Skønheden ved matematik

Skønheden ved matematik  er opfattelsen af ​​matematik som et objekt for æstetisk nydelse, svarende til musik og poesi.

Et korrekt syn på matematik afslører ikke kun sandhed, men også en upåklagelig skønhed - kold og alvorlig, som en skulptur, løsrevet fra menneskelige svagheder, blottet for maleriets og musikkens prætentiøse tricks - den bjergrige krystallitet og strenge perfektion af stor kunst. Den sande smag af fornøjelse, glæde, befrielse fra den dødelige menneskelige skal - alt dette er kriterierne for den højeste perfektion, som matematik besidder sammen med poesi.

Originaltekst  (engelsk)[ Visskjule] Matematik, rigtigt set, besidder ikke kun sandhed, men suveræn skønhed - en skønhed kold og stram, ligesom skulpturens, uden at appellere til nogen del af vores svagere natur, uden maleriets eller musikens pragtfulde pynt, men alligevel sublimt ren og dygtig. af en streng perfektion, som kun den største kunst kan vise. Den sande glædesånd, ophøjelsen, følelsen af ​​at være mere end mennesket, som er prøvestenen for den højeste fortræffelighed, findes lige så sikkert i matematikken som i poesien. – Bertrand Russell [1]

Skønheden ved metoden

Matematikere refererer ofte til en elegant metode til bevis som havende en eller flere af følgende egenskaber:

På jagt efter et elegant bevis bruger matematikere en lang række måder at løse et problem på, da det første bevis, der findes, ikke nødvendigvis er det bedste. Rekordholderen for antallet af beviser (flere hundrede) er sandsynligvis Pythagoras sætning . [2] En anden velkendt sætning, der er bevist på mange måder, er den kvadratiske reciprocitetslov , som Carl Friedrich Gauss alene udgav 8 beviser for baseret på helt andre ideer. I modsætning til et elegant, kaldes et logisk korrekt bevis, der bruger tidskrævende beregninger, superkomplicerede metoder, traditionelle tilgange, et stort antal aksiomer eller beviser for andre sætninger, groft eller klodset .

Eulers identitet

Nogle matematikere [3] anser det for smukt at løse et problem, der etablerer en sammenhæng mellem områder af matematikken, som tidligere blev anset for uafhængige. Et sådant resultat omtales ofte som dybt . Et af de mest berømte eksempler er Euler-identiteten : [4]

Dette er et særligt tilfælde af Eulers formel, kaldet af fysikeren Richard Feynman "vores skat" og "den mest bemærkelsesværdige formel i matematik". [5] Modularitetssætningen , som Andrew Wiles og Robert Langlands modtog Ulveprisen for , etablerer et vigtigt forhold mellem elliptiske kurver og modulære former. Den monstrøse måneskinsformodning forbinder den simple endelige Monster -gruppe til modulære funktioner via strengteori  , et resultat som Richard Borcherds blev tildelt Fields-prisen for .

Et dybtgående resultat er også afsløringen af ​​uventede aspekter af matematiske strukturer. For eksempel etablerer Gauss' Theorema Egregium , overfladeteoriens grundlæggende teorem, en forbindelse mellem et lokalt fænomen ( krumning ) og et globalt ( areal ). Især arealet af en trekant på en buet overflade er proportional med dets overskud , og proportionalitetskoefficienten bestemmes af krumningen. Et andet eksempel er den fundamentale analysesætning (og dens vektorvarianter, inklusive Greens sætning og Stokes sætning ).

Det modsatte af et dybt resultat er et trivielt resultat . Disse omfatter resultater, der følger direkte fra andre kendte resultater eller kun gælder for specifikke objekter, såsom det tomme sæt . Der er dog tilfælde, hvor formuleringen af ​​sætningen kan være original nok til at blive betragtet som dyb, selvom dens bevis er ret indlysende.

I The Mathematician's Apology foreslår Godfrey Hardy , at et smukt bevis eller resultat skal have " overraskelse kombineret med uforanderlighed og økonomi ". [6] Overraskelse var et nøgleelement i mange af Srinivasa Ramanujans matematiske resultater .

Den italienske matematiker Gian-Carlo Rota anerkender imidlertid ikke overraskelse som en tilstrækkelig betingelse for skønhed, idet han citerer følgende modeksempel:

En masse matematiske teoremer viste sig at være uventede efter deres udgivelse; for omkring tyve år siden (i 1957 - ca.) virkede beviset for eksistensen af ​​ikke-ækvivalente differentiable strukturer på sfærer af høj dimension uventet, men det ville aldrig være faldet nogen ind at kalde dette faktum smukt hverken dengang eller nu . [7]

M. I. Monastyrsky skriver med let ironi:

Det er meget svært at finde opfindelser i fortiden, der ligner Milnors imponerende konstruktioner af forskellige differentialstrukturer på en syvdimensionel kugle... Milnors indledende bevis var ikke særlig konstruktivt, men E. Brieskorn viste, at sådanne strukturer kan beskrives i en meget visuel og smuk form. [otte]

Denne meningsforskel illustrerer både subjektiviteten af ​​opfattelsen af ​​matematisk skønhed og dens sammenhæng med resultatet: beviset for eksistensen af ​​eksotiske sfærer er mindre imponerende end implementeringen af ​​deres modeller.

Følelsen af ​​skønhed

Interessen for ren matematik , forskellig fra empirisk forskning, er bemærket i mange civilisationer , herunder oldgræsk , hvor " matematik blev praktiseret for dens skønheds skyld " [9] . Matematisk skønhed kan dog også mærkes uden for ren matematik. For eksempel henter fysikere æstetisk nydelse fra Einsteins generelle relativitetsteori , som Paul Dirac forklarede med dens " store matematiske skønhed " [10] .

Vi kan mærke matematikkens skønhed, når vi beskæftiger os med objekter i den fysiske verden formuleret i abstrakte termer. . Det var ikke ualmindeligt for matematikere at udvikle et nyt område af matematik, der ikke havde nogen praktisk anvendelse i starten, men med tiden bemærkede fysikere, at disse abstrakte matematiske beregninger afspejlede resultaterne af deres observationer. For eksempel viste gruppeteori , udviklet i begyndelsen af ​​1800-tallet, hvis eneste formål var at kunne løse polynomieligninger , at være den mest hensigtsmæssige måde at kategorisere elementarpartikler, stoffets byggesten. Det samme skete med knudeteori , hvor knuden kun blev betragtet som et matematisk objekt, men senere gav den væsentlige bidrag til strengteori og teorien om sløjfekvantetyngdekraften .

At få glæde af manipulation af tal og symboler kræver en vis involvering i forfølgelsen af ​​matematik, så ethvert teknologisk samfund, der bruger dette ekstremt nyttige værktøj, opdager uundgåeligt dets æstetiske aspekt. Passiv iagttagelse udefra giver ikke mulighed for at værdsætte den fulde kraft af matematisk skønhed, da modtagerne ikke er publikum eller beskuer i deres klassiske forstand [11] . Bertrand Russell kaldte matematikkens skønhed barsk.

Manifestationer af skønhed i matematik

Francis Hutcheson , i An Inquiry into the Origin of Our Ideas of Beauty and Virtue in Two Treatises (1725), skelnede mellem følgende kendetegn ved matematikkens æstetiske skønhed:

Mulige forklaringer på skønheden ved matematik

Pal Erdős mente, at når løsningen på et problem var korrekt, men det forekom ham grimt, ikke elegant og kortfattet nok, sagde han normalt: "Godt, men lad os se efter bevis fra bogen" (det vil sige fra idealet, Platonisk samling af alle matematiske resultater, kendte og ukendte ) [13] . Alt er således skrevet i bogen, og matematikere læser den kun. Erdős' tilhængere Martin Aigner og Günther Ziegler udgav en bog [14] , som gennemgik tre genoptryk på fem år og blev oversat til flere sprog, herunder russisk.

Skønhed og filosofi

Nogle matematikere er af den opfattelse, at resultaterne af deres videnskab mere med rette kan kaldes ikke en opfindelse, men en opdagelse, som i sin betydning er tættere på at finde:

Du finder ikke en opdagelsesrejsende, en digter, en kunstner, en musiker, der ikke siger, at han fandt sin opdagelse, digt eller maleri klar - at de kom udefra, og ikke er skabt af ham bevidst indefra.

Originaltekst  (engelsk)[ Visskjule] Der er ingen videnskabelig opdager, ingen digter, ingen maler, ingen musiker, der ikke vil fortælle dig, at han fandt klar til sin opdagelse eller digt eller billede - at det kom til ham udefra, og at han ikke bevidst skabte det indefra . — William Kingston Clifford , fra et foredrag ved Royal Institution om "Nogle betingelser for udvikling af tanker"

Derudover mener matematikere, der har et lignende synspunkt, at detaljerede og nøjagtige resultater af matematik med rette kan betragtes som sande, uanset strukturen af ​​det univers , vi lever i. For eksempel argumenterer de for, at teorien om naturlige tal er begrundet på en sådan måde, at den ikke grundlæggende kræver en bestemt betragtningskontekst. De mest radikale af dem tilskriver den matematiske skønhed absolut sandhed og drager derved mod mystik.

Pythagoræerne troede på tallenes bogstavelige virkelighed. Derfor blev opdagelsen af ​​irrationelle tal så meget desto mere overraskende for dem, da muligheden for et forhold mellem to naturlige tal af dem blev opfattet som bevis på naturens ufuldkommenhed og var uudsigelig - alogos (det pythagoræiske verdensbillede sagde ikke noget om grænserne for uendelige sekvenser af forholdet mellem naturlige tal). Fra et moderne synspunkt kan en sådan mystisk tilgang, der antog enhed og uadskillelighed af tal og geometriske objekter, kaldes numerologi .

I Platons filosofi var der to verdener: den verden af ​​ting, vi lever i, og den verden af ​​ideer, der er nødvendige for den virkelige verdens eksistens. Idéverdenen omfattede også matematiske ideer.

Den ungarske matematiker Pal Erdős troede på eksistensen af ​​en imaginær bog, hvori Gud nedskrev alle de smukkeste matematiske beviser. Og da Erdős ville udtrykke beundring for beviset, udbrød han: "Åh, det er fra bogen!"

Den franske filosof Alain Badiou fra det 20. århundrede hævder, at ontologi er af matematisk natur, da matematik kan opfatte en mangfoldighed som sådan, og væren er en permanent pluralitet.

Meget ofte har naturfilosoffer og andre videnskabsmænd, der i vid udstrækning benytter sig af den matematiske metode, draget ubegrundede konklusioner om sammenhængen mellem skønhed og sandhed, som efterfølgende viser sig at være fejlagtige. For eksempel troede Johannes Kepler på et tidspunkt af sit liv, at proportionerne af kredsløbene for planeterne i solsystemet kendt på hans tid blev fastlagt af Gud i overensstemmelse med det koncentriske arrangement af de fem platoniske faste stoffer på en sådan måde, at hver af banerne var samtidigt placeret på en kugle beskrevet af et polyeder og indskrevet Next.

Skønhed og matematisk informationsteori

I 1970'erne analyserede Abram Mol og Frieder Nake forholdet mellem skønhed, informationsbehandling og informationsteori. I 1990'erne formulerede Jurgen Schmidhuber en matematisk teori, der afhænger af iagttageren og hans subjektive vision om skønhed, baseret på algoritmisk informationsteori: de smukkeste objekter blandt dem, der virker sammenlignelige med emnet, har korte algoritmiske beskrivelser, (dvs. Kolmogorov-kompleksitet ) , og referer til, hvad observatøren allerede ved. Samtidig trækker Schmidhuber en klar grænse mellem det smukke og det interessante. Sidstnævnte svarer til den første afledte af subjektivt opfattet skønhed: Iagttageren forsøger konstant at øge forudsigeligheden og komprimere de observerede data og afsløre sådanne mønstre som gentagelse og symmetri, fraktal selvlighed. Men når observatørens læringsproces tillader bedre datakomprimering, dvs. den aktuelle observation kan beskrives i færre bits end den foregående, og tidsrummet, hvori observatøren er interesseret, svarer til komprimeringssuccesraten og er proportional med observatørens egen belønning for sin nysgerrighed, Vi taler om interessant, ikke smuk.

Se også

Noter

  1. ↑ Russell, Bertrand . Studiet af matematik // Mystik og logik: og andre essays . - Longman , 1919. - S. 60.
  2. ↑ Elisha Scott Loomis samlede over 360 beviser i sin bog The Pythagorean Hypothesis ( ISBN 0-873-53036-5 ).
  3. ↑ Rota (1997), Matematisk skønheds fænomenologi , s. 173 
  4. ↑ Gallagher, James . Matematik: Hvorfor hjernen ser matematik som skønhed  (13. februar 2014). Arkiveret fra originalen den 28. januar 2021. Hentet 13. februar 2014.
  5. ↑ Feynman, Richard P. Feynman-forelæsningerne om fysik. - Addison-Wesley , 1977. - T. I. - S. 22-10. — ISBN 0-201-02010-6 .
  6. ↑ Hardy, GH 18 // A Mathematicians Apology.
  7. ↑ Rota (1997), Matematisk skønheds fænomenologi , s. 172 
  8. ↑ Monastyrsky (2001), Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal 
  9. ↑ Lang, s. 3
  10. ↑ Chandrasekhar, s. 148
  11. ↑ Phillips, George. Forord // Matematik er ikke en tilskuersport. - Springer Science + Business Media , 2005. - ISBN 0-387-25528-1 .
  12. ↑ L. I. Lurie . Matematisk uddannelse inden for æstetisk erfaring // Uddannelse og videnskab (Nyheder fra Ural-grenen af ​​det russiske uddannelsesakademi). - 2006. - Nr. 6 (42). - Fra 120.
  13. ↑ N er et nummer (film om Erdős med russiske undertekster . Hentet 2. oktober 2017. Arkiveret 22. januar 2021.
  14. ↑ Aigner M., Ziegler G. Beviser fra bogen. Det bedste bevis fra Euklids tid til i dag. M.: Mir, 2006. 256 s., ill. ISBN 5-03-003690-3

Litteratur

Links