Seminorm

Semi -norm eller præ -norm er en generalisering af normbegrebet ; i modsætning til sidstnævnte kan seminormen forsvinde på ikke-nul elementer i rummet.

Definition

En seminorm er en ikke-negativ funktion , i et lineært rum over feltet af reelle eller komplekse tal , der opfylder følgende betingelser: $p\kolon L \to\R$ $L$

Absolut ensartethed : for enhver skalar $p(\alpha x)=|\alpha|p(x)$ $\alfa$
Trekantulighed : For alle $p(x+y) \leqslant p(x)+p(y)$ $x, y \i L$

Rummet kaldes et semi-normeret rum. ${(L,\;p)}$

Egenskaber

$p(0)=0$

Denne egenskab følger af den første betingelse for definition og lighed , her hører det første nul til feltet med reelle eller komplekse tal, og det andet og tredje tilhører rummet :

0_{\R} \cdot 0_L = 0_L

L

p(0_L)=p(0_\R \cdot 0_L) = |0_\R| \cdot p(0_L) = 0_\R

(hvor følger af linearitet )

0_L = 0_\R\cdot 0_L

L

$p(x)=p(-x)$

Denne ejendom er også opnået fra den første betingelse kl .

\alfa = -1

$p(x) \geqslant 0$

Hvis vi antager eksistensen af en sådan , så følger det af definitionens første betingelse, at og . Ved at bruge den anden betingelse opnår vi en modsigelse med den første egenskab.

x^{*}

p(x^*) < 0

p(-x^*) < 0

p(0) = p(x^*-x^*) \leqslant p(x^*) + p(-x^*) < 0

Litteratur

Rudin W. Funktionsanalyse, trans. fra engelsk, - M. , 1975.