftmoment kom fra, og hvordan de kom til det, er det værd at overveje virkningen af en kraft på en løftestang, der roterer om en fast akse. Arbejdet udført under påvirkning af en kraft på et håndtag , der roterer omkring en fast akse, kan beregnes ud fra følgende betragtninger. ${\vec {F}}$ ${\vec {r))$

Lad, under påvirkning af en kraft, enden af håndtaget forskydes af et uendeligt lille segment , hvilket svarer til en uendelig lille vinkel . Betegn med en vektor, der er rettet langs et infinitesimalt segment og er lig med det i absolut værdi. Vinklen mellem vektorerne og er , og vinklen mellem vektorerne og er . $dl$ $d\varphi$ $d{\vec {l))$ $dl$ ${\vec {F}}$ $d{\vec {l))$ $\beta$ ${\vec {r))$ ${\vec {F}}$ $\alfa$

Derfor er det uendeligt lille arbejde , som kraften udfører på et uendeligt lille snit , lig med skalarproduktet af vektoren og kraftvektoren, dvs. $dA$ ${\vec {F}}$ $dl$ $d{\vec {l))$ $dA={\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}$

Lad os nu prøve at udtrykke vektorens modul i form af radiusvektoren , og projektionen af kraftvektoren på vektoren i form af vinklen . $d{\vec {l))$ ${\vec {r))$ ${\vec {F}}$ $d{\vec {l))$ $\alfa$

Da for en uendelig lille bevægelse af håndtaget , kan vi antage, at bevægelsesbanen er vinkelret på håndtaget , ved hjælp af relationerne for en retvinklet trekant, kan vi skrive følgende lighed: , hvor i tilfælde af en lille vinkel, og derfor, . $dl$ ${\vec {r))$ $dl=r\mathrm {tg} \,d\varphi$ $\mathrm {tg} \,d\varphi =d\varphi$ $\left|d{\vec {l}}\right|=\left|{\vec {r}}\right|d\varphi$

For projektion af kraftvektoren på vektoren kan det ses, at vinklen , og siden , får vi det . ${\vec {F}}$ $d{\vec {l))$ $\beta ={\frac {\pi }{2}}-\alpha$ $\cos {\left({\frac {\pi }{2))-\alpha \right)}=\sin \alpha$ $\left|{\vec {F}}\right|\cos \beta =\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$

Lad os nu skrive det infinitesimale arbejde i form af nye ligheder: , eller . $dA=\left|{\vec {r}}\right|d\varphi \left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$ $dA=\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha \,d\varphi$

Det kan ses, at produktet ikke er andet end modulet af vektorproduktet af vektorerne , og det vil sige , som blev taget for at blive betegnet som kraftmomentet eller modulet af vektoren for kraftmomentet . $\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$ ${\vec {r))$ ${\vec {F}}$ $\left|{\vec {r}}\time {\vec {F}}\right|$ $M$ $\left|{\vec {M}}\right|$

Nu skrives hele værket ganske enkelt: , eller . $A=\int \limits _{0}^{\varphi }\left|{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right|d\varphi$ $A=\int \limits _{0}^{\varphi }\left|{\vec {M}}\right|d\varphi$