Kepler trekant

Kepler-trekanten  er en retvinklet trekant , hvis sidelængder danner en geometrisk progression . I dette tilfælde er forholdet mellem længderne af siderne i Kepler trekanten relateret til det gyldne snit

som kan skrives som : , eller cirka 1 : 1.272 : 1.618 [1] Firkanterne på siderne i denne trekant (se figur) danner en geometrisk progression svarende til det gyldne snit.

Trekanter med dette aspektforhold blev opkaldt efter den tyske matematiker og astronom Johannes Kepler (1571-1630), som var den første til at demonstrere, at i sådanne trekanter er forholdet mellem længden af ​​det korte ben og hypotenusen lig med det gyldne snit [ 2] . Således kombinerer Kepler-trekanten to vigtige matematiske begreber - Pythagoras sætning og det gyldne snit , som Kepler bemærkede:

Der er to skatte i geometrien: den ene er Pythagoras sætning, den anden er opdelingen af ​​en linje i det gyldne snit. Den første kan vi sammenligne med en guldmasse, den anden kan vi kalde en ædelsten. Johannes Kepler

Nogle kilder hævder, at billedformatet af de berømte pyramider i Giza nærmer sig Keplers trekant [4] [5] .

Konsekvens

Det faktum, at en trekant med sider og danner en retvinklet trekant, følger direkte af omskrivningen af ​​det kvadratiske trinomium for det gyldne snit :

i form af Pythagoras sætning :

Relation til den aritmetiske middelværdi, geometrisk middelværdi og harmonisk middelværdi

For positive reelle tal a og b er deres aritmetiske middelværdi , geometrisk middelværdi og harmonisk middelværdi længden af ​​siderne i en retvinklet trekant, hvis og kun hvis trekanten er en Kepler-trekant [6] .

Konstruktion af Kepler trekanten

Keplers trekant kan konstrueres ved hjælp af et kompas og en lineal gennem konstruktionen af ​​det gyldne snit som følger:

1. Konstruer en simpel firkant
2. Tegn en linje fra midten af ​​den ene side af firkanten til det modsatte hjørne
3. Brug denne linje som radius af den bue, der definerer højden af ​​rektanglet
4. Supplement til det gyldne snit
5. Brug den lange side af rektangelet med det gyldne snit som radius af den bue, der krydser den modsatte side af rektanglet og definerer længden af ​​hypotenusen i Kepler-trekanten.

Kepler selv byggede denne trekant anderledes. I et brev til sin tidligere lærer, professor Michael Möstlin, skrev han: "Hvis en retvinklet trekant er konstrueret på en linje, der er opdelt i det ekstreme og gennemsnitlige forhold på en sådan måde, at den rette vinkel vil være ved delepunktet, så den mindre side vil være lig med det større segment af de opdelte linjer." [2] .

Matematisk sammenfald

Lad os tage en Kepler-trekant med sider og overveje:

• cirklen, der omgiver den, og
• en firkant med en side lig trekantens midterside.

Så falder omkredsen af ​​kvadratet ( ) og omkredsen ( ) sammen med en nøjagtighed på 0,1 %.

Dette er et matematisk match . Det er ikke muligt for disse kvadrater og cirkler at have samme omkredslængde, da det klassiske uløselige cirkelkvaderingsproblem så kunne løses . Med andre ord, siden  er et transcendentalt tal .

Noter

1. ↑ Roger Herz-Fischler. Formen af ​​den store pyramide  (neopr.) . — Wilfrid Laurier University Press, 2000. - ISBN 0-88920-324-5 . Arkiveret 7. december 2013 på Wayback Machine
2. ↑ 1 2 Livio, Mario. Det gyldne snit: historien om Phi, verdens mest forbløffende  tal . — New York: Broadway Books, 2002. - S.  149 . — ISBN 0-7679-0815-5 .
3. ↑ Karl Fink, Wooster Woodruff Beman og David Eugene Smith. En kort historie om matematik: En autoriseret oversættelse af Dr. Karl Finks Geschichte der Elementar-  Mathematik . - 2. udgave.. - Chicago: Open Court Publishing Co, 1903. Arkiveret 7. juli 2014 på Wayback Machine
4. ↑ Det bedste fra Astraea: 17 artikler om videnskab, historie og  filosofi . - Astrea Web Radio, 2006. - ISBN 1-4259-7040-0 .
5. ↑ Kvadring af cirklen, Paul Calter (link ikke tilgængeligt) . Hentet 7. maj 2014. Arkiveret fra originalen 2. september 2011. (ubestemt) 
6. ↑ Di Domenico, Angelo, "Det gyldne snit - den retvinklede trekant - og de aritmetiske, geometriske og harmoniske midler," The Mathematical Gazette 89, 2005.