Bilineær form

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. maj 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Lad der være et vektorrum over et felt (felter eller betragtes oftest ). $L$ $K$ $K={\mathbb R}$ $K={\mathbb C}$

En bilineær form er en funktion , der er lineær i hvert af argumenterne : $F\kolon L\gange L\til K$

F(x+z,\,y)=F(x,\,y)+F(z,\,y)

F(x,\,y+z)=F(x,\,y)+F(x,\,z)

F(\lambda x,\,y)=\lambda F(x,\,y)

F(x,\,\lambda y)=\lambda F(x,\,y)

her og $x,y,z\i L$ $\lambda \i K.$

Den bilineære form er et specialtilfælde af begrebet en tensor (en tensor af rang (0,2)).

Alternativ definition

I tilfælde af finit-dimensionelle rum (f.eks. ), bruges en anden definition oftere. $\mathbb {R} ^{n}$

Lad der være et sæt vektorer af formen hvor . $L$ $x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),$ $x_{i}\in K,i=\overline {1,n}$

Bilineære former er funktioner af formen $F\colon L\ gange L\til K$

F(x,y)=\sum _{{i,\,j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}y_{j},

hvor a er nogle konstanter fra feltet $x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),$ $y=(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}),$ $a_{{ij}}$ $K.$

Med andre ord er en bilineær form en funktion af to vektorer med hensyn til de variable komponenter i hver, hvilket er et homogent polynomium af første grad med hensyn til de variable komponenter i hver vektor. $n$

Relaterede definitioner

En bilineær form kaldes symmetrisk hvis for nogen vektorer . $F$ $F(x,\,y)=F(y,\,x)$ $x,y\i L$
En bilineær form kaldes skæv-symmetrisk (antisymmetrisk), hvis for nogen vektorer . $F$ $F(x,\,y)=-F(y,\,x)$ $x,y\i L$
En vektor siges at være ortogonal (mere præcist venstre ortogonal ) til et underrum med hensyn til hvis for alle . Sættet af vektorer , der er ortogonale i forhold til et underrum i forhold til en given bilineær form , kaldes det ortogonale komplement af underrummet i forhold til og er betegnet med . $x\i L$ $M\undersæt L$ $F$ $F(x,\,y)=0$ $y\in M$ $x\i L$ $M\undersæt L$ $F$ $M\undersæt L$ $F$ $M^{\perp }$
Radikalen af en bilineær form er det ortogonale komplement til selve rummet med hensyn til , Det vil sige det sæt af vektorer , som for alle . $F$ $L$ $F$ ${\displaystyle L^{\perp ))$ $x\i L$ $F(x,\,y)=0$ $y\i L$

Egenskaber

Sættet af alle bilineære former givet på et vilkårligt fast rum er et lineært rum. $W(L,L)$
Enhver bilineær form kan repræsenteres som en sum af symmetriske og skævsymmetriske former.
For en valgt basis i enhver bilineær form er unikt bestemt af matrixen $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $L$ $F$

{\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n} )\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n} ,\,e_{n})\end{pmatrix}},

så for alle vektorer og $x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+\cdots +x^{n}e_{n}$ $y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+\cdots +y^{n}e_{n}$

F(x,\,y)={\begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F(e_{1 },\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\ ,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}y^{1}\\y^{2}\\\vdots \\y^{n}\end{pmatrix}},

det er

F(x,\,y)=\sum _{{i,j=1}}^{n}f_{{ij}}\,x^{i}y^{j},\ \quad f_{{ ij}}=F(e_{i},\,e_{j}).

Dette betyder også, at den bilineære form er fuldstændig bestemt af dens værdier på basisvektorerne .
Rummets dimension er . $W(L,L)$ ${\displaystyle \dim W(L,L)=(\dim L)^{2))$
Selvom matrixen af den bilineære form afhænger af valget af basis, er rangen af matrixen for den bilineære form i enhver basis den samme, det kaldes rangen af den bilineære form . En bilineær form kaldes ikke -degenereret , hvis dens rang er lig med . $F$ $F$ $\dim L$
For ethvert underrum er det ortogonale komplement et underrum . $M\undersæt L$ $M^{\perp }$ $M^{{\perp }}\delsæt L$
$\dim L^{{\perp }}=\dim Lr$ , hvor er rangen af den bilineære form . $r$ $F$

Transformation af en matrix af en bilineær form med en ændring af basis

Matrixen, der repræsenterer den bilineære form i den nye basis, er forbundet med matrixen, der repræsenterer den i den gamle basis, gennem en matrix invers til overgangsmatricen til den nye basis (Jacobi-matrix), hvorigennem vektorernes koordinater transformeres.

Med andre ord, hvis koordinaterne for vektoren i den gamle basis er udtrykt i form af koordinaterne i den nye gennem matricen eller i matrixnotationen , så vil den bilineære form på alle vektorer blive skrevet som $X^{i}$ $x^i$ $\beta$ ${\displaystyle X^{i}=\sum \beta _{j}^{i}x^{j))$ $X=\beta x$ $F$ $x$ $y$

F(x,\,y)=\sum _{{i,j}}F_{{ij}}X^{i}Y^{j}=\sum _{{i,j,k,m}} F_{{ij}}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}x^{k}y^{m}

det vil sige, at komponenterne i matrixen, der repræsenterer den bilineære form i det nye grundlag, vil være:

f_{{km}}=\sum _{{i,j}}F_{{ij}}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}

eller i matrixnotation:

f=\beta ^{T}F\beta

{\displaystyle \beta =\alpha ^{-1))

, hvor er matrixen for direkte koordinattransformation .

\alfa

x=\alpha X

Relation til tensorprodukter og funktoren Hom

Det følger af tensorproduktets universelle egenskab, at bilineære former på V er i en-til-en overensstemmelse med mængden , hvor k er jordfeltet. ${\text{Hom}}(V\otimes V,k)$

Da tensorproduktfunktøren og funktoren Hom er konjugeret , , det vil sige, svarer den bilineære form til en lineær afbildning fra til det dobbelte rum . Denne korrespondance kan tegnes på to måder (da der er to tensorproduktfunktioner, med venstre argument fast og højre argument fast), betegnes de ofte som ${\text{Hom}}(V\otimes V,k)\cong {\text{Hom}}(V,{\text{Hom}}(V,k))$ $V$ $V^*$

$B_{1}({\mathsf {v}})=B({\mathsf {v}},\cdot )$

$B_{2}({\mathsf {v)))=B(\cdot ,{\mathsf {v)))$ .

Se også

Litteratur

Maltsev AI Fundamentals af lineær algebra. — M .: Nauka, 1975.
Gelfand I. M. Forelæsninger over lineær algebra. — M .: Nauka, 1971.
Faddeev D. K. Forelæsninger om Algebra. Moskva: Nauka, 1984.
Kostrikin A. I. Introduktion til algebra, Moskva: Nauka, 1977.
Beklemishev DV Analytisk geometri og lineær algebra. - M . : Højere. skole, 1998. - 320 s.
Gel'fand I. M. , lineær algebra . Foredragskursus.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet