Ortogonal matrix

En ortogonal matrix er en kvadratisk matrix med reelle elementer, hvis resultat af multiplikation med den transponerede matrix er lig med identitetsmatrixen [1] : $EN$ $A^{T}$

AA^{{T}}=A^{{T}}A=E,

eller tilsvarende er dens inverse matrix (som nødvendigvis eksisterer) lig med den transponerede matrix:

A^{-1}=A^{T}.

Den komplekse analog af en ortogonal matrix er enhedsmatrixen .

En ortogonal matrix med en determinant kaldes speciel ortogonal . $+1$

Egenskaber

En ortogonal matrix er unitær ( ) og dermed normal ( ). $Q^{-1}=Q^{*}$ $Q^{*}Q=QQ^{*}$
Søjlerne og rækkerne i en ortogonal matrix danner systemer af ortonormale vektorer , det vil sige:

{\displaystyle \sum _{i}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk))

{\displaystyle \sum _{i}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk))

hvor , er rækkefølgen af matricen og er Kronecker-symbolet .

i\i \{1,\;\ldots ,\;n\}

n

\delta _{{jk}}

Med andre ord er prikproduktet af en række med sig selv 1, og med enhver anden række er 0. Det samme gælder for kolonner.

Determinanten for en ortogonal matrix er , hvilket følger af determinanternes egenskaber: $\pm 1$ $1=\det(E)=\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det (A)^{2}=1.$
Sættet af ortogonale ordensmatricer over feltet danner en multiplikationsgruppe , den såkaldte ortogonale gruppe, som er betegnet med eller (hvis den udelades, antages den at være ). $n$ $k$ $O_{n}(k)$ $O(n,\;k)$ $k$ $k=\mathbb{R}$
Den lineære operator , givet af en ortogonal matrix, kortlægger en ortonormal basis af et lineært rum til et ortonormalt.
Rotationsmatricen er speciel ortogonal . Refleksionsmatrixen er ortogonal.
Enhver reel ortogonal matrix ligner en blok-diagonal matrix med blokke af formen

(\pm1)

{\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.

${\begin{pmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&\;\;\,0{,}96\\\end{pmatrix}}$ - et eksempel på en rotationsmatrix

${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$ - et eksempel på en permutationsmatrix

${\begin{pmatrix}\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\alpha )\cos(\beta )&-\cos(\alpha )\sin(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\alpha )\sin(\beta )\sin (\gamma )+\sin(\alpha )\cos(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )- \sin(\alpha )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\end{ pmatrix}}$ er rotationsmatricen udtrykt i Euler-vinklerne

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineær algebra. - 4. udg. - M: Nauka, 1999. - s. 158. - ISBN 5-02-015235-8 .