Direkte beløb

Symbolet betyder at tage et direkte beløb; det er også symbolet for Jorden i astronomi og astrologi , og symbolet for det eksklusive eller operation .

\oplus

En direkte sum er et afledt matematisk objekt skabt ud fra grundlæggende objekter i henhold til reglerne defineret nedenfor. De grundlæggende er oftest vektorrum eller abelske grupper . Der er også en generalisering af denne konstruktion for Banach og Hilbert rum .

Den direkte sum af to objekter og er betegnet med , og den direkte sum af et vilkårligt sæt af objekter er betegnet med . I dette tilfælde kaldes en vilkårlig en direkte summand . $EN$ $B$ $A\oplus B$ $A_{i}$ $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$ $A_{i}$ $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$

Direkte sum af et endeligt antal underrum

Et lineært rum siges at være den direkte sum af dets underrum : $x$ $M_1,\prikker,M_n$

X = M_1\oplus\dots\oplus M_n,

hvis hver vektor er repræsenteret som en sum $x\i X$

x=m_{1}+\dots +m_{n},\quad m_{i}\in M_{i},\quad (\ast )

og på en unik måde.

Kommentar

Den sidste betingelse ("på en unik måde") er meget væsentlig. Uden den får vi blot definitionen af summen af underrum (betegnet med ). Det følger af definitionen af et lineært rum, at betingelsen for ekspansionens entydighed ( ) for hver vektor er ækvivalent med betingelsen for ekspansionens entydighed ( ) kun for nulvektoren (for alle led i summen ( ) ). $X = M_1 +\dots+ M_n$ $\ast$ $x\i X$ $\ast$ $x=0$ $\ast$ $m_i=0$

Eksempler

Et tredimensionelt lineært rum er den direkte sum af et plan (det vil sige et todimensionalt underrum) og enhver linje (endimensionelt underrum), der ikke ligger i dette plan, såvel som den direkte sum af alle tre linjer der ikke ligger i samme plan. Tredimensionelt lineært rum er summen af to ikke-sammenfaldende planer, men er ikke en direkte sum af dem, da skæringspunktet mellem planerne giver en ret linje (og derfor kan nulvektoren repræsenteres på et uendeligt antal måder: , hvor og er modsatte vektorer på denne linje). $0=m_1+m_2$ $m_1$ $m_2$

Rummet af polynomier af højst grad (i et fast antal variabler) kan repræsenteres som en direkte sum , hvor er underrummet af homogene polynomier af grad . Hvis vi fjerner homogenitetsbetingelsen i definitionen, vil summen ikke længere være direkte. $n$ $M_0 \oplus M_1 \oplus \cdots \oplus M_n,$ $M_{i}$ $jeg$ $M_{i}$

Direkte sum af et endeligt antal mellemrum

Konceptet med en direkte sum strækker sig til det tilfælde, hvor de oprindeligt ikke er underrum af et enkelt omgivende lineært rum. For at undgå forvirring kaldes den direkte sum i denne forstand den ydre direkte sum, mens den direkte sum af underrummene kaldes den indre direkte sum. $X = M_1\oplus\dots\oplus M_n$ $M_1,\prikker,M_n$

Lad være vektorrum over feltet . Vi definerer bærermængden som et kartesisk produkt af mængder og introducerer vektorrumsoperationer på det ved hjælp af formlerne $M_1,\ldots M_n$ $K$ $x$ $X = M_1\ gange\prikker\ gange M_n$

(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n) = (x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n) \quad x_i,y_i \in M_i \quad (*)

\alpha (x_1,\ldots,x_n) = (\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n), \quad x_i \in M_i, \alpha\in K \quad (**)

For hver er der naturlige indlejringer , således at det er nøjagtigt sættet af de vektorer, hvis koordinater i det direkte produkt, bortset fra den -. koordinat, er lig med nul. Hvis vi identificerer rummene med de tilsvarende underrum i , kan hver vektor være entydigt repræsenteret, da den derfor er en intern direkte sum . $jeg$ $f:M_i\til X$ $f(M_i)$ $jeg$ $M_{i}$ $x$ $x\i X$ $x=m_1+\dots+m_n,$ $m_i\in M_i,$ $x$ $M_{i}$

Den direkte sum af moduler over en ring (og især den direkte sum af abelske grupper , der er moduler over ringen af heltal) er defineret på samme måde . $K$

Direkte sum af et vilkårligt sæt af mellemrum

Kun når man betragter den direkte sum af et uendeligt antal rum, manifesteres dens forskel fra det direkte produkt af disse rum. Lad være en indekseret familie af vektorrum over feltet , så er deres direkte sum mængden af endelige formelle summer $M_{i}$ $K$

\sum\grænser_{i\in I} x_i, \; x_i\i M_i

med komponentvise additionsoperationer og med multiplikation med en skalar : $\alfa \i K$

\alpha(\sum_{i\in I} x_i)=\sum_{i\in I} \alpha x_i

Det er klart, at summen af to endelige summer igen er en endelig sum, så den direkte sum er lukket under vektorrumsoperationer. For at bestemme den direkte sum af moduler er det nok at erstatte feltet med en ring. $K$

Direkte sum egenskaber

Hvis vektorrummet er endeligt-dimensionelt, så . Lignende udsagn gælder for rangen af en abelsk gruppe og længden af modulet . $x$ $\dim X = \dim M_1+\ldots+\dim M_n$
Foreningen af baser af lineære underrum ) er en basis . $M_i\;(i=1,\prikker,n$ $x$
Hvert vektorrum over et felt er isomorf til en direkte sum af et sæt kopier . Dette gælder også for gratis moduler . $K$ $K$
Driften af en direkte sum af to rum er kommutativ og associativ op til en isomorfi .
Gruppen af K -lineære homomorfismer fra en direkte sum af rum er isomorf i forhold til produktet af homomorfigrupper fra separate rum:

\operatørnavn{Hom}_K\biggl( \bigoplus_{i \in I} M_i,L\biggr) \cong \prod_{i \in I}\operatørnavn{Hom}_K\left(M_i,L\right).

Især rummet dual til den direkte sum af rum er isomorf til produktet af rum dual til komponenterne af den direkte sum.

Se også

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Bind 1. Algebraiske strukturer. Lineær og multilineær algebra - M.: GIFML, 1962.
Gelfand I. M. Forelæsninger om lineær algebra, - M .: Nauka, 1971.
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineær algebra og geometri, - M .: Nauka, 1986.
Faddeev D. K. Forelæsninger om algebra, - M .: Nauka, 1984.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.