Matematik og billedkunst

Matematik og kunst hænger sammen på forskellige måder. Matematik i sig selv kan betragtes som en kunstform, da der findes en ejendommelig skønhed i den . Spor af matematisk tænkning optræder i musik, dans, maleri, arkitektur, skulptur og vævekunst. Denne artikel er viet til forbindelsen mellem matematik og billedkunst.

Matematik og kunst har en lang historie med relationer. Malere tyede til matematiske begreber fra det 4. århundrede f.Kr. e. Den antikke græske billedhugger Polikleitos den ældre skabte formentlig kompositionen "Canon" og en skulpturel model (bevaret i omtrentlige kopier) af den ideelle figur af en atlet. Det er gentagne gange blevet foreslået, at gamle kunstnere og arkitekter brugte det gyldne snit , men der er ingen seriøse beviser for dette. Den italienske matematiker Luca Pacioli , en vigtig skikkelse i den italienske renæssance , skrev afhandlingen Den guddommelige proportion ( latin:  De Divina Proportione ) illustreret med træsnit efter tegninger af Leonardo da Vinci . En anden italiensk maler , Piero della Francesca , udviklede Euklids ideer om perspektiv ved at skrive en afhandling om perspektiv i maleri ( italiensk:  De Prospectiva Pingendi ). Gravøren Albrecht Dürer gav i sin berømte gravering " Melancholia " mange skjulte symbolske referencer til geometri og matematik. Det 20. århundredes grafiker M. C. Escher , konsulteret af matematikeren Harold Coxeter , gjorde udstrakt brug af billeder af parket og hyperbolsk geometri . Kunstnerne fra " De Stijl "-bevægelsen, ledet af Theo van Doesburg og Piet Mondrian , gjorde eksplicit brug af geometriske motiver. Matematik har påvirket forskellige former for strikning , broderi , vævning og tæppevævning . Islamisk kunst er kendetegnet ved symmetrier fundet i persisk og marokkansk murværk , perforerede mogulstensskærme og almindelige bikagehvælvinger .

Det var matematikken, der gav kunstnere værktøjer som lineært perspektiv, analyse af symmetrier og gav dem alle slags geometriske objekter, såsom polyedre eller Möbius-strimlen . Undervisningspraksis inspirerede Magnus Wenninger til at skabe flerfarvede stjernepolyedre . Rene Magrittes malerier og Eschers graveringer bruger rekursion og logiske paradokser. Fraktal grafik er tilgængelig for computerkunstformer , især gengivelsen af ​​Mandelbrot-sættet . Nogle artikler illustrerer cellulære automater . Kunstneren David Hockney er kommet med den stærkt omstridte hypotese, at hans kolleger har brugt kameraet lucida siden renæssancen til at hjælpe med at skildre scener præcist. Arkitekt Philip Steadman hævder, at Jan Vermeer brugte et camera obscura .

Sammenhængen mellem matematik og kunst kommer til udtryk på mange andre måder. Kunstgenstande udsættes for algoritmisk analyse ved hjælp af røntgenfluorescensspektroskopi . Traditionel batik fra hele Java viste sig at have en fraktal dimension på 1 til 2. Endelig gav kunsten anledning til noget matematisk forskning. Filippo Brunelleschi formulerede teorien om perspektiv, mens han lavede arkitektoniske tegninger, og senere udviklede Gérard Desargues den og lagde grundlaget for projektiv geometri . Den pythagoræiske idé om et gudgeometer er i overensstemmelse med principperne for hellig geometri , hvilket også afspejles i kunsten. Et typisk eksempel er The Great Architect af William Blake .

Oprindelse: Det antikke Grækenland til renæssancen

Polykletes "Canon" og "symmetri"

I den antikke kunsts historie er udtrykket "firkantede figurer" kendt (( oldgræsk τετραγωνος ). Den antikke romerske forfatter Plinius den Ældre (23-79 e.Kr.) kaldte bronzestatuerne af den antikke græske billedhugger "looking square" ( lat . .  signa quadrata ) fra Polykletus den Ældres argiske skole ( ca. 450-420 f.Kr.), især den berømte Doryphorus og Diadumen ". Samtidig henviste han til encyklopædisten Mark Terentius Varro (116-27 f.Kr.) , hvilket tyder på, at ordet "firkantet" ikke kan indikere arten af ​​silhuetten af ​​statuen, men metoden til proportionering , som er beskrevet i det teoretiske arbejde af Poliklet " Canon " [2] . Afhandlingen, hvis den eksisterede, har ikke overlevede, men det menes, at billedhuggeren som illustration skabte den samme spydbærer, senere kendt som Doryphoros [3] .Ifølge forfatterens hensigt var "Kanonen" at sætte standarden for ideelle anatomiske proportioner i skildringen af den mandlige figur.

Den antikke græske filosof Platon (ca. 427-347 f.Kr.) nævnte den geometriske metode til at fordoble arealet af en firkant ved at bygge en større firkant på dens diagonal. Den anden firkant indeholder fire "halvdele" af den første, derfor er dens areal dobbelt så stor [4] . Denne enkleste konstruktion indeholder en vigtig regelmæssighed. Diagonalen af ​​et kvadrat er en irrationel størrelse. Hvis vi tager siden af ​​et kvadrat som 1, så er dets diagonal lig med eller 1,414 ... Et system af mål baseret på et kvadrat og dets diagonal bærer således dualitet, et polyfonisk princip om relationer mellem simple heltal og irrationelle tal.

Statuerne af atleter på billedet af Polykleitos ser virkelig "firkantede" ud (i en anden oversættelse, "brede proportioner"). Når man analyserer deres proportioner, viser det sig, at figurens modul er siden af ​​firkanten, hvis diagonal igen tjener som siden af ​​den større firkant osv. Som følge heraf er alle dele af statuelinjen op proportionalt i systemet af "parmål": rationelle og irrationelle relationer. Så højden af ​​hele figuren er opdelt i to, fire og otte dele (figurens hoved er 1/8 af højden). Men under plastisk bevægelse (atleten hviler på det ene ben, det andet ben er bøjet i knæet og sat tilbage), opstår der irrationelle forhold. Hvis vi tager som en enhed (siden af ​​en lille firkant) den øverste del af figuren (uanset dens faktiske størrelse) - hovedet og torsoen op til hoftekammen (som de skrå muskler ligger på) - som en enhed, så vil den nederste del af figuren (bækkenbælte og støtteben) lig med 1,618 (siden af ​​den større firkant). Følgelig er hele figurens højde 2.618. Disse forhold er forbundet med mønsteret af det " gyldne snit ", opdaget af de gamle egyptere, og som er universelt [5] .

Indflydelsen fra "Kanon" udvidede sig til skulpturen af ​​det antikke Grækenland, det antikke Rom og renæssancen. Ingen af ​​Polykleitos' værker har overlevet den dag i dag, de overlevende marmorkopier er omtrentlige og adskiller sig væsentligt fra hinanden. Teksten til selve afhandlingen er også gået tabt, selvom citater og kommentarer fra gamle forfattere er bevaret [3] . Nogle forskere hævder, at Poliklet til gengæld var påvirket af pythagoræernes lære [6] . "Canon" opererer med de grundlæggende begreber i oldgræsk geometri: forhold, proportion og symmetri. "Canon"-systemet gør det muligt at beskrive den menneskelige figur gennem kontinuerlige geometriske progressioner [7] .

Perspektiv og proportion

I den antikke periode greb kunstnere ikke til lineært perspektiv . Størrelsen af ​​genstandene var ikke bestemt af deres afsides beliggenhed, men af ​​deres tematiske betydning. Nogle middelaldermalere brugte omvendt perspektiv for at henlede opmærksomheden på særligt betydningsfulde figurer. I 1021 formulerede den islamiske matematiker Ibn al-Khaytham teorien om optik , men anvendte den ikke på kunstgenstande [8] . Renæssancen er forbundet med restaureringen af ​​gamle græske og romerske kulturelle traditioner. Idéerne om anvendelsen af ​​matematik til studiet af natur og kunst blev også genoplivet . Kunstnere fra senmiddelalderen og renæssancen var interesserede i matematik af to grunde. Først ønskede malere at vide, hvordan man nøjagtigt afbilder tredimensionelle objekter på en todimensionel lærredsoverflade. For det andet troede kunstnere, ligesom nogle filosoffer, på matematik som den sande essens af den fysiske verden; kunst som en del af dette univers er underlagt geometriens love [9] .

Begyndelsen af ​​perspektiv ses hos Giotto (1266-1337), som malede fjerne objekter ved algebraisk at bestemme linjers position i perspektivet. I 1415 introducerede arkitekten Filippo Brunelleschi sammen med sin ven Leon Battista Alberti den geometriske metode til at skabe perspektiv i Firenze. Ved hjælp af lignende trekanter af Euklid beregnede de den tilsyneladende højde af fjerne objekter [10] [11] . Malerier med Brunelleschis perspektiv er gået tabt, men Masaccios Treenighed giver os mulighed for at se princippet i aktion [8] [12] [13] . Den italienske maler Paolo Uccello (1397-1475) blev betaget af den nye teknik. I " Slaget ved San Romano " placerede han knækkede spyd mellem perspektivlinjer [14] [15] .

Piero della Francescas (ca. 1415-1492) værk er et eksempel på den italienske renæssances overgang til en ny ideologi . Da han var en stor matematiker og især en geometer, skrev han værker om stereometri og perspektivteori. Blandt dem er " On Perspective in Painting " ( italiensk:  De Prospectiva Pingendi ), "Treatise on Accounts" ( italiensk:  Trattato d'Abaco ) og "On Regular Polyhedra" ( italiensk:  De corporibus regularibus ) [16] [17] [ 18] . Historikeren Giorgio Vasari kalder i sine " Biografier " Piero for "sin tids største geometer og måske alle tider" [19] . Pieros interesse for perspektiv ses i hans værker St. Anthony's Polyptych [ 20] , St. Augustines altertavle og The Flagelation of Jesus Christ . Hans geometriske udforskninger påvirkede de næste generationer af matematikere og kunstnere, blandt dem Luca Pacioli og Leonardo da Vinci . Det er kendt, at Pierrot studerede værker af gamle matematikere, herunder Archimedes [21] . Pierrot blev uddannet i kommerciel aritmetik på " kulerrammens skole "; hans afhandlinger er udformet i samme stil som "skolens" lærebøger [22] . Måske var Piero bekendt med " Book of the Abacus " (1202) af Fibonacci . Det lineære perspektiv trængte gradvist ind i kunstens verden. I afhandlingen "Om maleri" ( italiensk:  De pictura , 1435), skrev Alberti: "lysstråler går fra punkterne i billedet til øjet langs en lige linje og danner en pyramide , hvor øjet er spidsen." Et billede malet efter princippet om lineært perspektiv er et udsnit af denne pyramide [23] .

I On Perspective in Painting transformerer Piero sine empiriske observationer om perspektiv til matematiske udtryk og beviser. Efter Euklid definerer han et punkt som "det mindste objekt, der kan opfattes for øjet" ( italiensk:  una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere ) [9] Piero leder læseren til repræsentationen af ​​tredimensionelle kroppe på en todimensional krop. -dimensionel overflade ved hjælp af deduktiv ræsonnement [24] .

Samtidskunstneren David Hockney hævder , at hans kolleger fra 1420'erne brugte camera lucida , hvilket førte til en dramatisk stigning i maleriernes nøjagtighed og realisme. Han mener, at Ingres , van Eyck og Caravaggio [25] også brugte denne enhed . Ekspertudtalelser om dette spørgsmål er delte [26] [27] . Arkitekt Philip Steadman fremsatte en anden kontroversiel hypotese [28] om Vermeers brug af en camera obscura [29] .

I 1509 udgav Luke (ca. 1447-1517) en afhandling "On Divine Proportion", dedikeret til de matematiske og kunstneriske aspekter af proportioner , inklusive det menneskelige ansigt. Leonardo da Vinci (1452-1519), som studerede hos Pacioli i 1490'erne, illustrerede sin tekst med træsnit af regulære polyeder. Wireframe-billeder af polyeder lavet af da Vinci er de første illustrationer af denne art, der er kommet ned til os [30] . Han var en af ​​de første til at afbilde polyedre (inklusive rhombicuboctahedron ) bygget på ansigter af andre figurer - sådan demonstrerede Leonardo perspektiv. Selve afhandlingen er viet beskrivelsen af ​​perspektiv i Piero della Francescas, Melozzo da Forli og Marco Palmezzanos værker [31] . Da Vinci studerede Paciolis "Sum" ved at kopiere tabeller med proportioner [32] . Både " Gioconda " og " Nadveren " er bygget på princippet om lineært perspektiv med et forsvindingspunkt , hvilket giver billedet en synlig dybde [33] . Den sidste nadver bruger proportionerne 12:6:4:3 - de er også til stede i skolen i Athen af ​​Raphael . Pythagoras, afbildet på den, holder et bord med ideelle proportioner, hvortil pythagoræerne knyttede en hellig betydning [34] [35] . Den vitruviske mand Leonardo afspejler den romerske arkitekt Vitruvius ' ideer ; to overlejrede mandsfigurer er indskrevet både i en cirkel og i en firkant [36] .

Allerede i det 15. århundrede brugte malere, der var interesserede i visuelle forvrængninger, krumlinjet perspektiv . Jan van Eycks " Portræt af Arnolfinis " (1343) har et konveks spejl, der afspejler heltenes skikkelser [37] . "Selvportræt i et konvekst spejl" (ca. 1523-1524) Parmigianino skildrer kunstnerens næsten uforvrængede ansigt og en stærkt buet baggrund og en hånd placeret på kanten [38] .

Tredimensionelle objekter kan afbildes ganske overbevisende uden at ty til perspektiv. Skråprojektioner , herunder kavalerperspektivet (brugt af franske kampmalere i det 18. århundrede til at male befæstninger), observeres kontinuerligt og allestedsnærværende blandt kinesiske kunstnere fra det 1.-2. til det 18. århundrede. Denne tradition kom til kineserne fra Indien og der fra det antikke Rom. Skråprojektion ses i japansk kunst, såsom i ukiyo-e malerierne af Torii Kiyonaga [39] .

Golden Ratio

Det gyldne snit , omtrent lig med 1,618, var kendt selv for Euklid [40] . Mange samtidige hævder [41] [42] [43] [44] at det blev brugt i kunsten og arkitekturen i det antikke Egypten, det antikke Grækenland, men der er ingen pålidelige beviser for dette [45] . Fremkomsten af ​​denne antagelse kan skyldes forvirring mellem det gyldne snit og den "gyldne middelvej", som grækerne kaldte "fraværet af overskud i nogen af ​​retningerne" [45] . Pyramidologer har siden det 19. århundrede talt om brugen af ​​det gyldne snit i udformningen af ​​pyramider og argumenteret for deres position med tvivlsomme matematiske argumenter [45] [46] [47] . Mest sandsynligt blev pyramiderne bygget enten på basis af en trekant med siderne 3-4-5 (hældningsvinkel - 53 ° 8 '), som er nævnt i Ahmes-papyrusen , eller på basis af en trekant med cosinus π / 4 (hældningsvinkel - 51 ° 50 ') [48] . Facade og gulv af Parthenon , bygget i det 5. århundrede f.Kr. e. i Athen , angiveligt designet på basis af det gyldne snit [49] [50] [51] . Dette udsagn tilbagevises også af reelle målinger [45] . Det menes, at det gyldne snit også blev brugt i udformningen af ​​den store moske i Kairouan i Tunesien [52] . Denne værdi findes dog ikke i moskeens oprindelige design [53] . Arkitekturhistoriker Frederic Makody Lund udtalte i 1919, at Chartres Cathedral (1100-tallet), Lane (1157-1205) og Notre-Dame Cathedral i Paris (1160) var designet i overensstemmelse med princippet om det gyldne snit [54] . Nogle forskere hævder, at før udgivelsen af ​​Paciolis værk i 1509, var afsnittet ikke kendt af hverken kunstnere eller arkitekter [55] . For eksempel har højden og bredden af ​​facaden på Notre-Dame de la Lane et forhold på 8/5 eller 1,6, men ikke 1,618. Denne andel er en af ​​de Fibonacci-forhold , der er svære at skelne fra det gyldne snit, fordi de konvergerer til 1,618 [56] . Det Gyldne Forhold observeres blandt Paciolis tilhængere, herunder Leonardos Gioconda [57] .

Plansymmetrier

Plane symmetrier er blevet observeret i flere tusinde år i tæppevævning, brolægning, vævning og skabelsen af ​​gitterobjekter [58] [59] [60] [61] .

Mange traditionelle tæpper, uanset om de er shaggy eller kelim (fladtvævede) er opdelt i en central medaljon og en kantsektion. Begge dele kan indeholde symmetriske elementer, mens symmetrien i håndlavede tæpper ofte krænkes af forfatterens detaljer, mønster og farvevariationer [58] . Motiverne af anatoliske kelimer er ofte symmetriske i sig selv. Det generelle mønster indebærer tilstedeværelsen af ​​striber, herunder dem med intermitterende motiver, og ligheder mellem sekskantede former. Den centrale del kan karakteriseres af tapetgruppen pmm , mens rammen kan karakteriseres af kantgrupperne pm11 , pmm2 eller pma2. Kilims fra Tyrkiet og Centralasien har som regel mindst tre grænser, beskrevet af forskellige grupper. Tæppemagere sigtede bestemt efter symmetri, selvom de ikke var bekendt med dens matematik [58] . Matematiker og arkitekturteoretiker Nikos Salingaros mener, at den æstetiske effekt af tæpper er givet af specielle matematiske teknikker, tæt på arkitekten Christopher Alexanders teorier . Som eksempel nævner han Konya -tæpper fra det 17. århundrede med to medaljoner. Disse teknikker involverer konstruktion af modstående par af objekter; farvekontrast; geometrisk differentiering af områder ved hjælp af komplementære figurer eller koordinering af skarpe hjørner; introduktion af komplekse figurer (startende med individuelle noder); konstruktion af små og store symmetriske figurer; gengivelse af figurer i større skala (forholdet mellem hvert nyt niveau og det forrige er 2,7). Salingaros hævder, at ethvert vellykket tæppe opfylder mindst ni ud af ti betingelser. Desuden anser han det for muligt at klæde de givne indikatorer i form af en æstetisk metrik [62] .

Dygtige indiske jali- gitre , skabt af marmor, pryder paladser og grave [59] . Kinesiske gitter, der altid er udstyret med en form for symmetri - ofte spejlet , dobbelt spejlet eller roterende  - er repræsenteret i 14 af de 17 tapetgrupper. Nogle har en central medaljon, nogle har en kant, der tilhører en gruppe grænser [63] . Mange kinesiske gitter er blevet matematisk analyseret af Daniel S. Dai. Han var i stand til at fastslå, at centrum for denne kunst er provinsen Sichuan [64] .

Symmetrier er almindelige inden for tekstilkunst, såsom quiltning [60] , strikning [65] , hækling [66] , broderi [67] [68] , korssting og vævning [69] . Det er bemærkelsesværdigt, at symmetrien på stoffet kan være rent dekorativ eller symbolisere ejerens status [70] . Rotationssymmetri forekommer i cirkulære objekter. Mange kupler er dekoreret med symmetriske mønstre inde og ude, såsom Sheikh Lutfulla-moskeen (1619) i Isfahan [71] . Refleks- og rotationssymmetrier er karakteristiske for broderede og blondeelementer af duge og bordmåtter, skabt ved hjælp af spoler eller tatningsteknik . Disse objekter udsættes også for matematisk undersøgelse [72] .

Islamisk kunst viser symmetrier i mange former, især den persiske girih- mosaik . Den er skabt af fem flisebelagte former: en regulær dekagon, en regulær femkant, en aflang decagon, en rombe og en figur, der ligner en butterfly . Alle sider af disse figurer er lige store, alle deres vinkler er multipla af 36° (π/5 radianer ), hvilket giver fem- og ti-dobbelte symmetrier. Flisen er dekoreret med en sammenflettet ornament (girih proper), som normalt er mere synlig end flisens kanter. I 2007 bemærkede fysikerne Peter Lu og Paul Steinhardt ligheden mellem girih og kvasi -krystallinske Penrose-fliser [73] . Geometrisk justerede zellige- fliser er et karakteristisk element i marokkansk arkitektur [61] . Honeycomb saods eller muqarnas er tredimensionelle, men de blev designet - ved at tegne geometriske celler - i to dimensioner [74] .

Polyeder

Almindelige polyedre  er et af de mest almindelige emner i vestlig kunst. Det lille stjernedodekaeder findes for eksempel i marmormosaikkerne i Markuskirken i Venedig ; forfatterskabet tilskrives Paolo Uccello [14] . Da Vincis regulære polyeder er illustreret af Luca Paciolis On Divine Proportion [14] . Glasrhombicuboctahedron findes i portrættet af Pacioli (1495) af Jacopo de Barbari [14] . Et afkortet polyeder og mange andre genstande relateret til matematik er til stede i Durers gravering " Melancholia " [14] . Den sidste nadver af Salvador Dali skildrer Kristus og hans disciple inde i et kæmpe dodekaeder .

Albrecht Dürer (1471–1528), gravør og grafiker fra den tyske renæssance, bidrog til teorien ved at udgive bogen "Guide to Measurement" ( tysk:  Underweysung der Messung ) i 1525. Værket er helliget lineært perspektiv, geometri i arkitektur, regulære polyedre og polygoner. Sandsynligvis blev Dürer inspireret af Pacioli og Piero della Francescas værker under sine rejser i Italien [75] . Prøverne af perspektiv i "Guide to Measurement" er ikke fuldt udviklede og unøjagtige, men Dürer belyste polyedrene fuldt ud. Det er i denne tekst, at udviklingen af ​​et polyeder først nævnes , det vil sige udfoldelsen af ​​et (for eksempel papir) polyeder til en flad figur, der kan printes [76] . Et andet indflydelsesrigt værk af Dürer er Fire bøger om menneskelige proportioner ( tysk:  Vier Bücher von Menschlicher Proportion , 1528) [77] .

Den berømte gravering af Dürer "Melancholia" forestiller en trist tænker, der sidder ved et afkortet trekantet trapezohedron og en magisk firkant [1] . Disse to genstande og gravering som helhed er af den største interesse for moderne forskere i alle Dürers værker [1] [78] [79] . Peter-Klaus Schuster udgav en bog i to bind om Melancholia [80] , mens Erwin Panofsky diskuterer værket i sin monografi [1] [81] . " Hyperkubisk krop " af Salvador Dali indeholder en tredimensionel udfoldelse af en hyperkube  - et firedimensionelt regulært polyeder [82] .

Fraktale dimensioner

Traditionelt indonesisk batikmaleri bruger voks som reserve. Hendes motiver kan svare til elementerne i den omgivende verden (for eksempel planter) eller være abstrakte, ja endda kaotiske. Reserven er muligvis ikke påført nøjagtigt, revner (revner) af voksen forstærker virkningen af ​​tilfældighed. Maleriet har en fraktal dimension fra 1 til 2, afhængigt af oprindelsesregionen. For eksempel har batik fra Cirebon en dimension på 1,1, dimensionen af ​​batik fra Yogyakarta og Surakarta (central Java ) - fra 1,2 til 1,5; Lasem (Nord Java) og Tasikmalai (Vest Java) har dimensioner fra 1,5 til 1,7 [83] .

Samtidens kunstner Jackson Pollocks arbejde med drypteknikken er også bemærkelsesværdig for sin fraktale dimension: Maleriet "Number 14" ( eng.  Number 14 , 1948) har en dimension på 1,45. Hans efterfølgende værker er præget af en højere dimension, hvilket indikerer en bedre undersøgelse af mønstre. Et af Pollocks sidste malerier ,  Blue Poles , er 1,72 og tog seks måneder at færdiggøre .

Komplekse relationer

Astronomen Galileo Galilei skrev i sin afhandling "The Assay Master ", at universet er skrevet på matematikkens sprog , og at symbolerne på dette sprog er trekanter, cirkler og andre geometriske figurer [85] . Ifølge Galileo skal kunstnere, der vil kende naturen, først og fremmest forstå matematik. Matematikere forsøgte på den anden side at analysere kunst gennem geometriens og rationalitetens prisme (i ordets matematiske betydning). Matematikeren Felipe Kuker foreslog, at denne videnskab, og især geometri, fungerer som et sæt regler for "regeldrevet kunstnerisk skabelse" ( eng.  "regeldrevet kunstnerisk skabelse" ), selvom det ikke er den eneste [86] . Nogle særligt bemærkelsesværdige eksempler på dette komplekse forhold er beskrevet nedenfor [87] .

Matematik som kunst

Matematiker Jerry P. King skriver om matematik som en kunst og hævder, at nøglerne til det er skønhed og elegance, ikke kedelig formalisme. King mener, at det er skønhed, der motiverer forskere på dette område [88] . Han citerer essayet " Apology of a Mathematician " (1940) af en anden matematiker G. H. Hardy , hvor han bekender sin kærlighed til to gamle sætninger: beviset for uendeligheden af ​​Euklids primtal og beviset for irrationaliteten af ​​kvadratroden af ​​to. King vurderer sidstnævnte i henhold til Hardys skønhedskriterier i matematik : seriøsitet, dybde, almindelighed, overraskelse, uundgåelighed og økonomi (Kings kursiv) og konkluderer, at beviset er "æstetisk attraktivt" [89] . Den ungarske matematiker Pal Erdős taler også om matematikkens skønhed, som ikke alle dimensioner kan udtrykkes med ord: ”Hvorfor er tal smukke? Det ville svare til at spørge, hvorfor Beethovens niende symfoni er smuk . Hvis du ikke kan se det, kan ingen forklare dig det. Jeg ''ved'', at tal er smukke." [90] [91]

Matematiske kunstværktøjer

I forbindelse med billedkunst giver matematik skaberen mange værktøjer, såsom lineært perspektiv, beskrevet af Brook Taylor og Johann Lambert , eller beskrivende geometri , observeret allerede i Albrecht Dürer og Gaspard Monge , og nu brugt til softwaremodellering af tredimensionelle genstande [92] . Siden middelalderen (Pacioli) og renæssancen (da Vinci og Dürer) har kunstnere brugt matematikkens præstationer til kreative formål [93] [94] . Med undtagelse af perspektivets rudimenter i oldgræsk arkitektur begyndte dens udbredte brug i det 13. århundrede, blandt pionererne var Giotto . Forsvindingspunktsreglen blev formuleret af Brunelleschi i 1413 [8 ] . Hans opdagelse inspirerede ikke kun da Vinci og Dürer, men også Isaac Newton , der studerede det optiske spektrum , Goethe , der skrev bogen " On the Theory of Color ", og derefter nye generationer af kunstnere, blandt hvilke Philip Otto Runge , William Turner [95] , Pre-Raphaelites og Wassily Kandinsky [96] [97] . Kunstnerne udforsker også symmetrierne i kompositionen [98] . Matematiske værktøjer kan bruges af kunstforskere eller af håndværkere selv, som i tilfældet med grafikeren M.C. Escher (med input fra Harold Coxeter ) eller arkitekten Frank Gehry . Sidstnævnte hævder, at computerstøttede designsystemer har givet ham helt nye måder at udtrykke sig på [99] .

Kunstner Richard Wright mener, at visuelle modeller af matematiske objekter tjener enten til at simulere et bestemt fænomen eller er objekter for computerkunst . Wright illustrerer sin position med et billede af Mandelbrot-sættet , genereret af en cellulær automat og computergengivelse ; med henvisning til Turing-testen diskuterer han, om produkterne af algoritmer kan betragtes som kunst [100] . Den samme tilgang er observeret i Sasho Kalaidzewski, som betragter visualiserede matematiske objekter: parket, fraktaler, figurer af hyperbolsk geometri [101] .

En af pionererne inden for computerkunst var Desmond Paul Henry, der skabte "Drawing Machine 1". En analog computermekanisme baseret på bombesigtecomputeren blev præsenteret for offentligheden i 1962 [102] [103] . Maskinen kunne skabe komplekse, abstrakte, asymmetriske, krumlinjede, men gentagne designs [102] [104] . Hamid Naderi Yeganeh skaber figurer af fisk, fugle og andre objekter i den virkelige verden ved hjælp af kurvefamilier [105] [106] [107] . Samtidskunstnere, herunder Mikael H. Christensen, arbejder i genren algoritmisk kunst, hvor de laver scripts til software. Et kunstnerledet system anvender matematiske operationer til et givet sæt data [108] [109] .

Fra matematik til kunst

Det er kendt, at bogen "Science and Hypothesis" (1902) af matematikeren og fysikeren Henri Poincaré blev læst af mange kubister , herunder Pablo Picasso og Jean Metzinger [111] [112] . Poincare så i euklidisk geometri ikke en objektiv sandhed, men blot en af ​​mange mulige geometriske konfigurationer. Den mulige eksistens af en fjerde dimension inspirerede kunstnere til at udfordre renæssancens klassiske perspektiv, og de vendte sig mod ikke-euklidiske geometrier [113] [114] [115] . En af forudsætningerne for kubisme var ideen om et matematisk udtryk for plottet i farve og form. Abstraktionismens historie begynder med kubismen [116] . I 1910 skrev Metzinger: "[Picasso] skaber et frit, mobilt perspektiv, hvorfra den geniale matematiker Maurice Princet udledte en hel geometri" [117] . I sine erindringer huskede Metzinger:

"Maurice Princet besøgte os ofte; ... han forstod matematik som en kunstner, som en æstetik appellerede han til n - dimensionelle kontinuumer. Han kunne godt lide at indgyde kunstnere en interesse for nye syn på rummet , som blev opdaget af Schlegel og flere andre. Heri udmærkede han sig." [118]

Modellering af matematiske former til forsknings- eller undervisningsformål fører uundgåeligt til bizarre eller smukke figurer. De var påvirket af dadaisterne Man Ray [119] , Marcel Duchamp [120] og Max Ernst [121] [122] og Hiroshi Sugimoto [123] .

Man Ray fotograferede modeller af geometriske figurer på Paris Institute. Poincare. Et af de mest berømte værker i den cyklus er The Mathematical Object ( fransk:  Objet mathematique , 1934). Kunstneren angiver, at "Objektet" er Enneper overflader med konstant negativ krumning , afledt af en pseudosfære . Det matematiske grundlag var yderst vigtigt for ham; matematik tillod ham at tilbagevise den "abstrakte" karakter af "Objektet". Man Ray hævdede, at den fangede figur er lige så ægte som det urinal, som Duchamp lavede til et kunstobjekt. Alligevel indrømmede han: "[Ennepers overfladeformel] betyder intet for mig, men selve formerne var lige så varierede og autentiske som dem, der findes i naturen." Han brugte fotografier fra Poincaré-instituttet i værker baseret på Shakespeares skuespil , for eksempel, da han skabte Antony og Cleopatra (1934) [124] . Klummeskribent Jonathan Keats, der skriver i ForbesLife , hævder, at Man Ray fotograferede "elliptiske paraboloider og koniske punkter på samme sanselige måde, som Kiki de Montparnasse afbildede " [125] , og at han "vittigt gentænkte matematikeres kolde beregninger for at afsløre topologi af begær” [126] [127] . Billedhuggere fra det 20. århundrede, herunder Henry Moore , Barbara Hepworth og Nahum Gabo , fandt også inspiration i matematiske modeller [128] . Om sin skabelse Stringed Mother and Child ( 1938 ) sagde Moore :  "Udvivlsomt var kilden til mine strengfigurer Museum of Science ; ... Jeg var fascineret af de matematiske modeller, jeg så der; ... Jeg var ikke begejstret for den videnskabelige undersøgelse af disse modeller, men evnen til at se gennem strengene, som en fugl ser ud af et bur, og evnen til at se en form i en anden." [129] [130]

Kunstnerne Theo van Doesburg og Piet Mondrian grundlagde " De Stijl "-bevægelsen, som skulle "skabe et visuelt ordforråd af elementære geometriske former, forståeligt for alle og anvendeligt til enhver disciplin" [132] [133] [134] . Mange af deres værker ligner et foret plan med rektangler og trekanter, nogle gange cirkler. Medlemmer af "De Stijl" malede billeder, skabte møbler og interiør og var engageret i arkitektur [133] . Da bevægelsen kollapsede, organiserede van Doesburg avantgardegruppen Art Concret ( fransk :  Art concret , "konkret kunst"). Om sin egen "Arithmetic Composition" (1929-1930) skrev van Doesburg: "en struktur, der kan kontrolleres, en bestemt overflade uden tilfældige elementer eller personlige indfald" [135] , mens "ikke blottet for ånd, ikke blottet for universel og ikke ... tom, fordi alt svarer til den indre rytme” [136] . Kritikeren Gladys Fabre ser to forløb i "Kompositionen": væksten af ​​sorte firkanter og den skiftende baggrund [137] .

Matematikken i parket , polyeder, rumformer og selvreproduktion gav grafikeren M. K. Escher (1898-1972) en livslang forsyning af plots [138] [139] . Ved at bruge Alhambra -mosaikkerne som eksempel viste Escher, at kunst kan skabes ved hjælp af simple figurer. Ved at drive flyet brugte han uregelmæssige polygoner, refleksioner, bliksymmetri og parallel oversættelse . Ved at skabe modsætninger mellem perspektivprojektion og det tredimensionelle rums egenskaber skildrede han umulige i den virkelige verden, men æstetiske konstruktioner. Litografien " Descending and Ascending " (1960) viser os en umulig trappe , hvis opdagelse er forbundet med navnene på Lionel (far) og Roger (søn) Penrose [140] [141] [142] .

Tessellerne skabt af Escher er ret talrige, og nogle af ideerne blev født i samtaler med matematikeren Harold Coxeter om hyperbolsk geometri [143] . Mest af alt var Escher interesseret i fem polyedre: tetraedre, terninger, oktaeder, dodekaeder og icosaeder. Figurer dukkede gentagne gange op i hans arbejde, men de er især bemærkelsesværdige i "Orden og kaos" (1950) og "Fire regulære polyedre" (1961) [144] . Disse stjerneformationer hviler inde i en anden figur, hvilket yderligere forvrænger synsvinklen og opfattelsen af ​​polyedre [145] .

Den visuelle kompleksitet af parket og polyeder dannede grundlaget for mange kunstværker. Stuart Coffin laver polyedriske puslespil fra sjældne træsorter, George W. Hart studerer og skulpturerer polyedre, og Magnus Wenninger skaber modeller af stjerneformationer [146] .

Forvrængede perspektiver af anamorfose har været kendt i maleriet siden det 16. århundrede. I 1553 malede Hans Holbein Jr. " Ambassadører ", og placerede et stærkt forvrænget kranium i forgrunden. Efterfølgende blev anamorfe teknikker føjet til arsenalet af Escher og anden grafik [147] .

Topologiske plots er mærkbare i samtidskunst . Billedhugger John Robinson (1935-2007) er kendt for sine værker Gordian Knot og Bands of Friendship ,  illustrationer af knudeteori i poleret bronze [9] . Nogle af Robinsons andre skulpturer omhandler toris topologi . "Skabelsen" ( eng. Genesis ) er bygget på princippet om borromæiske ringe : tre cirkler er ikke forbundet i par, men de kan kun afkobles ved at ødelægge hele strukturen [148] . Helaman Ferguson skulpturerer overflader og andre topologiske objekter [149] . Hans værk The Eightfold Way er baseret på den projektive specielle lineære gruppe PSL(2, 7) , en endelig gruppe med 168 elementer [150] [151] . Billedhuggeren Bathsheba Grossman er også kendt for at legemliggøre matematiske strukturer [152] [153] .    

Objekter som Lorentz-manifolden og det hyperbolske plan er genskabt af mestre i vævekunst, herunder hækling [154] [155] [156] . I 1949 udgav væveren Ada Dietz monografien Algebraic Expressions in Handwoven  Textiles , hvor hun foreslog nye væveskemaer baseret på udvidelsen af ​​flerdimensionelle polynomier [157] . Ved at bruge 90-reglen for en cellulær automat , skabte matematikeren Jeffrey C. P. Miller gobeliner , der afbilder træer og abstrakte mønstre af trekanter [158] ; cellulære automater bruges også til direkte at skabe digital visuel kunst [159] . Math Knitters [  160] [ 161] Pat Ashforth og Steve Plummer strikker mønstre til hexaflexagon og andre figurer til studerende. Det er bemærkelsesværdigt, at de undlod at binde Mengers svamp - den var lavet af plastik [162] [163] . Ashforth og Plummers mathghans-projekt [ 164 ] har bidraget til at inkorporere strikteori i læseplanerne for britiske matematik- og teknologipensum [165] [166] .  


Illustrerende matematik

Modellering er langt fra den eneste måde at illustrere matematiske begreber på. Stefaneschi-triptykonen ( 1320) af Giotto indeholder en rekursion . Midterpanelet på forsiden (nederst til venstre) viser os selv kardinal Stefaneschi; knælende tilbyder han en lille kopi af Triptykonen som gave [167] . Metafysiske malerier af Giorgio de Chirico , herunder The Great Metaphysical Interior (1917) omhandler temaerne for repræsentationsniveauer i kunsten; de Chirico maler billeder i billeder [168] .

Kunst kan fange logiske paradokser. Surrealisten René Magritte skabte sine malerier som semiotiske vittigheder, der satte spørgsmålstegn ved forholdet mellem overflader. Maleriet " The Conditions of Human Existence " (1933) forestiller et staffeli med lærred; landskabet understøtter udsigten fra vinduet, hvis rammer er markeret med gardiner. Escher byggede plottet til The Picture Gallery (1956) på samme måde: en forvrænget udsigt over byen, et galleri beliggende i byen, selve maleriet som en udstilling. Rekursionen fortsætter i det uendelige [169] . Magritte fordrejede virkeligheden også på andre måder. Mental Arithmetic (1931) skildrer en bebyggelse, hvor huse står side om side med bolde og terninger, som om børns legetøj var vokset til gigantiske proportioner [170] . En journalist for The Guardian kommenterede, at den "uhyggelige plan for en legetøjsby" [171] blev en profeti, der varslede modernisternes tilranelse af "gamle bekvemme former" [172] . Samtidig leger Magritte med den menneskelige tendens til at søge efter mønstre i naturen [173] .

Salvador Dalis sidste maleri , Svalens hale (1983), afslutter en række værker inspireret af René Thomas ' katastrofeteori [174] . Den spanske maler og billedhugger Pablo Palazuelo (1916-2007) udviklede en stil, som han kaldte "livets geometri og hele naturen". Palazuelos kunstværker er omhyggeligt strukturerede og farvede sæt af enkle figurer. Som et middel til selvudfoldelse bruger han geometriske transformationer [9] .


Kunstnere tager ikke altid geometri bogstaveligt. I 1979 udkom bogen Gödel , Escher, Bach af Douglas Hofstadter , hvor han reflekterer over menneskets mønstre, herunder kunstens forbindelse med matematik:

”Forskellen mellem Eschers tegninger og ikke-euklidisk geometri er, at det i sidstnævnte er muligt at finde meningsfulde fortolkninger af udefinerede begreber på en sådan måde, at systemet bliver forståeligt, mens slutresultatet i førstnævnte er inkonsistent med vores opfattelse af verden, uanset hvor længe vi betragter billede." [175]

Hofstadter henviser til paradokset i Eschers "Billedgalleri", og karakteriserer det som et "mærkeligt sløjfe eller indviklet hierarki" [176] af virkelighedsniveauer. Kunstneren selv er ikke repræsenteret i denne sløjfe; hverken dets eksistens eller forfatterskabets kendsgerning er paradokser [177] . Vakuumet i midten af ​​billedet tiltrak sig matematikerne Bart de Smits og Hendrik Lenstras opmærksomhed. De antyder tilstedeværelsen af ​​Droste -effekten: billedet er selvreproducerende i en roteret og komprimeret form. Hvis Droste-effekten faktisk er til stede, er rekursionen endnu mere kompliceret end Hofstadter [178] [179] konkluderede .

Analyse af kunsthistorie

Algoritmisk analyse af kunstværker, for eksempel røntgenfluorescens , gør det muligt at detektere lag, der efterfølgende er malet over af forfatteren, genskabe det oprindelige udseende af revnede eller mørklagte billeder, skelne kopier fra originalen og skelne mesterens hånd fra elevens [180] [181] .

Jackson Pollocks "dryppende" teknik [182] er bemærkelsesværdig for sin fraktale dimension [183 ] Muligvis var Pollocks kontrollerede kaos [184] påvirket af Max Ernst. Ved at dreje en spand maling med en perforeret bund over lærredet skabte Ernst Lissajous-figurer [185] . Datalogen Neil Dodgson forsøgte at finde ud af, om Bridget Rileys stribede lærreder kunne karakteriseres matematisk . En analyse af afstandene mellem båndene "gav et bestemt resultat", i nogle tilfælde blev hypotesen om global entropi bekræftet , men der var ingen autokorrelation , da Riley varierede mønstrene. Lokal entropi fungerede bedre, hvilket var i tråd med kritikeren Robert Koudelkas teser om kunstnerens arbejde [186] .

I 1933 præsenterede den amerikanske matematiker George D. Birkhoff for offentligheden værket "Aesthetic Measure" - en kvantitativ teori om maleriets æstetiske kvalitet . Birkhoff udelukkede spørgsmål om konnotation fra overvejelse, idet han fokuserede på de geometriske egenskaber ("ordenselementer") af billedet som en polygon. Den additive metrik tager værdier fra -3 til 7 og kombinerer fem karakteristika:

Den anden metrik afspejler antallet af linjer, der indeholder mindst én side af polygonen. Birkhoff definerer målet for et objekts æstetik som et forhold . Attitude kan fortolkes som en balance mellem den nydelse, som kontemplationen af ​​et objekt leverer, og kompleksiteten af ​​konstruktionen. Birkhoffs teori er blevet kritiseret fra forskellige synsvinkler og bebrejdede ham for hans hensigt om at beskrive skønhed med en formel. Matematikeren hævdede, at han ikke havde en sådan hensigt [187] .

Mad til forskning

Der er tilfælde, hvor kunst tjente som en stimulans for udviklingen af ​​matematik. Efter at have formuleret teorien om perspektiv i arkitektur og maleri, åbnede Brunelleschi en hel række undersøgelser, som omfattede arbejdet af Brooke Taylor og Johann Lambert om perspektivets matematiske grundlag [188] . På dette grundlag opstillede Gerard Desargues og Jean-Victor Poncelet teorien om projektiv geometri [189] .

Matematiske metoder tillod Tomoko Fuse at udvikle den japanske kunst at origami . Ved hjælp af moduler samler hun af kongruente stykker papir - for eksempel firkanter - polyedre og parketgulve [190] . I 1893 udgav T. Sundara Rao Geometric Exercises in Paper Folding, hvor han gav visuelle beviser for forskellige geometriske resultater [191] . De vigtigste opdagelser inden for origami-matematik omfatter Maekawas sætning [192] , Kawasakis sætning [193] og Fujitas regler [194] .

Fra illusion til optisk kunst

Optiske illusioner , herunder Fraser-spiralen, demonstrerer begrænsningerne ved menneskelig opfattelse af visuelle billeder. Kunsthistorikeren Ernst Gombrich kaldte de effekter, de skabte, for "uforståelige tricks" [196] . De sorte og hvide striber, som ved første øjekast danner en spiral , er faktisk koncentriske cirkler . I midten af ​​det 20. århundrede opstod en optisk kunststil , der udnyttede illusioner til at give dynamik til malerier, for at skabe effekten af ​​flimmer eller vibration. Berømte repræsentanter for retningen, i kraft af en velkendt analogi også kendt som "op art", er Bridget Riley, Spyros Choremis [197] , Victor Vasarely [198] .

Hellig geometri

Ideen om et gud-geometer og den hellige natur af alle tings geometri har været kendt siden det antikke Grækenland og kan spores i vesteuropæisk kultur. Plutarch påpeger, at sådanne synspunkter blev holdt af Platon : "Gud geometriserer uophørligt" ( Convivialium disputationum , liber 8,2). Platons synspunkter er forankret i det pythagoræiske begreb om musikalsk harmoni, hvor toner er fordelt i ideelle proportioner dikteret af længden af ​​lyrens strenge. I analogi med musik sætter regulære polyedre ("platoniske faste stoffer") proportionerne af den omgivende verden og som et resultat plotter i kunsten [199] [200] . En berømt middelalderlig illustration af Gud, der skabte universet med et kompas, henviser til bibelverset : "Da han forberedte himlen, var jeg der. Da han tegnede en cirkel hen over afgrunden" ( Salomons Ordsprog , 8:27) [201] . I 1596 præsenterede matematikeren og astronomen Johannes Kepler en model af solsystemet  - et sæt indlejrede platoniske faste stoffer, der repræsenterer de relative størrelser af planetbaner [201] . Maleriet "The Great Architect " af William Blake , samt hans monotype "Newton", hvor den store videnskabsmand er afbildet som et nøgen geometer, demonstrerer kontrasten mellem den matematisk perfekte åndelige verden og den uperfekte fysiske [202] . På samme måde kan man fortolke Dalis " Hyperkubiske Krop ", hvor Kristus korsfæstes på en tredimensionel udfoldelse af en firedimensionel hyperkube . Ifølge kunstneren kan det guddommelige øje måle mere end det menneskelige [82] . Dali forestillede sig , at Kristi sidste måltid med disciplene fandt sted inde i et gigantisk dodekaeder [203] ,

Se også

Noter

  1. ↑ 1 2 3 4 Ziegler, Günter M. Dürers polyeder: 5 teorier, der forklarer Melencolias skøre terning . The Guardian (3. december 2014). Hentet 27. oktober 2015. Arkiveret fra originalen 11. november 2020.
  2. ↑ Plinius den ældre. Naturvidenskab. Om kunst. - M .: Ladomir, 1994. S. 65 (XXXIV, 55-56)
  3. ↑ 1 2 McCague, Hugh. Pythagoræere og billedhuggere: The Canon of Polykleitos  //  Rosenkreuzer Digest: tidsskrift. - 2009. - Bd. 1 . — S. 23 .
  4. ↑ Platon. Menon // Platon. Sobr. op. i 4 bind - V.1. - M .: Tanke, 1990. - S. 594-595 (85 a-s)
  5. ↑ Vlasov V. G. . Teorien om formning i kunsten. Lærebog for gymnasier. - Skt. Petersborg: Skt. Petersborgs Forlag. un-ta, 2017. - C.121-122
  6. ↑ Raven, JE Polyclitus and Pythagoreanism // Classical Quarterly. - 1951. - V. 1 , nr. 3-4 . - S. 147 - . - doi : 10.1017/s0009838800004122 .
  7. ↑ Tobin, Richard. The Canon of Polykleitos  // American Journal of  Archaeology : journal. - 1975. - Oktober ( bind 79 , nr. 4 ). - s. 307-321 . - doi : 10.2307/503064 .
  8. ↑ 1 2 3 O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Matematik og kunstperspektiv . University of St. Andrews (januar 2003). Hentet 1. september 2015. Arkiveret fra originalen 24. marts 2019.
  9. ↑ 1 2 3 4 The Visual Mind II / Emmer, Michelle. - MIT Press , 2005. - ISBN 978-0-262-05048-7 .
  10. ↑ Vasari, Giorgio . Livet af de mest fremragende malere, billedhuggere og arkitekter . - Torrentino, 1550. - C. Kapitel om Brunelleschi.
  11. ↑ Alberti, Leon Battista; Spencer, John R. Om maleri . - Yale University Press , 1956.
  12. ↑ Field, JV The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the  Renaissance . - Oxford University Press , 1997. - ISBN 978-0-19-852394-9 .
  13. ↑ Witcombe, Christopher LCE Art History Resources . Dato for adgang: 5. september 2015. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016.
  14. ↑ 1 2 3 4 5 Hart, George W. Polyhedra in Art . Hentet 24. juni 2015. Arkiveret fra originalen 21. april 2019.
  15. ↑ Cunningham, Lawrence; Reich, John; Fichner Rathus, Lois. Kultur og værdier: En undersøgelse af den vestlige  humaniora . — Cengage læring, 2014. - S. 375. - ISBN 978-1-285-44932-6 . . — “som illustrerer Uccellos fascination af perspektiv. De dystende kombattanter engagerer sig på en slagmark fyldt med knækkede lanser, der er faldet i et næsten gittermønster og peger mod et forsvindingspunkt et sted i det fjerne."
  16. ↑ della Francesca, Piero. De Prospectiva Pingendi / G. Nicco Fasola. — Firenze, 1942.
  17. ↑ della Francesca, Piero. Trattato d'Abaco / G. Arrighi. — Pisa, 1970.
  18. ↑ della Francesca, Piero. L'opera "De corporibus regularibus" af Pietro Franceschi detto della Francesca usurpata da Fra Luca Pacioli  (italiensk) / G. Mancini. — 1916.
  19. ↑ Vasari, G. Le Opere, bind 2 / G. Milanesi. - 1878. - S. 490.
  20. ↑ Zuffi, Stefano. Piero della Francesca . - L'Unità - Mondadori Arte, 1991. - S.  53 .
  21. ↑ Heath, TL The Thirteen Books of Euclid's Elements. - Cambridge University Press , 1908. - S. 97.
  22. ↑ Grendler, P. Hvad Piero lærte i skolen: Fifteenth-Century Vernacular Education  / M.A. Lavin. Piero della Francesca og hans arv. – University Press of New England, 1995. - s. 161-176.
  23. ↑ Alberti, Leon Battista; Grayson, Cecil (oversættelse). Om maleri / Kemp, Martin. - Penguin Classics , 1991.
  24. ↑ Peterson, Mark. Piero della Francescas geometri (utilgængeligt link) . - "I Bog I, efter nogle elementære konstruktioner for at introducere ideen om, at den tilsyneladende størrelse af et objekt faktisk er dens vinkel spændt mod øjet, og med henvisning til Euklids Elementer Bog I og VI og Euklids Optik, vender han, i Forslag 13, til repræsentationen af ​​en firkant, der ligger fladt på jorden foran beskueren. Hvad skal kunstneren egentlig tegne? Herefter konstrueres objekter i firkanten (fliser f.eks. for at repræsentere et klinkegulv), og tilsvarende objekter konstrueres i perspektiv; i Bog II er prismer rejst over disse plane genstande, for at repræsentere huse, søjler osv.; men grundlaget for metoden er den oprindelige firkant, hvorfra alt andet følger." Hentet 2. juni 2017. Arkiveret fra originalen 1. juli 2016. 
  25. ↑ Hockney, David. Hemmelig viden: Genopdagelse af de gamle mestres forsvundne teknikker  (engelsk) . - Thames og Hudson, 2006. - ISBN 978-0-500-28638-8 .
  26. ↑ Van Riper, Frank Hockneys 'Lucid' bombe ved kunstinstitutionen . Washington Post. Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 11. september 2015.
  27. ↑ Marr, Andrew Hvad øjet ikke så . The Guardian (7. oktober 2001). Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 25. september 2015.
  28. ↑ Janson, Jonathan Et interview med Philip Steadman . Essential Vermeer (25. april 2003). Hentet 5. september 2015. Arkiveret fra originalen 6. september 2015.
  29. ↑ Steadman, Philip. Vermeer's Camera: Afdækning af sandheden bag mesterværkerne  (engelsk) . - Oxford, 2002. - ISBN 978-0-19-280302-3 .
  30. ↑ Hart, George. Luca Paciolis polyeder . Hentet 13. august 2009. Arkiveret fra originalen 18. oktober 2018.
  31. ↑ Morris, Roderick Conway Palmezzanos renæssance: Fra skygger kommer maleren frem . New York Times (27. januar 2006). Hentet 22. juli 2015. Arkiveret fra originalen 18. april 2021.
  32. ↑ Calter, Paul. Geometri og kunst Enhed 1 (ikke tilgængeligt link) . Dartmouth College . Hentet 13. august 2009. Arkiveret fra originalen 21. august 2009. 
  33. ↑ Brizio, Anna Maria. Kunstneren Leonardo . - McGraw-Hill Education , 1980.
  34. ↑ Ladwein, Michael. Leonardo Da Vinci, den sidste nadver: Et kosmisk drama og en forløsningshandling  (engelsk) . - Temple Lodge Publishing, 2006. - S. 61-62. - ISBN 978-1-902636-75-7 .
  35. ↑ Turner, Richard A. Opfinder Leonardo. — Alfred A. Knopf, 1992.
  36. ↑ Wolchover, Natalie Kopierede Leonardo da Vinci sin berømte 'Vitruvian Man'? . NBC News (31. januar 2012). Hentet 27. oktober 2015. Arkiveret fra originalen 28. januar 2016.
  37. ↑ Criminisi, A.; Kempz, M.; Kang, SB Reflections of Reality i Jan van Eyck og Robert Campin  //  Historiske metoder: tidsskrift. - 2004. - Bd. 37 , nr. 3 . - S. 109-121 . - doi : 10.3200/hmts.37.3.109-122 .
  38. ↑ Komfur, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelsk) . - Cambridge University Press , 2013. - S. 299-300, 306-307. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  39. ↑ Komfur, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelsk) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  269 -278. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  40. ↑ Joyce, David E. Euclid's Elements, Bog II, Proposition 11 . Clark University (1996). Hentet 24. september 2015. Arkiveret fra originalen 30. september 2015.
  41. ↑ Seghers, MJ; Longacre, JJ; Destefano, GA  Den Gyldne Proportion og Skønhed  // Plastisk og rekonstruktiv kirurgi : journal. - 1964. - Bd. 34 , nr. 4 . - s. 382-386 . - doi : 10.1097/00006534-196410000-00007 .
  42. ↑ Mainzer, Klaus. Symmetrier of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science  (engelsk) . - Walter de Gruyter , 1996. - S. 118.
  43. ↑ Matematiske egenskaber i gamle teatre og amfiteatre (downlink) . Hentet 29. januar 2014. Arkiveret fra originalen 15. juli 2017. 
  44. ↑ Arkitektur: Ellipse? . The-Colosseum.net. Dato for adgang: 29. januar 2014. Arkiveret fra originalen 11. december 2013.
  45. ↑ 1 2 3 4 Markowsky, George. Misforståelser om det gyldne snit  //  The College Mathematics Journal :magasin. - 1992. - Januar ( bind 23 , nr. 1 ). - S. 2-19 . - doi : 10.2307/2686193 . Arkiveret fra originalen den 8. april 2008.
  46. ↑ Taseos, Sokrates G. Tilbage i tiden 3104 f.Kr. til den store  pyramide . — SOC Publishers, 1990.
  47. ↑ Forholdet mellem den skrå højde og halvdelen af ​​bundens længde er 1,619, hvilket er mindre end 1 % forskelligt fra det gyldne snit (1,618). Brugen af ​​Kepler trekanten er underforstået (hældningsvinklen er 51°49').
  48. ↑ Gazale, Midhat. Gnomon: Fra faraoer til fraktaler. - Princeton University Press , 1999. - ISBN 978-0-691-00514-0 .
  49. ↑ Huntley, H. E. The Divine Proportion. - Dover, 1970.
  50. ↑ Hemenway, Priya. Guddommelig proportion : Phi i kunst, natur og videnskab  . - Sterling, 2005. - S.  96 .
  51. ↑ Usvat, Liliana Parthenons matematik . Matematik Magasinet. Hentet 24. juni 2015. Arkiveret fra originalen 14. september 2015.
  52. ↑ Boussora, Kenza; Mazouz, Said. Brugen af ​​det gyldne snit i den store moske i Kairouan  //  Nexus Network Journal: tidsskrift. — Bd. 6 , nr. 1 . - S. 7-16 . - doi : 10.1007/s00004-004-0002-y . Arkiveret fra originalen den 4. oktober 2008. . — “Den geometriske teknik til konstruktion af det gyldne snit synes at have bestemt de vigtigste beslutninger i den rumlige organisation. Det gyldne snit optræder gentagne gange i en del af bygningsmålene. Det findes i planens overordnede andel og i dimensioneringen af ​​bederummet, retten og minareten. Eksistensen af ​​det gyldne snit i nogle dele af Kairouan-moskeen indikerer, at de elementer, der er designet og genereret med dette princip, kan være blevet realiseret i samme periode." Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Hentet 4. juni 2017. Arkiveret fra originalen 4. oktober 2008. 
  53. ↑ Brinkworth, Peter; Scott, Paul. The Place of Mathematics // Australsk matematiklærer. - 2001. - T. 57 , nr. 3 . - S. 2 .
  54. ↑ Chanfon Olmos, Carlos. Curso sobre Proportion. Procedimientos reguladors en construcción  (spansk) . — Convenio de intercambio Unam–Uady. Mexico - Merica, 1991.
  55. ↑ Livio, Mario . Det gyldne snit: historien om Phi, verdens mest forbløffende  tal . — Broadway Books, 2002.
  56. ↑ Smith, Norman AF Cathedral Studies: Engineering or History  // Transactions of the Newcomen Society. - 2001. - T. 73 . - S. 95-137 . - doi : 10.1179/tns.2001.005 . Arkiveret fra originalen den 11. december 2015. Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Hentet 4. juni 2017. Arkiveret fra originalen 11. december 2015. 
  57. ↑ McVeigh, Karen Hvorfor det gyldne snit glæder øjet: Amerikansk akademiker siger, at han kender kunstens hemmelighed . The Guardian (28. december 2009). Dato for adgang: 27. oktober 2015. Arkiveret fra originalen 19. oktober 2015.
  58. ↑ 1 2 3 Cucker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelsk) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  89 -102. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  59. ↑ 12 Lerner , Martin. Flammen og lotus: Indisk og sydøstasiatisk kunst fra Kronos samlinger  (engelsk) . — Udstillingskatalog. - Metropolitan Museum of Art, 1984.
  60. ↑ 1 2 Ellison, Elaine; Venters, Diana. Matematiske dyner: Ingen syning påkrævet. — Nøgleplan, 1999.
  61. ↑ 1 2 Castera, Jean Marc; Peuriot, Francois. Arabesker. Dekorativ kunst i Marokko. - Art Creation Realization, 1999. - ISBN 978-2-86770-124-5 .
  62. ↑ Salingaros, Nikos. Et tæppes 'liv': en anvendelse af Alexander-reglerne  (engelsk)  // 8th International Conference on Oriental Carpets : journal. - Philadelphia, 1996. - November. Genoptrykt i Orientalske tæppe- og tekstilstudier V / Eiland, M.; Pinner, M.. - Danville, CA: Konference om orientalske tæpper, 1998.
  63. ↑ Komfur, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelsk) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  103-106 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  64. ↑ Dye, Daniel S. Chinese Lattice Designs . - Dover, 1974. - S.  30 -39.
  65. ↑ belcastro, sarah-marie. Adventures in Mathematical Knitting   // American Scientist :magasin. - 2013. - Bd. 101 , nr. 2 . — S. 124 . doi : 10.1511 / 2013.101.124 .
  66. ↑ Taimina, Daina. Hækleeventyr med hyperbolske planer  . — A. K. Peters, 2009. - ISBN 1-56881-452-6 .
  67. ↑ Snook, Barbara. Florentinsk broderi . Scribner, anden udgave 1967.
  68. ↑ Williams, Elsa S. Bargello: Florentine Canvas Work . Van Nostrand Reinhold, 1967.
  69. ↑ Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. Satins and Twills: An Introduction to the Geometry of Fabrics  // Mathematics Magazine  : magazine  . - 1980. - Maj ( bind 53 , nr. 3 ). - S. 139-161 . - doi : 10.2307/2690105 . — .
  70. ↑ 1 2 Gamwell, Lynn. Matematik og kunst: En kulturhistorie. - Princeton University Press , 2015. - S. 423. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  71. ↑ Baker, Patricia L.; Smith, Hilary. Iran . — 3. — Bradt Rejseguider, 2009. - S. 107. - ISBN 1-84162-289-3 .
  72. ↑ Irvine, Veronica; Ruskey, Frank. Udvikling af en matematisk model for Bobbin Lace  //  Journal of Mathematics and the Arts : journal. - 2014. - Bd. 8 , nr. 3-4 . - S. 95-110 . - doi : 10.1080/17513472.2014.982938 . - arXiv : 1406.1532 .
  73. ↑ Lu, Peter J.; Steinhardt, Paul J. Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture  // Videnskab  :  tidsskrift. - 2007. - Bd. 315 , nr. 5815 . - S. 1106-1110 . - doi : 10.1126/science.1135491 . - . — PMID 17322056 .
  74. ↑ van den Hoeven, Saskia, van der Veen, Maartje. Muqarnas-matematik i islamisk kunst . Hentet 6. maj 2018. Arkiveret fra originalen 6. maj 2019.
  75. ↑ Panofsky, E. Albrecht Dürers liv og kunst. - Princeton, 1955.
  76. ↑ Hart, George W. Dürers polyeder . Hentet 13. august 2009. Arkiveret fra originalen 19. august 2009.
  77. ↑ Dürer, Albrecht. Hierinn synd begriffen vier Bucher von menschlicher Proportion  (tysk) . - Nurenberg: Archive.org, 1528.
  78. ↑ Schreiber, P. En ny hypotese om Durers gådefulde polyeder i hans kobberstik 'Melencolia I'  //  Historia Mathematica : journal. - 1999. - Bd. 26 . - S. 369-377 . - doi : 10.1006/hmat.1999.2245 .
  79. ↑ Dodgson, Campbell. Albrecht Durer. - London: Medici Society, 1926. - S. 94.
  80. ↑ Schuster, Peter-Klaus. Melencolia I: Dürers Denkbild. Berlin: Gebr. Mann Verlag, 1991, s. 17-83.
  81. ↑ Panofsky, Erwin ; Klibansky, Raymond; Saxl, Fritz . Saturn og melankoli . — Grundbøger , 1964.
  82. ↑ 1 2 Korsfæstelse (Corpus Hypercubus) . Metropolitan Museum of Art. Dato for adgang: 5. september 2015. Arkiveret fra originalen 23. oktober 2015.
  83. ↑ Lukman, Muhammed; Hariadi, Yun; Destiarmand, Achmad Haldani. Batik Fractal: Traditional Art to Modern Complexity  (engelsk)  // Proceeding Generative Art X, Milano, Italien: tidsskrift. – 2007.
  84. ↑ Pollocks fraktaler  (november 2001). Arkiveret fra originalen den 7. oktober 2016. Hentet 26. september 2016.
  85. ↑ Galilei, Galileo . Assayeren. - 1623. , som oversat i Drake, StillmanGalileos opdagelser og meninger. - Doubleday, 1957. - S. 237-238. — ISBN 0-385-09239-3 .
  86. ↑ Komfur, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelsk) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  381 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  87. ↑ Komfur, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelsk) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  10 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  88. ↑ King, Jerry P. The Art of Mathematics. - Fawcett Columbine, 1992. - S. 8-9. - ISBN 0-449-90835-6 .
  89. ↑ King, Jerry P. The Art of Mathematics. - Fawcett Columbine, 1992. - S. 135-139. - ISBN 0-449-90835-6 .
  90. ↑ Devlin, Keith. Har matematikere forskellige hjerner? // Math Gene : Hvordan matematisk tænkning udviklede sig, og hvorfor tal er som sladder  . - Grundbøger , 2000. - S. 140. - ISBN 978-0-465-01619-8 .
  91. ↑ Engelsk.  "Hvorfor er numre smukke? Det er som at spørge, hvorfor er Beethovens niende symfoni smuk. Hvis du ikke kan se hvorfor, kan nogen ikke fortælle dig det. Jeg ved, at numre er smukke."
  92. ↑ Malkevitch, Joseph Matematik og kunst. 2. Matematiske værktøjer til kunstnere . American Mathematical Society. Hentet 1. september 2015. Arkiveret fra originalen 14. september 2015.
  93. ↑ Malkevitch, Joseph Matematik og kunst . American Mathematical Society. Hentet 1. september 2015. Arkiveret fra originalen 29. august 2015.
  94. ↑ Matematik og kunst: Den gode, den dårlige og den smukke . Mathematical Association of America. Hentet 2. september 2015. Arkiveret fra originalen 9. september 2015.
  95. ↑ Cohen, Louise Sådan drejer du farvehjulet, af Turner, Malevich og flere . Tate Gallery (1. juli 2014). Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 11. september 2015.
  96. ↑ Kemp, Martin. The Science of Art : Optiske temaer i vestlig kunst fra Brunelleschi til Seurat  . - Yale University Press , 1992. - ISBN 978-968-867-185-6 .
  97. ↑ Gage, John. Farve og kultur : praksis og mening fra antikken til abstraktion  . - University of California Press , 1999. - S. 207. - ISBN 978-0-520-22225-0 .
  98. ↑ Malkevitch, Joseph Matematik og kunst. 3.Symmetri . American Mathematical Society. Hentet 1. september 2015. Arkiveret fra originalen 14. september 2015.
  99. ↑ Malkevitch, Joseph Matematik og kunst. 4. Matematiske kunstnere og kunstnermatematikere . American Mathematical Society. Hentet 1. september 2015. Arkiveret fra originalen 15. september 2015.
  100. ↑ Wright, Richard. Nogle spørgsmål i udviklingen af ​​computerkunst som matematisk kunstform  //  Leonardo : journal. - 1988. - Bd. 1 , nr. Electronic Art, tillægsnummer . - S. 103-110 . - doi : 10.2307/1557919 . — .
  101. ↑ Kalajdzievski, Sasho. Matematik og kunst: En introduktion til visuel matematik  (engelsk) . - Chapman og Hall , 2008. - ISBN 978-1-58488-913-7 .
  102. ↑ 1 2 Beddard, Honor Computer art på V&A . Victoria og Albert Museum. Hentet 22. september 2015. Arkiveret fra originalen 25. september 2015.
  103. ↑ Computer tegner: Tusindvis af linjer i hver (17. september 1962). i Beddard, 2015.
  104. ↑ O'Hanrahan, Elaine. Tegnemaskiner: Maskinen producerede tegninger af Dr. D.P. Henry i forhold til konceptuelle og teknologiske udviklinger inden for maskingenereret kunst (UK 1960-1968). Upubliceret MPhil. Speciale  (engelsk) . - John Moores University, Liverpool, 2005. i Beddard, 2015.
  105. ↑ Bellos, Alex . Dagens fangst: matematiker garn underlige, komplekse fisk , The Guardian (24. februar 2015). Arkiveret fra originalen den 30. november 2016. Hentet 25. september 2015.
  106. ↑ "A Bird in Flight (2016)," af Hamid Naderi Yeganeh . American Mathematical Society (23. marts 2016). Hentet 6. april 2017. Arkiveret fra originalen 29. marts 2017.
  107. ↑ Chung, Stephy . Næste da Vinci? Matematik geni, der bruger formler til at skabe fantastiske kunstværker , CNN  (18. september 2015). Arkiveret fra originalen den 2. februar 2017. Hentet 7. juni 2017.
  108. ↑ Levin, Golan Generative Artists . CMUEMS (2013). Hentet 27. oktober 2015. Arkiveret fra originalen 21. september 2015. Dette inkluderer et link til Hvidtfeldts Syntopia Arkiveret 31. oktober 2015 på Wayback Machine .
  109. ↑ Verostko, Roman Algoristerne . Hentet 27. oktober 2015. Arkiveret fra originalen 4. september 2016.
  110. ↑ Komfur, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelsk) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  315-317 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  111. ↑ Miller, Arthur I. Einstein, Picasso : Rum, tid og skønheden der forårsager kaos  . - New York: Basic Books, 2001. - S.  171 . - ISBN 0-465-01860-2 .
  112. ↑ Miller, Arthur I. Insights of Genius : Imagery and Creativity in Science and Art  . - Springer, 2012. - ISBN 1-4612-2388-1 .
  113. ↑ Henderson, Linda D. Den fjerde dimension og ikke-euklidisk geometri i moderne kunst  . — Princeton University Press , 1983.
  114. ↑ Antliff, Mark; Leighten, Patricia Dee. Kubisme og kultur . - Thames & Hudson, 2001.  (utilgængeligt link)
  115. ↑ Everdell, William R. The First Moderns: Profiles in the Origins of Twentieth Century Thought  . - University of Chicago Press , 1997. - S.  312 . - ISBN 0-226-22480-5 .
  116. ↑ Green, Christopher. Kubismen og dens fjender, moderne bevægelser og reaktion i fransk kunst, 1916-1928  (engelsk) . - Yale University Press , 1987. - S. 13-47.
  117. ↑ Metzinger, JeanNote sur la peinture // Pan. - S. 60 . i Miller. Einstein, Picasso . - Grundbøger , 2001. - S.  167 .
  118. ↑ Metzinger, JeanLe cubisme etait né. - Éditions Présence, 1972. - S. 43-44. i Ferry, Luc Homo Aestheticus: The Invention of Taste in the Democratic Age  (engelsk) . - University of Chicago Press , 1993. - S.  215 . — ISBN 0-226-24459-8 .
  119. ↑ Man Ray–Human Equations En rejse fra matematik til Shakespeare. 7. februar – 10. maj 2015 . Phillips samling. Hentet 5. september 2015. Arkiveret fra originalen 6. september 2015.
  120. ↑ Adcock, Craig. Duchamp's Eroticism: A Mathematical Analysis  // Iowa Research Online. - 1987. - T. 16 , nr. 1 . - S. 149-167 .
  121. ↑ Ældste, R. Bruce. DADA, surrealisme og den filmiske  effekt . — Wilfrid Laurier University Press, 2013. - S. 602. - ISBN 978-1-55458-641-7 .
  122. ↑ Tubbs, Robert. Matematik i det 20. århundredes litteratur og kunst: indhold, form,  betydning . — JHU Tryk, 2014. - S. 118. - ISBN 978-1-4214-1402-7 .
  123. ↑ Hiroshi Sugimoto konceptuelle former og matematiske modeller 7. februar – 10. maj 2015 . Phillips samling. Hentet 5. september 2015. Arkiveret fra originalen 6. september 2015.
  124. ↑ Tubbs, Robert. Matematik i det 20. århundredes litteratur og  kunst . - Johns Hopkins, 2014. - S. 8-10. — ISBN 978-1-4214-1380-8 .
  125. ↑ Engelsk.  "de elliptiske paraboloider og keglepunkter i samme sensuelle lys som hans billeder af Kiki de Montparnasse"
  126. ↑ Engelsk.  "omsætter genialt matematikkens seje beregninger for at afsløre begærets topologi"
  127. ↑ Keats, Jonathon Se, hvordan Man Ray gjorde elliptiske paraboloider erotiske på denne Phillips Collection-fotografiudstilling . Forbes (13. februar 2015). Hentet 10. september 2015. Arkiveret fra originalen 23. september 2015.
  128. ↑ Gamwell, Lynn. Matematik og kunst: En kulturhistorie. - Princeton University Press , 2015. - S. 311-312. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  129. ↑ Henry Moore: Tekst om hans skulptur / Hedgecoe, John. - Henry Spencer Moore. - Simon og Schuster , 1968. - S. 105.
  130. ↑ Engelsk.  "Udvivlsomt var kilden til mine strengede figurer Science Museum... Jeg var fascineret af de matematiske modeller, jeg så der... Det var ikke den videnskabelige undersøgelse af disse modeller, men evnen til at se gennem strengene som med en fugl bur og at se en form i en anden, hvilket ophidsede mig."
  131. ↑ Jouffret, Esprit. Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions et introduction à la géométrie à n dimensions  (fransk) . — Paris: Gauthier-Villars, 1903.
  132. ↑ Engelsk.  " etabler et visuelt ordforråd bestående af elementære geometriske former, der kan forstås af alle og kan tilpasses enhver disciplin"
  133. ↑ 12 De Stijl . Tate-ordliste . Tate. Hentet 11. september 2015. Arkiveret fra originalen 11. februar 2017.
  134. ↑ Curl, James Stevens. En ordbog over arkitektur og landskabsarkitektur  . - Sekund. - Oxford University Press , 2006. - ISBN 0-19-860678-8 .
  135. ↑ Engelsk.  "en struktur, der kan kontrolleres, en bestemt overflade uden tilfældige elementer eller individuel lune"
  136. ↑ Engelsk.  "ikke mangel på ånd, ikke mangel på det universelle og ikke ... tomt, da der er alt , der passer til den indre rytme"
  137. ↑ Tubbs, Robert. Matematik i det 20. århundredes litteratur og kunst: indhold, form,  betydning . — JHU Tryk, 2014. - S. 44-47. - ISBN 978-1-4214-1402-7 .
  138. ↑ Rundvisning: MC Escher - Liv og arbejde (ikke tilgængeligt link) . NGA. Hentet 13. august 2009. Arkiveret fra originalen 3. august 2009. 
  139. ↑ M.C. Escher . Mathacademy.com (1. november 2007). Hentet 13. august 2009. Arkiveret fra originalen 11. oktober 2007.
  140. ↑ Penrose, L.S.; Penrose, R. Impossible objects: A special type of visual illusion  (engelsk)  // British Journal of Psychology : journal. - 1958. - Bd. 49 . - S. 31-33 . - doi : 10.1111/j.2044-8295.1958.tb00634.x . — PMID 13536303 .
  141. ↑ Kirousis, Lefteris M.; Papadimitriou, Christos H.Kompleksiteten i at genkende polyedriske scener // 26. årlige symposium om grundlaget for datalogi(FOCS 1985). - 1985. - S. 175-185 . - doi : 10.1109/sfcs.1985.59 .
  142. ↑ Cooper, Martin. Linjetegning fortolkning . - Springer-Verlag , 2008. - S.  217 -230. - ISBN 978-1-84800-229-6 . - doi : 10.1007/978-1-84800-229-6_9 .
  143. ↑ Roberts, Siobhan. 'Coxetering' med MC Escher. - King of Infinite Space: Donald Coxeter, manden der reddede geometri. - Walker, 2006. - S. Kapitel 11.
  144. ↑ Escher, MC MC Eschers verden. - Random House , 1988.
  145. ↑ Escher, M.C.; Vermeulen, M.W.; Ford, K. Escher om Escher: Exploring the Infinite. — HN Abrams, 1989.
  146. ↑ Malkevitch, Joseph Matematik og kunst. 5. Polyedre, flisebelægninger og dissektioner . American Mathematical Society. Hentet 1. september 2015. Arkiveret fra originalen 14. september 2015.
  147. ↑ Marcolli, Matilde . Begrebet rum i matematik gennem linsen af ​​moderne kunst  (engelsk) . - Century Books, 2016. - S. 23-26.
  148. ↑ John Robinson . Bradshaw Foundation (2007). Hentet 13. august 2009. Arkiveret fra originalen 3. maj 2010.
  149. ↑ Helaman Fergusons hjemmeside . Helasculpt.com. Hentet 13. august 2009. Arkiveret fra originalen 11. april 2009.
  150. ↑ Thurston, William P. The Eightfold Way: A Mathematical Sculpture af Helaman Ferguson  / Levy, Silvio. - Bind 35: The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve. - MSRI Publications, 1999. - S. 1-7.
  151. ↑ MAA boganmeldelse af ''The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve'' . Maa.org (14. november 1993). Hentet 13. august 2009. Arkiveret fra originalen 21. december 2009.
  152. ↑ The Math Geek Holiday Gift Guide . Scientific American (23. november 2014). Hentet 7. juni 2015. Arkiveret fra originalen 17. juni 2015.
  153. ↑ Hanna, Raven Gallery: Bathsheba Grossman . Symmetri Magasinet. Hentet 7. juni 2015. Arkiveret fra originalen 26. april 2015.
  154. ↑ Osinga, Hinke Hækler Lorenz-manifolden . University of Auckland (2005). Hentet 12. oktober 2015. Arkiveret fra originalen 10. april 2015.
  155. ↑ Henderson, David; Taimina, Daina Hækling af det hyperbolske plan  //  The Mathematical Intelligencer . - 2001. - Bd. 23 , nr. 2 . - S. 17-28 . - doi : 10.1007/BF03026623 . .
  156. ↑ Osinga, Hinke M; Krauskopf, Bernd. Hækling af Lorenz-manifolden  //  Den matematiske intelligens . - 2004. - Bd. 26 , nr. 4 . - S. 25-37 . - doi : 10.1007/BF02985416 .
  157. ↑ Dietz, Ada K. (1949), Algebraic Expressions in Handwoven Textiles , Louisville, Kentucky: The Little Loomhouse , < http://www2.cs.arizona.edu/patterns/weaving/monographs/dak_alge.pdf > Arkiveret kopi fra 22. februar 2016 på Wayback Machine 
  158. ↑ Miller, JCPPeriodiske skove med forkrøblede træer  (engelsk)  // Philosophical Transactions of the Royal Society of London  : tidsskrift. - 1970. - Bd. 266 , nr. 1172 . - S. 63-111 . doi :/ rsta.1970.0003 . — .
  159. ↑ Designing Beauty: The Art of Cellular Automata / A. Adamatzky, GJ Martínez (red.). - Springer International Publishing, 2016. - (Emergence, Complexity and Computation; v. 20). - ISBN 978-3-319-27270-2 , 978-3-319-27269-6.
  160. ↑ Fra engelsk.  matematikere  - "matematikere" og engelsk.  strik  - strik.
  161. ↑ Pat Ashforth & Steve Plummer - Mathekniticians . Ulde tanker . Hentet 4. oktober 2015. Arkiveret fra originalen 15. september 2015.
  162. ↑ Ward, Mark Knitting genopfundet: Matematik, feminisme og metal . BBC (20. august 2012). Hentet 23. september 2015. Arkiveret fra originalen 23. september 2015.
  163. ↑ Ashforth, Pat; Plummer, Steve Menger Svamp . Woolly Thoughts: In Pursuit of Crafty Mathematics . Hentet 23. september 2015. Arkiveret fra originalen 17. april 2021.
  164. ↑ Fra engelsk.  matematik  - "matematik" og engelsk.  Atghans  - "strikket tørklæde", "slør".
  165. ↑ Ashforth, Pat; Plummer, Steve Afghaner til skoler . Ulde tanker: Mathghans . Hentet 23. september 2015. Arkiveret fra originalen 18. september 2015.
  166. ↑ Mathghans med en forskel . - Simply Knitting Magazine, 2008. - 1. juli. Arkiveret fra originalen den 25. september 2015.
  167. ↑ Giotto di Bondone og assistenter: Stefaneschi triptykon . Vatikanet. Hentet 16. september 2015. Arkiveret fra originalen 30. november 2016.
  168. ↑ Gamwell, Lynn. Matematik og kunst: En kulturhistorie. - Princeton University Press , 2015. - S. 337-338. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  169. ↑ Cooper, Jonathan Kunst og matematik (5. september 2007). Hentet 5. september 2015. Arkiveret fra originalen 25. september 2015.
  170. ↑ Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid  (tysk) . - Penguin, 1980. - S. 627. - ISBN 978-0-14-028920-6 .
  171. ↑ Engelsk.  "uhyggeligt toytown-billede" .
  172. ↑ Engelsk.  "hyggelige traditionelle former" .
  173. ↑ Hall, James René Magritte: The Pleasure Principle - udstilling . The Guardian (10. juni 2011). Hentet 5. september 2015. Arkiveret fra originalen 23. august 2015.
  174. ↑ King, Elliott. Dali / Ades, Dawn. - Milano: Bompiani Arte, 2004. - S. 418-421.
  175. ↑ "Forskellen mellem en Escher-tegning og ikke-euklidisk geometri er, at i sidstnævnte kan der findes forståelige fortolkninger for de udefinerede termer, hvilket resulterer i et forståeligt totalt system, hvorimod slutresultatet for førstnævnte ikke er foreneligt med ens opfattelse af verden, uanset hvor længe man stirrer på billederne."
  176. ↑ Engelsk.  "mærkeligt sløjfe eller sammenfiltret hierarki"
  177. ↑ Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid  (tysk) . - Penguin, 1980. - S. 98-99, 690-717. - ISBN 978-0-394-74502-2 .
  178. ↑ de Smit, B. The Mathematical Structure of Escher's Print Gallery  // Notices of the American Mathematical Society  : journal  . - 2003. - Bd. 50 , nej. 4 . - S. 446-451 .
  179. ↑ Lenstra, Hendrik; De Smit, Bart Anvendelse af matematik til Eschers Print Gallery (link utilgængeligt) . Leiden Universitet. Hentet 10. november 2015. Arkiveret fra originalen 14. januar 2018. 
  180. ↑ Stanek, Becca Van Gogh og algoritmen: Hvordan matematik kan redde kunst . Time Magazine (16. juni 2014). Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 28. september 2015.
  181. ↑ Sipics, Michelle The Van Gogh Project: Art Meets Mathematics in Ongoing International Study (link unavailable) . Selskab for Industriel og Anvendt Matematik (18. maj 2009). Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 7. september 2015. 
  182. ↑ Emmerling, Leonhard. Jackson Pollock, 1912-1956 . - 2003. - S. 63. - ISBN 3-8228-2132-2 .
  183. ↑ Taylor, Richard P.; Micolich, Adam P.; Jonas, David. Fraktal analyse af Pollocks drypmalerier  (engelsk)  // Nature  : journal. - 1999. - Juni ( bind 399 ). - S. 422 . - doi : 10.1038/20833 . Arkiveret fra originalen den 16. august 2015. Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Hentet 9. juni 2017. Arkiveret fra originalen 16. august 2015. 
  184. ↑ Taylor, Richard; Micolich, Adam P.; Jonas, David. Fraktal ekspressionisme: Kan videnskab bruges til at fremme vores forståelse af kunst?  (engelsk)  // Physics World  : magazine. - 1999. - Oktober ( bind 12 ). - S. 25-28 . - doi : 10.1088/2058-7058/12/10/21 . Arkiveret fra originalen den 5. august 2012. . — “Pollock døde i 1956, før kaos og fraktaler blev opdaget. Det er derfor højst usandsynligt, at Pollock bevidst forstod de fraktaler, han malede. Ikke desto mindre var hans introduktion af fraktaler bevidst. For eksempel blev farven på ankerlaget valgt for at producere den skarpeste kontrast mod lærredsbaggrunden, og dette lag optager også mere lærredsplads end de andre lag, hvilket tyder på, at Pollock ønskede, at dette meget fraktale ankerlag visuelt skulle dominere maleriet. Desuden, efter at malerierne var færdige, ville han docke lærredet for at fjerne områder nær lærredets kant, hvor mønstertætheden var mindre ensartet." Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Hentet 9. juni 2017. Arkiveret fra originalen 5. august 2012. 
  185. ↑ King, M. Fra Max Ernst til Ernst Mach: epistemologi i kunst og videnskab. (2002). Dato for adgang: 17. september 2015. Arkiveret fra originalen 4. maj 2016.
  186. ↑ Dodgson, N.A. Matematisk karakterisering af Bridget Rileys stribemalerier  //  Journal of Mathematics and the Arts : journal. - 2012. - Bd. 5 . - S. 1-21 . doi : 10.1080 / 17513472.2012.679468 . . "I løbet af [de] tidlige 1980'ere flyttede Rileys mønstre sig fra mere regulære til mere tilfældige (som karakteriseret ved global entropi), uden at miste deres rytmiske struktur (som karakteriseret ved lokal entropi). Dette afspejler Kudielkas beskrivelse af hendes kunstneriske udvikling."
  187. ↑ Komfur, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelsk) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  116-120 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  188. ↑ Treibergs, Andrews Perspektivtegningens geometri på computeren . University of Utah (24. juli 2001). Hentet 5. september 2015. Arkiveret fra originalen 10. marts 2010.
  189. ↑ Gamwell, Lynn. Matematik og kunst: En kulturhistorie. - Princeton University Press , 2015. - s. xviii. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  190. ↑ Malkevitch, Joseph Matematik og kunst. 6. Origami . American Mathematical Society. Hentet 1. september 2015. Arkiveret fra originalen 14. september 2015.
  191. ↑ T. Sundara Rao. Geometriske øvelser i papirfoldning . — Addison, 1893.
  192. ↑ Justin, J. Mathematics of Origami, del 9 // British Origami. - 1986. - Juni. - S. 28-30 . .
  193. ↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger. Charmerende beviser: En rejse ind i elegant  matematik . - Mathematical Association of America , 2010. - Vol. 42. - S. 57. - (Dolciani matematiske udlægninger). - ISBN 978-0-88385-348-1 .
  194. ↑ Alperin, Roger C.; Lang, Robert J. Origamiaksiomer med én, to og flere  gange // 4OSME. — A.K. Peters, 2009.
  195. ↑ The World of Geometric Toys Arkiveret 22. juli 2020 på Wayback Machine , Origami Spring Arkiveret 19. juni 2017 på Wayback Machine , august 2007.
  196. ↑ Engelsk.  "forvirrende trick" .
  197. ↑ Komfur, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelsk) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  163-166 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  198. ↑ Gamwell, Lynn. Matematik og kunst: En kulturhistorie. - Princeton University Press , 2015. - S. 406-410. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  199. ↑ Ghyka, Matila. Kunstens og livets geometri. - Dover, 2003. - S. ix-xi. - ISBN 978-0-486-23542-4 .
  200. ↑ Lawlor, Robert. Hellig Geometri: Filosofi og praksis. - Thames & Hudson, 1982. - ISBN 978-0-500-81030-9 .
  201. ↑ 1 2 Calter, Paul Himmelske temaer i kunst og arkitektur (link ikke tilgængeligt) . Dartmouth College (1998). Hentet 5. september 2015. Arkiveret fra originalen 23. juni 2015. 
  202. ↑ Tanken om en tanke - Edgar Allan Poe . MathPages. Hentet 5. september 2015. Arkiveret fra originalen 18. april 2021.
  203. ↑ Livio, Mario Det gyldne snit og æstetik . Hentet 26. juni 2015. Arkiveret fra originalen 17. juni 2015.

Litteratur

Links

  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier