Ligesom andre kunstarter bruger arkitektur matematik . Selvom vi frasiger behovet for dette for at designe en bygning, kan arkitekter ikke undvære viden om geometri , når de skal bestemme en strukturs rumlige form. Siden Pythagoreanismens tid (VI århundrede f.Kr.), for at skabe arkitektoniske former, var det nødvendigt at følge reglerne for harmoni , det vil sige, at design af bygninger og det omgivende landskab fandt sted i overensstemmelse med matematiske og æstetiske principper sammen med religiøse principper. . Elementer, der ligner matematiske objekter , bruges i bygningsbeklædning, såsom brolægning . Matematiske beregninger er også nødvendige for at nå miljømål, såsom at minimere vindhastigheden nær bunden af høje bygninger.
I det gamle Egypten , det antikke Grækenland , Indien og den islamiske verden blev strukturer, herunder pyramider , templer , moskeer , paladser og mausoleer designet med specifikke proportioner af religiøse årsager [3] [4] . I islamisk arkitektur blev geometriske former og geometriske mosaikornamenter brugt til at beklæde bygninger, både inde og ude [5] [6] . Nogle hinduistiske paladser har fraktallignende strukturer, hvor delen er som helheden, der repræsenterer uendelighed i hinduistisk kosmologi [2] [7] . I kinesisk arkitektur er tulou ( Fujian-provinsen ) runde strukturer af kollektiv beskyttelse. I det 21. århundrede begyndte matematiske ornamenter igen at blive brugt til at beklæde offentlige bygninger [8] [9] [10] [11] .
I renæssancens arkitektur spillede symmetri og proportioner en vigtig rolle og blev fremhævet af datidens arkitekter. Dette kan ses i værker af Leon Battista Alberti , Sebastiano Serlio og Andrea Palladio , som alle var påvirket af Vitruvius ' afhandling Ti bøger om arkitektur . I slutningen af det 19. århundrede indledte Vladimir Shukhov i Rusland og Antonio Gaudí i Spanien brugen af hyperboloide konstruktioner [12] [13] [14] . For eksempel, når han designet Sagrada Familia , brugte Gaudi hyperbolske paraboloider , mosaikker , buer med en omvendt kædelinje , katenoider , helicoider og regerede overflader [12] [13] [14] . I det 20. århundrede gjorde arkitektonisk modernisme og dekonstruktivisme udstrakt brug af geometriske former for at opnå planlagte visuelle effekter [15] [16] . Begrebet "minimum overflade" blev brugt i udformningen af kuplen af Denver International Airport i form af bjergtoppe eller telte. Richard Buckminster Fuller var banebrydende for brugen af forstærkede tyndvæggede skaller kendt som geodætiske kupler [17] .
Arkitekterne Michael Oswald og Kim Williams, i deres analyse af forholdet mellem arkitektur og matematik , bemærkede, at de to felter generelt forstås som løst forbundne, da arkitektur refererer til den praktiske konstruktion af bygninger, mens matematik er ren teori, hvor man studerer tal og andet abstrakt . genstande [18] . Men, som de hævder, er disse to områder stærkt forbundet, og de har været forbundet siden antikken . I det gamle Rom beskrev Vitruvius arkitekten som en, der kendte nok andre discipliner, hovedsageligt geometri , til at give ham mulighed for at kontrollere dygtige håndværkere inden for andre områder såsom murere og tømrere [19] . Det samme gælder for middelalderen , hvor kandidater fra højere institutioner blev undervist i aritmetik , geometri og æstetik samt grundlæggende kurser i grammatik, logik og retorik ( trivium ) i elegante klasseværelser lavet af bygherrer, der overvågede mange af arbejderne. Bygherrer på toppen af deres fag fik titlen arkitekt eller ingeniør. Under renæssancen blev quadrivium af aritmetik, geometri, musik og astronomi et ekstra program, som folk fra renæssancen , såsom Leon Battista Alberti , skulle kende . Ligeledes i England var Sir Christopher Wren , i dag kendt som arkitekt, oprindeligt en berømt astronom [20] .
William og Ostwald, i betragtning af det sene samspil mellem matematik og arkitektur siden 1500, identificerede ifølge den tyske sociolog Theodor Adornos tilgang tre tendenser inden for arkitektur, nemlig revolutionære , der tilbyder helt nye ideer, reaktionære , modstandsdygtige mod innovation og kunstnere, der genopliver traditioner faktisk går baglæns [21] . Det er blevet hævdet, at arkitekter undgik brugen af matematik til inspiration under en genopblussen af tradition. Dette kan forklare, hvorfor arkitektur under genoplivningen af traditioner, såsom den nygotiske i 1800-tallets England, kun havde ringe forbindelse med matematik. De bemærkede også, at der i bevægelser som italiensk manerisme fra omkring 1520 til 1580, eller barok- og palladianske perioder i det 17. århundrede, var lidt opmærksomhed på matematik. I modsætning hertil kasserede de revolutionære bevægelser i de tidlige år af det 20. århundrede, såsom futurisme og konstruktivisme , aktivt gamle ideer, brugte matematik og førte til modernisme i arkitekturen. I slutningen af det 20. århundrede blev fraktal geometri hurtigt taget op af arkitekter, ligesom ikke -periodiske tesselleringer , som gjorde det muligt at skabe interessante og attraktive bygningsbeklædninger [8] .
Arkitekter bruger matematik af flere grunde, selv når man ser bort fra behovet for at bruge matematik i bygningsdesign [22] . For det første bruger de geometri til at definere en bygnings rumlige form [23] . For det andet bruger de matematik til at designe former, der anses for at være smukke eller harmoniske [24] . Siden pythagoreanismens tid med deres religiøse talfilosofi [25] har arkitekterne fra det antikke Grækenland , det antikke Rom , den islamiske verden og den italienske renæssance valgt proportionerne af bygningsmiljøet - bygninger og deres omgivelser - alt efter æstetisk og religiøst principper [26] [27] [28] [5] . For det tredje kan de bruge matematiske objekter såsom tesseller til at dekorere bygninger [29] [30] . For det fjerde kan de bruge matematik i form af computersimuleringer til at nå miljømål, såsom at minimere hvirvler, når de går langs bunden af høje bygninger [1] .
Den indflydelsesrige antikke romerske arkitekt Vitruvius hævdede, at planlægningen af en bygning, såsom et tempel , afhænger af to kvaliteter: proportion og symmetri . Proportioner er ansvarlige for det harmoniske forhold mellem hver del af bygningen og alle de andre. Symmetri som forstået af Vitruvius betyder noget tættere på modularitet end at spejle symmetri , da det refererer til samlingen af (modulære) dele til en enkelt struktur. Basilikaen i Fano bruger forhold mellem små heltal, især trekantede tal (1, 3, 6, 10, …) som proportioner af strukturen af (vitruvianske) moduler [a] . Basilikaens bredde er således relateret til længden som 1:2, skibene omkring den har samme højde som bredden, 1:1, tykkelsen af søjlerne er fem fod , og højden er halvtreds fod, 1 :10 [26] .
Vitruvius navngav tre egenskaber, der kræves af arkitektur i sin afhandling Ti bøger om arkitektur (1400-tallet f.Kr.) - styrke, praktisk og behageligt udseende. Disse egenskaber kan bruges som kategorier til at klassificere de måder, hvorpå matematik bruges i arkitektur. Styrke omfatter brugen af matematik til at sikre bygningers stabilitet, da matematiske værktøjer bruges til at designe og understøtte strukturer, for eksempel for at sikre stabilitet og kvalitetsmodellering. Praktisk opnås til dels ved effektiv anvendelse af matematik, begrundelse og analyse af rumlige og andre sammenhænge i design. En behagelig udsigt er en egenskab ved bygningen, som er legemliggørelsen af matematiske relationer i bygningen. Det omfatter æstetik, sensuelle og intellektuelle egenskaber [32] .
PantheonDet uskadte Pantheon i Rom illustrerer den klassiske struktur af romerske bygninger, proportioner og dekorationer. Hovedstrukturen er en kuppel, hvis højeste punkt blev efterladt åbent som en rund oculus , der tillod lys at passere igennem. Pantheon fra facaden er udstyret med en søjlegang med en trekantet fronton. Højden af oculus og diameteren af den inderste cirkel (43,3 meter) passer således, at den indre del passer helt ind i terningen [33] . Disse dimensioner vil være mere forståelige, hvis du er opmærksom på listen over gamle romerske enheder (kuplen har en diameter på 150 romerske fod [b] ). Oculus er 30 romerske fod i diameter, og døråbningen er 40 romerske fod høj . Pantheon er fortsat verdens største uarmerede betonhvælving [35] .
RevivalDen første renæssanceafhandling om arkitektur var Leon Battista Albertis (1450) afhandling On the Art of Building (On the Art of Building). Afhandlingen blev udgivet i 1485 og var den første trykte bog om arkitektur. Den var delvist baseret på Vitruvius' ti bøger om arkitektur og pythagoræisk aritmetik. Alberti starter med en terning og udleder proportioner fra den. Således giver diagonalerne på en flade et forhold på 1:√2, og diameteren af en kugle omkranset omkring en terning har et forhold på 1:√3 [36] [37] . Alberto beskriver også Filippo Brunelleschis opdagelse af lineært perspektiv , udviklet til at planlægge bygninger, der ser ret proportionale ud, når de ses fra en behagelig afstand [5] .
Den næste vigtige tekst var Sebastian Serlios bog Regole generali d'architettura ( Grundlæggende regler for arkitektur ). Det første bind af bogen blev udgivet i Venedig i 1537. Bindet fra 1545 (bog 1 og 2) dækker geometri og perspektiv . De to metoder til at konstruere Serlios perspektiv var fejlbehæftede, men dette stoppede ikke den udbredte brug af bogen [39] .
I 1570 udgav Andrea Palladio den autoritative I quattro libri dell'architettura (Fire bøger om arkitektur) i Venedig . Disse bøger blev bredt distribueret og fremmede ideerne fra den italienske renæssance i Europa , med bistand fra tilhængere af ideerne, såsom den engelske diplomat Henry Wotton, der udgav afhandlingen Elements of Architecture i 1624 [40] . Proportionerne af hvert rum i palæet blev beregnet ved hjælp af simple matematiske forhold som 3:4 og 4:5, og de forskellige rum i huset var forbundet med disse forhold. Tidlige arkitekter brugte disse formler til at afbalancere facadens symmetri . Palladios projekter var dog som regel kvadratiske palæer [41] . Palladio tillod en række relationer i Quattro libri , der angiver [42] [43] :
Der er syv typer værelser, de smukkeste og velproportionerede. De er runde, selvom de er sjældne, firkantede, eller deres længde er lig med diagonalen af kvadratet af bredden, en tredjedel brede, en halv brede og to tredjedele brede og to brede. [c]
I 1615 udgav Vincenzo Scamozzi L'Idea dell'Architettura Universale (Ideen om en universel arkitektur) [44] . Han forsøgte at korrelere planlægningen af byer og bygninger med ideerne fra Vitruvius , pythagoræerne og de nyere ideer fra Palladio [45] .
Det nittende århundredeHyperboloide strukturer begyndte at blive brugt fra slutningen af det 19. århundrede af Vladimir Shukhov til master, fyrtårne og køletårne. På trods af den økonomiske brug af materiale i produktionen er Shukhovs designs ret holdbare. Shukhovs første hyperboloide tårn blev præsenteret på en udstilling i Nizhny Novgorod i 1896 [46] [47] [48] .
Det tyvende århundredeBevægelsen i det tidlige 20. århundrede " arkitektonisk modernisme ", som opstod i russisk [d] konstruktivisme [49] , brugte euklidisk geometri. I bevægelsen af De Stijl Society of Artists ses det horisontale og det vertikale som en del af universet. Arkitektoniske former består i at placere disse to retninger sammen ved hjælp af tagplaner, vægplaner og balkoner, der enten overlapper eller skærer hinanden, som i Schröder-huset , bygget i 1924 af Gerrit Rietveld [50] .
Modernistiske arkitekter kunne frit bruge kurver såvel som fly. Londons metrostation ved Charles Holdens Grove fra 1933 har en rund billethal i mursten med et fladt betongulv . I 1938 lånte Bauhaus -kunstneren Laszlo Moholy-Nagy Raoul Heinrich Fransés syv biotekniske elementer : krystal, kugle , kegle , plan , (kubisk) bånd, (cylindrisk) stang og spiral som grundlæggende byggesten. arkitektoniske blokke inspireret af natur [52] [53] .
Le Corbusier foreslog en antropometrisk skala af proportioner i modulor arkitektur , et system af proportioner baseret på højden af en person [54] . Kirken Notre-Dame-du-Haut ( Le Corbusier , 1955) bruger kurver i fri form, der ikke er beskrevet af matematiske formler [e] . Konstruktionen har kun store skalaer - der er intet hierarki af mindre skalaer, og derfor ingen fraktale dimensioner. Det samme gælder for andre berømte bygninger i det 20. århundrede, såsom Sydney Opera House , Denver International Airport og Guggenheim Museum Bilbao [15] .
Meningerne om det 21. århundredes arkitektur De 90 førende arkitekter, der deltog i 2010 World Architecture Survey er ekstremt delte. Guggenheim Museum Bilbao af Frank Gehry anses for at være det bedste .
Terminalbygningen til Denver International Airport, bygget i 1995, har et stoftag understøttet i en minimal overfladetilstand (dvs. dens gennemsnitlige krumning er nul) af stålkabler. Bygningen minder om de sneklædte tinder i Colorado og tipi - teltene fra de indfødte folk i USA (ofte forkert kaldet wigwams) [56] .
Arkitekt Richard Buckminster Fuller blev berømt for at bygge stærke , tyndvæggede strukturer , bedre kendt som geodætiske kupler. Biosphere Dome i Montreal er 61 meter høj og 76 meter i diameter [17] .
Operahuset i Sydney har et tag bestående af skyhøje hvide hvælvinger, der minder om et skibs sejl. For at gøre det muligt at bygge fra standardkomponenter er hvælvinger opbygget af trekantede sektioner af en sfærisk skal med samme radius. Dette krævede at opretholde den samme krumning i enhver retning [57] .
Det sene 20. århundredes bevægelse af dekonstruktivisme skaber et bevidst rod, som Nikos Salingaros i sin bog A Theory of Architecture kalder tilfældige former [58] med høj kompleksitet [59] . Rod skabes af ikke-parallelle vægge, overlejrede gitre og komplekse todimensionelle overflader, som i Walt Disney Concert Hall (arkitekten Frank Gehry ) og Guggenheim-museet i Bilbao [60] [61] . Indtil det 20. århundrede var studerende på arkitektoniske institutter forpligtet til at studere det grundlæggende i matematik. Salingaros hævder, at den første "groft forenklede, politisk motiverede" modernisme og senere "anti-videnskabelige" dekonstruktivisme effektivt adskilte arkitektur fra matematik. Han er overbevist om, at denne "afskaffelse af matematiske værdier" er fatal, eftersom den "allestedsnærværende æstetik" af ikke-matematisk arkitektur fører folk "til afvisningen af matematisk information i byens miljø." Han argumenterer for, at dette har en negativ effekt på samfundet [15] .
New Materiality — Walter Gropius Bauhaus , Dessau , 1925
Cylinder - Londons undergrundsstation ved Arnos Grove Charles Holden , 1933
Geodesic Dome - Biosphere in Montreal af Richard Buckminster Fuller , 1967
Uniform Curvature - Sydney Opera House , 1973
Dekonstruktivisme - Walt Disney Concert Hall , Los Angeles, 2003
Pyramiderne i det gamle Egypten var begravelser bygget med bevidst valgte proportioner, men med hvad præcist - er stadig ikke klart. Den forreste vinkel er omkring 51°85' og forholdet mellem den skrå højde og midten af basen er 1,619, hvilket er 1% mindre end det gyldne snit . Hvis dette var udregningsmetoden, ville den følge brugen af Keplers trekant (vinkel 51°49') [62] [63] . Det er dog mere sandsynligt, at pyramidens hældning er valgt ud fra trekanten 3-4-5 (vinkel 53°8'), kendt fra Ahmes' papyrus (1650-1550 f.Kr.), eller fra en trekant, hvis grundforhold til hypotenusen er 1:4/π (vinkel 51°50') [64] .
Ofte angivet er brugen af 3-4-5 trekanten til at konstruere rette vinkler, for eksempel til at planlægge bunden af pyramiden, og den underforståede viden om Pythagoras sætning [3] . Dette blev først foreslået af historikeren Moritz Benedikt Kantor i 1882 [3] . Det er kendt, at der netop blev bygget rette vinkler i det gamle Egypten [3] og datidens landmålere brugte reb med knob til at måle [3] . Selv Plutark skrev i essayet Om Isis og Osiris (omkring 100 e.Kr.), at egypterne beundrede trekanten 3-4-5 [3] . Berlin-papyrusen fra Mellemriget (før 1700 f.Kr.) siger, at "et kvadrat med et areal på 100 har samme areal som to mindre kvadrater. Siden af den ene er lig med ½ + ¼ af siden af den anden” [4] . Matematisk historiker Roger L. Cook bemærkede, "det er svært at forestille sig, at nogen er interesseret i sådanne ting og ikke kender Pythagoras sætning" [3] . Cook bemærkede dog, at ingen egyptisk tekst før 300 f.Kr. nævner at bruge sætningen til at finde siderne i en trekant, og der er en nemmere måde at konstruere en ret vinkel på. Cooke konkluderer, at Cantors forslag forbliver tvivlsomt - han foreslog, at de gamle egyptere kan have kendt Pythagoras sætning, men "der er intet bevis for, at de brugte det til at konstruere rette vinkler" [3] .
Det gamle IndienVidenskaben om Vastu shastra , arkitekturen og byplanlægningsreglerne i det gamle Indien , brugte en symmetrisk tegning kaldet en mandala . Komplekse beregninger blev brugt til at bestemme dimensionerne af bygninger og deres komponenter. Planlægningen involverede integration af arkitektur med naturen, separate dele af strukturen og gamle overbevisninger ved hjælp af geometriske ornamenter ( yantras ), symmetri og placering langs retninger [65] [66] . Imidlertid kan tidlige bygherrer være stødt på matematiske proportioner ved et uheld. Matematikeren Georges Ifrach bemærkede, at simple "tricks" med et reb og en pæl kunne bruges til at markere geometriske objekter som ellipser og rette vinkler [5] [67] .
Fraktalers matematik blev brugt til at få bygninger til at have en universel appel, da de gav observatøren en fornemmelse af skala fra enhver afstand. For eksempel i de høje gopurams af hinduistiske templer, såsom Virupaksha-templet i Hampi , bygget i det 17. århundrede, og Kandarya Mahadeva-templet i Khajuraho-gruppen af templer , hvor delene og helheden har det samme egenskaber med en fraktal dimension fra 1,7 op til 1,8. En gruppe af mindre tårne ( shikhara ) omkring et højere centralt tårn, som repræsenterer det hellige bjerg Kailash , bopæl for guddommen Shiva , afbildet som en endeløs gentagelse af den hinduistiske kosmologis universer [2] [7] .
Meenakshi-templet i byen Madurai er et stort kompleks med mange grave og gader, der udstråler koncentrisk fra templet ifølge Shastras . De fire porte er høje tårne ( gopurams ) med en repeterende fraktallignende struktur. Områderne omkring hver helligdom er rektangulære og omgivet af høje stenmure [68] .
Det antikke GrækenlandPythagoras (569-475 f.Kr.) og hans tilhængere, pythagoræerne, mente, at "alt er et tal". De observerede harmonien produceret af lyd med små heltals frekvensforhold og argumenterede for, at bygninger også skulle planlægges med de samme forhold. Det græske ord symmetri betød harmonien af arkitektoniske former med hensyn til nøjagtige forhold mellem størrelser fra små detaljer til hele bygningen [5] .
Parthenon er 69,5 meter langt, 30,9 meter bredt og 13,7 meter højt til tagskægget. Dette giver et forhold mellem bredde og længde på 4:9, og det samme forhold mellem højde og bredde. Lægger vi det hele sammen, får vi højde: bredde: længde = 16:36:81, 4 2 :6 2 :9 2 . Et 4:9 rektangel kan konstrueres som tre på hinanden følgende rektangler med et billedformat på 3:4. Halvdelen af hvert rektangel viser sig så at være den velkendte 3:4:5 retvinklede trekant, som gjorde det muligt at tjekke vinkler og sider med et passende knyttet reb. På samme måde har det indre område ( naos ) en andel på 4:9 (21,44 meter bred og 48,3 meter lang). Forholdet mellem diameteren af de ydre søjler (1.905 meter) og afstanden mellem deres centre (4.293 meter) er også 4:9 [5] .
Parthenon anses af forfattere som John Julius Narwich for at være "det mest perfekte doriske tempel nogensinde bygget" [69] . Templets udførlige arkitektoniske detaljer omfatter "den fine overensstemmelse mellem stylobatens krumning , den glatte variation i tykkelsen af cellavæggene og entasisen af stokkene" [69] . Entasis er en subtil reduktion af søjlernes diameter. Stylobaten er platformen, som søjlerne står på. Ligesom andre klassiske græske templer [70] har platformen en let parabolsk krumning (bule) for at dræne regnvand og styrke bygningen i tilfælde af et jordskælv. På grund af dette ville søjlerne falde udad, men i virkeligheden vippes lidt indad, så hvis de forlænges opad, vil de mødes en kilometer over bygningen. Da de alle har samme højde, afspejles krumningen af den ydre kant af stylobaten i architraven og taget over den: "alt følger reglen om at bygge langs subtile kurver" [71] .
Det gyldne snit har været kendt siden 300 f.Kr., hvor Euklid beskrev metoden til geometrisk konstruktion [72] . Han argumenterede for, at det gyldne snit blev brugt både i planlægningen af Parthenon og andre gamle græske bygninger og i skulpturer, malerier og vaser [73] . Nyere forfattere som Nikos Salingaros tvivler dog på disse påstande [74] . Eksperimenter udført af datalogen George Markowski formåede ikke at finde nogen forbindelse med det gyldne rektangel [62] .
Islamisk arkitekturDen islamiske kunsthistoriker Antonio Fernandez-Puertas foreslog, at Alhambras arkitektoniske og parkensemble ligesom Córdoba-katedralmoskeen i Córdoba [75] blev designet med den spansk-muslimske fod (eller kodo , omkring 0,62 meter). I slottets løvegård er proportionerne radikale . Gården er et rektangel med siderne 1 og √2 og har ifølge Pythagoras sætning en diagonal √3. Serien fortsætter med √4 (giver et forhold på 1:2), √5 og så videre. Dekorative mønstre har lignende proportioner, √2 danner firkanter inden for cirkler og ottekantede stjerner, √3 danner sekskantede stjerner. Der er ingen beviser for brugen af det gyldne snit i designet af Alhambra [27] [76] . The Lion's Courtyard er omgivet af Hall of the Two Søstre og Hall of the Abenserrachs. Fra midten af disse to haller og de fire indre hjørner af løvens gård kan der tegnes en regulær sekskant [77] .
Selimiye-moskeen i byen Edirne , Tyrkiet, blev bygget af Mimar Sinan på en sådan måde, at mihrab kan ses fra ethvert punkt inde i bygningen. Det meget store indre rum er formet som en ottekant dannet af 8 enorme søjler og dækket af en rund kuppel 31,25 meter i diameter og 43 meter høj. Oktagonen er dannet inde i en firkant med fire halvkupler og fire usædvanligt høje (83 meter) minareter. Bygningens plan ligner en cirkel inde i en ottekant inde i en firkant [78] .
Mughal arkitekturMughal-arkitektur , som set i den forladte kejserby Fatehpur Sikri og Taj Mahal- komplekset , har et karakteristisk matematisk arrangement og en stærk æstetik baseret på symmetri og harmoni [28] [79] .
Taj Mahal er et eksempel på mongolsk arkitektur, der både repræsenterer paradis [80] og viser med sin størrelse, symmetri og dyre udsmykning den mongolske kejser Shah Jahans magt . Det hvide marmormausoleum , dekoreret med florentinske mosaikker , hovedporten, ensemblet af bygninger, domstole og gangbroer danner et enkelt hierarkisk design. Bygninger, herunder en moské , lavet af rød sandsten i vest og en næsten identisk bygning, Jawab, i øst, tjener til at understøtte kompleksets bilaterale symmetri. Charbakh (have i fire dele) har fire dele, der symboliserer paradisets fire floder, som afspejler mausoleet i vandet. Hver del er opdelt i 16 parterre [81] .
Taj Mahal - komplekset blev tegnet på et gitter opdelt i mindre gitter. Bredden af komplekset er 374 mongolske yards eller zir [f] . Hoveddelen er tre kvadrater på 374 yards. De blev opdelt på steder med basarer og karavanserais i moduler på 17 zir. Haven og terrasserne er opdelt i moduler af 23 zir, 368 zir bred (16 x 23). Mausoleet, moskeen og gæstehuset er tegnet på et gitter af 7 zir. Koch og Barro bemærkede, at hvis en ottekant, der bruges gentagne gange i et kompleks, har sider på 7 enheder, så har den en bredde på 17 enheder [g] , hvilket kan hjælpe med at forklare valget af forhold i komplekset [82] .
Kristen arkitekturHagia Sophia i byen Byzans (nu Istanbul ), bygget i 537 (og genopbygget to gange), var i tusind år [h] den største katedral. Han stimulerede opførelsen af mange senere bygninger, herunder Sultanahmet-moskeen og andre moskeer i byen. Byzantinsk arkitektur omfatter en veranda toppet af en rund kuppel og to halve kupler med samme diameter (31 meter), med fem mindre halve kupler, der danner en apsis og fire runde hjørner af et rummeligt rektangulært indre [83] . Dette blev fortolket af middelalderlige arkitekter som en repræsentation af det jordiske under (kvadratisk base) og den hellige himmel ovenover (en sfærisk kuppel rettet opad) [84] . Kejser Justinian I brugte to geometre, Isidore af Milet og Anthemius af Thrallos , som arkitekter. Isidore af Milet indsamlede Arkimedes ' værker om stereometri , som havde stor indflydelse på ham [5] [85] .
Betydningen af vanddåb i kristendommen blev afspejlet i dåbskapellets arkitektur . Det ældste, Lateran-dåbskapellet i Rom, bygget i 440 [86] , satte trenden for ottekantede dåbskirker. Fonten inde i disse strukturer var ofte ottekantet, selvom det største italienske dåbskapelle i Pisa , bygget mellem 1152 og 1363, er rund med en ottekantet tank. Dåbskapellet har en højde på 54,86 meter med en diameter på 34,13 meter (forhold 8:5) [87] . Ambrosius af Milano skrev, at kampvognene og dåbskaperne havde en ottekantet form, "fordi på den ottende dag [i] var der en himmelfart" [88] [89] . Aurelius Augustin beskriver på samme måde otte dage som "en evighed ... helliget ved Kristi opstandelse " [89] [90] . Det ottekantede dåbskapellet San Giovanni, Firenze , bygget mellem 1059 og 1128, er en af de ældste bygninger i byen og et af de sidste eksempler på den gamle tradition. Baptisteriet havde en dybtgående indflydelse på florentinske arkitekter, og æraens største arkitekter, herunder Francesco Talenti , Alberti og Filippo Brunelleschi , brugte det som en model for klassisk arkitektur .
Tallet fem blev brugt "entusiastisk" [92] i kirken St. John Nepomuk (1721) i byen Zelena gora nær Zdar nad Sazavou i Tjekkiet, designet af Jan Blaža Santini-Aichl . Skibet har form som en cirkel, omgivet af fem par søjler og fem ovale kupler med spidse apsis . Kirken har fem porte, fem kapeller , fem altre og fem stjerner. Legenden hævder, at da Johannes af Nepomuk blev martyrdød, dukkede fem stjerner op over hans hoved [92] [93] . Den femdobbelte arkitektur kan også symbolisere Kristi fem sår og de fem bogstaver "Tacui" (latin: "Jeg tier" [om skriftestolens hemmeligheder ]) [94] .
Antonio Gaudí brugte en bred vifte af geometriske strukturer i Sagrada Familia , Barcelona , stiftet i 1882 (og ikke afsluttet i 2015). De omfatter hyperbolske paraboloider og revolutionshyperboloider , [14] tesseller, buer med et omrids af en baglæns køreledning , katenoider , helicoider og regerede overflader . Geometrivariationer kombineres på forskellige måder rundt om i kirken . For eksempel, på facaden af Kristi Passion af Sagrada Familia, samlede Gaudi sten "grene" i form af hyperbolske paraboloider, der rører ved hjørnerne uden konvergens til et punkt. Til modsætning hertil har søjlegangen hyperbolske paraboloide overflader, der glat forbinder andre strukturer for at danne afbrudte overflader. Gaudí brugte naturlige mønstre , som er matematiske i sig selv, med søjler , der ligner træer og overliggere lavet af basalt , naturligt delt (når den smeltede lava afkøles) i sekskantede søjler [12] [13] [14] .
Cathedral of the Assumption of Saint Mary i San Francisco i 1971 har et gavltag , bestående af otte segmenter af hyperbolske paraboloider, arrangeret således, at de nederste vandrette sektioner af taget er firkanter, og de øverste sektioner er kors . Den firkantede bygning har en sidelængde på 77,7 meter og en højde på 57,9 meter [95] . The Cathedral of Brazil af Oscar Niemeyer (1970) bruger hyperboloidstrukturen på en anden måde. Katedralen er bygget af 16 identiske betonbjælker, der hver vejer 90 tons, arrangeret i en cirkel for at danne en omdrejningshyperboloid. Hvide stråler skaber en form som hænder, der beder til himlen [96] [97] [98] [99] .
Nogle middelalderkirker i Skandinavien er runde , herunder fire kirker på den danske ø Bornholm . En af de ældste, Esterlar-kirken fra 1160 har et rundt skib omkring de massive stensøjler, der omgiver bygningen, gennemboret af buer og dekoreret med fresker. Den cirkulære struktur har tre etager. Kirken var uden tvivl befæstet, og den øverste etage fungerede som forsvar [100] [101]
Skibshvælvinger i Hagia Sophia , Istanbul, 562
Det ottekantede dåbskapellet i San Giovanni , Firenze, afsluttet 1128
Femdobbelt symmetri: St. John Nepomuk-kirken af arkitekten Jan Santini i Zelena Gora, 1721
Facade af Kristi Passion Sagrada Familia arkitekt Antoni Gaudí , Barcelona , stiftet i 1882
Katedralen i Brasilien af arkitekt Oscar Niemeyer , 1970
Cathedral of the Assumption of St. Mary, San Francisco , 1971
Central søjle af Österlar rundkirke i Bornholm , Danmark
Islamiske bygninger er ofte dekoreret med geometriske ornamenter , som normalt bruger matematiske mosaikker dannet af keramiske fliser ( girih , zellige ), som kan være almindelige eller dekoreret med striber [5] . Islamisk design bruger symmetriske figurer såsom stjerner med seks, otte eller multipla af otte vinkler. Nogle af dem er baseret på Salomons segl, en ottekantet stjerne lavet af to firkanter roteret 45 grader i forhold til hinanden [6] . Islamisk design bruger mange af de 17 mulige tapetgrupper . I 1944 viste Edith Müller, at 11 grupper af tapeter blev brugt til udsmykningen af Alhambra- ensemblet , og i 1986 hævdede Branko Grünbaum at have fundet 13 grupper af tapeter i Alhambra, mens han insisterede på, at de resterende 4 grupper ikke fandtes nogen steder i Alhambra. Islamiske ornamenter [6] .
I slutningen af det 20. århundrede begyndte nye matematiske konstruktioner, såsom fraktal geometri og aperiodiske tesselleringer, at blive brugt af arkitekter til bygningsbeklædning [8] . I 1913 proklamerede den modernistiske arkitekt Adolf Loz i sin hovedartikel : "Ornament er en forbrydelse" [9] , hvilket påvirkede den arkitektoniske tænkning indtil slutningen af det 20. århundrede. I det 21. århundrede begyndte arkitekter at bruge ornamentik igen , men det 21. århundredes ornamentik er meget anderledes. 2011 Henning Larsen Koncertsal og Konferencecenter i Reykjavik ligner en væg af krystaller og er lavet af store glasblokke [9] . Ravensbourne College London, færdiggjort i 2010, er dækket af 28.000 anodiserede aluminiumsfliser i rød, hvid og brun, der binder runde vinduer i forskellige størrelser. Coveret bruger tre typer fliser - en ligesidet trekant og to uregelmæssige femkanter [10] [11] [j] . Biblioteket i Kanazawa (arkitekterne Kazumi Kudo og Hiroshi Horiba fra Coelacanth K&H Architects) har et dekorativt gitter lavet af små runde glasblokke sat ind i flade betonvægge [9] .
Ravensbourne College , London, 2010
Bibliotek i Kanazawa , Japan, 2011
Soumaya Art Museum , Mexico City, 2011
Befæstningsarkitekturen udviklede sig fra middelalderlige befæstninger , som havde høje stenmure, til et lavt, symmetrisk bastionsystem, der var i stand til at modstå artilleriild , mellem midten af det 15. og midten af det 19. århundrede. Stjerneformens geometri var dikteret af behovet for at forhindre døde zoner, hvor det angribende infanteri kunne tage dækning fra den forsvarende sides ild. Siderne af de udragende punkter dannede en vinkel for at dække hele overfladen med ild og tillod krydsild (fra begge sider) fra hvert fremspringende punkt. Kendte arkitekter, der udviklede en sådan beskyttelse, er Michelangelo , Baldassare Peruzzi , Vincenzo Scamozzi og Sebastien Le Pretre de Vauban [102] [103] .
Arkitektonisk historiker Siegfried Giedion sagde , at befæstninger i form af stjerner havde ideelle byerrenæssancensen afgørende indflydelse på layoutet [104] .
Plan over det 17. århundredes befæstning af byen Coevorden
Palmanova , Italien , venetiansk by med et bastionsystem af fæstningsværker . 1600-tallet
Neuf-Briesach Alsace , en af Vaubans fæstningsværker
I kinesisk arkitektur, der går tilbage til det 16. århundrede , er tulou i Fujian-provinsen cirkulære offentlige beskyttelsesstrukturer, normalt med solide vægge og en enkelt jernbeklædt trædør. Væggene er også beklædt med tage, som er let skråtstillede til yder- og indersiden og danner en ring. Midten af ringen er en åben brolagt gårdhave, ofte med en mur omkring befæstede gallerier op til fem etager høje [105] .
Arkitekter kan også vælge formen på en bygning af miljømæssige årsager [92] . For eksempel er Mary Axe- bygningen af Foster and Partners , London, kendt som "The Gherkin" for sin agurklignende form, en revolution . Bygningen er designet ved hjælp af et computerstøttet designsystem . Bygningens geometri blev valgt ikke kun af æstetiske årsager, men også for at minimere lufthvirvler i bunden af bygningen. I modsætning til den tilsyneladende buede overflade er alle de glasruder, der danner overfladen, flade bortset fra linsen øverst i bygningen. De fleste af panelerne er firkantede, da dette gør det muligt at skære glas med mindre spild [1] .
Den traditionelle yakhchal (isgrav) i Persien fungerer som en fordampningskøler . Over overfladen er strukturen hvælvet, men har underjordisk opbevaring til is og nogle gange mad. Det underjordiske rum og den tykke, varmebestandige konstruktion isolerer rummet året rundt. Det indre rum blev ofte afkølet af vindfangere . Is var tilgængelig om sommeren til tilberedning af den kolde dessert faloude [106] .
Forklaringer
Frode Rønning,. Islamiske mønstre og symmetrigrupper. - University of Exeter, 2009.
| Visualisering af teknisk information | |
|---|---|
| Områder |
|
| Billedtyper _ |
|
| Personligheder |
|
| Beslægtede områder |
|