Flexagon

Flexagoner (fra engelsk  til flex , lat.  flectere - fold, bøj, bøj ​​og græsk ωνος - firkantet) - flade modeller af papirstrimler, der kan foldes og bøjes på en bestemt måde. Når flexagon foldes, bliver overflader, der tidligere var skjult i flexagonstrukturen, synlige, og tidligere synlige overflader går ind.

Mange flexagoner er firkantede (tetraflexagoner) eller sekskantede (hexaflexagoner). Der er dog flexagoner af andre former, herunder rektangulære og ringformede.

For at skelne mellem fly, tal, bogstaver, billedelementer påføres flexagonens sektorer eller blot malet i en bestemt farve.

Historie

Den første flexagon blev opdaget i 1939 af en engelsk studerende , Arthur Stone , som dengang studerede matematik ved Princeton University i USA. Papiret i Letter- størrelsen var for bredt til at passe i A4- formatet . Sten skar papirets kanter af og begyndte at folde forskellige former fra de resulterende strimler, hvoraf den ene viste sig at være en trihexaflexagon [1] [2] .

Snart blev der oprettet en "Flexagon Committee", som ud over Stone omfattede matematikstuderende Brian Tuckerman , fysikstuderende Richard Feynman og matematikprofessor John W. Tukey [2] .

I 1940 havde Feynman og Tukey udviklet teorien om flexagoner og lagde dermed grundlaget for al efterfølgende forskning. Teorien blev ikke offentliggjort i sin helhed, selvom dele af den efterfølgende blev genopdaget [2] . Angrebet på Pearl Harbor suspenderede Flexagon-komiteens arbejde, og krigen spredte hurtigt alle fire grundlæggere i forskellige retninger [3] .

Flexagoner vandt popularitet efter optræden i december 1956-udgaven af ​​Scientific American af Martin Gardners første spalte "Mathematical Games", dedikeret til hexaflexagoner [4] [5] .

Flexagoner er gentagne gange blevet patenteret i form af legetøj, men er ikke blevet kommercialiseret i stor udstrækning [6] [7] .

Typer af flexagoner

En flexagons overflader kan bestå af ligesidede eller ligebenede trekanter, firkanter, femkanter osv. En flexagon kan tillade, at et vist antal overflader vises; nogle af dem kan være unormale (dvs. inkludere sektorer med forskellige numre). En flexagon af en given form med et givet antal planer kan laves ud fra forskellige udviklinger. Desuden kan selv den samme udpakning tillade forskellige foldningsmuligheder [3] [8] .

Navne på flexagoner

Navnene på mange flexagoner er dannet efter princippet "præfiks (antal overflader) + præfiks (form) +" flexagon "". Det første præfiks angiver således, hvor mange overflader flexagonen har, som kan åbne sig før eller siden, og det andet angiver, hvor mange dele hver sådan overflade er opdelt i. For eksempel er en tetratetraflexagon en flexagon med fire overflader, der hver består af fire firkanter; hexahexaflexagon - en flexagon med seks overflader, som hver består af seks trekanter; dodecahexaflexagon - en flexagon med tolv ("dodeca") overflader, som hver består af seks ("hexa") sektorer osv. [9]

Der er dog ikke noget almindeligt accepteret navngivningssystem for flexagoner. Martin Gardner brugte udtrykkene "tetraflexagon" og "hexaflexagon" til at betegne flexagoner bestående af henholdsvis firkanter og trekanter, og overfladerne af en tetraflexagon kunne bestå af fire eller seks kvadrater [3] . I bogen Flexagoner Inside Out betegnes flexagoner ved formen af ​​sektorerne (firkantede, femkantede osv.) [10] [11]

På et senere tidspunkt begyndte flexagoner med henholdsvis 8 og 12 trekantede sektorer at blive kaldt okta- og dodecaflexagoner [8] . Hvis flexagonfladernes sektorer er regulære eller ligebenede trekanter, så er der ud over hexaflexagoner trekantede tetra-, penta-, hepta-, octaflexagoner [11] .

Tidsskrifterne "Science and Life" brugte hovedsageligt IUPAC-præfikssystemet [12] [13] [14] [15] .

Hexaflexagoner

En hexagon er en flexagon formet som en almindelig sekskant. Hver flexagonoverflade består af seks trekantede sektorer.

Der er mange hexaflexagoner, der adskiller sig i antallet af overflader. Kendte hexaflexagoner med tre, fire, fem, seks, syv, ni, tolv, femten, otteogfyrre overflader; antallet af planer er kun begrænset af det faktum, at papiret har en tykkelse, der ikke er nul [9] [1] [3] [16] [17] .

Antallet af typer hexaflexagoner vokser hurtigt med stigningen i antallet af overflader: der er 3 typer hexahexaflexagoner, 4 typer heptahexaflexagoner, 12 typer octahexaflexagoner, 27 typer ennahexaflexagoner og 82 typer decahexaflexagoner [3] [18] .

Trihexaflexagon

Tro mod sit navn er en trihexaflexagon en sekskantet flexagon med tre overflader. Det er den enkleste af alle hexaflexagoner (undtagen unahexaflexagon og duohexaflexagon ). Det er en fladtrykt Möbius-stribe [1] [3] . En trihexaflexagon kan rulles op af en papirstrimmel opdelt i ti ligesidede trekanter [16] [1] . Trihexaflexagon foldes ved hjælp af pinch flex -metoden [16] [1] [19] , med en 60° rotation efter hver fold.

Hexahexaflexagon

En hexahexaflexagon er en flexagon med seks hexagonale overflader. En hexahexaflexagon kan laves af en strimmel 19 trekanter lang [9] [19] [17] .

Tetraflexagoner

Den enkleste tetraflexagon (flexagon med firkantede overflader) er tritetraflexagon, som har tre overflader. Kun to af de tre overflader er synlige på et givet tidspunkt.

Mere komplekse hexatetraflexagon og decatetraflexagon er samlet af krydsformet river uden brug af lim [12] . Tetraflexagoner med 4 n  + 2 planer kan også laves af kvadratiske rammer [3] .

Zigzag-strimler af papir kan bruges til at lave tetratetraflexagoner og andre tetraflexagoner med et antal planer deleligt med 4 [21] .

Ring flexagoner

En ringformet flexagon er en flexagon, hvis overflade er en "ring" af polygoner. Præfikset "circo" kan bruges til at navngive ringflexagoner, for eksempel er pentacircodecaflexagon en ringflexagon med fem planer, der hver består af ti polygoner (femkanter) [22] ; trigemicircohexaflexagon - en flexagon med tre overflader, som hver er en ring ( circo ) af halvdele ( hemi ) af regulære sekskanter ( hexa ) [14] .

The Tuckerman Way

En nem måde at finde alle overfladerne af en sekskant - Tuckerman-gangen - er at holde flexagonen i det ene hjørne og åbne modellen, indtil den stopper med at åbne, derefter dreje flexagonen 60° med uret, tage fat i det tilstødende hjørne og gentage, at samme [19] [17] .

Når man går rundt i Tuckerman, vil hexahexaflexagonens planer åbne sig i rækkefølgen: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (eller i omvendt rækkefølge), hvorefter rækkefølgen vil blive gentaget. Denne sekvens kaldes Tuckerman-stien [19] [17] .

Foldemetoder ("flekser")

Hexaflexagoner

Sekskantfoldningsmetoden beskrevet ovenfor, der bruges til at omgå alle planer (Tuckerman-stier), kaldes pinch flex [20] . Der er følgende metoder til at folde hexaflexagoner:

  • pinch flex [20] (udfør på hexaflexagoner med tre eller flere planer)
  • v-flex [23] [24] (opfør på hexaflexagoner med fire eller flere planer)
  • tuck flex [25] , "båd-hexahedron" [19] (opfør på hexaflexagoner med fire planer eller flere)

og andre [26]

Anomalier

Et flexagonplan (et sæt af sektorer) med forskellige tal kaldes et unormalt plan , og en flexagon med et synligt unormalt plan (i en uregelmæssig position) kaldes en unormalt flexagon [19] [17] [27] . Udseendet af unormale planer er muligt på flexagoner af en tilstrækkelig høj orden, for eksempel på hexahexaflexagon [19] , dodecahexaflexagon [27] . Den enkleste hexaflexagon, som tillader forekomsten af ​​anomalier, er tetrahexaflexagon [22] . For at opnå unormale planer anvendes andre foldemetoder end "standard" pinch flex [19] .

Se også

Noter

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Science and Life, 1970, nr. 1
  2. ↑ 1 2 3 Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline Historien om Flexagon Arkiveret 26. maj 2011 på Wayback Machine
  3. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Martin Gardner, Matematikpuslespil og sjov
  4. ↑ Martin Gardners samlinger af "Mathematical Games"-kolonner arkiveret 29. august 2014 på Wayback Machine . Muppetlabs
  5. ↑ Gardner, Martin. Flexagoner  // Scientific American  . - Springer Nature , 1956. - December ( bd. 195 , nr. 6 ). - S. 162-168 . - doi : 10.1038/scientificamerican1256-162 .
  6. ↑ Rogers, Russell E.; Andrea, Leonard DL Udskiftelige forlystelsesenheder og lignende . Freepatentsonline.com (21. april 1959). Hentet 30. juli 2013. Arkiveret fra originalen 13. august 2013.
  7. ↑ Patenter . Hentet 31. juli 2013. Arkiveret fra originalen 18. juli 2012.
  8. ↑ 12 Scott Sherman . Flexagon navngivning og terminologi . Arkiveret fra originalen den 5. januar 2009.
  9. ↑ 1 2 3 Science and Life, 1970, nr. 3
  10. ↑ Les Pook, Flexagoner indefra
  11. ↑ 12 Scott Sherman . Triangle Flexagon Bestiary . Arkiveret fra originalen den 12. juni 2008.
  12. ↑ 1 2 Science and Life, 1975, nr. 9
  13. ↑ Science and Life, 1992, nr. 4
  14. ↑ 1 2 Science and Life, 1993, nr. 11
  15. ↑ Science and Life, 1993, nr. 12
  16. ↑ 123 Flexagoner . _ _ Mathematische Basteleien. Arkiveret fra originalen den 9. marts 2017.
  17. ↑ 1 2 3 4 5 Science and Life, 1970, nr. 2
  18. ↑ OEIS -sekvens A000207 Antallet af hexaflexagoner af orden n+2
  19. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Science and Life, 1977, nr. 2
  20. ↑ 1 2 3 Scott Sherman. Pinch Flex . Arkiveret fra originalen den 5. januar 2009.
  21. ↑ Science and Life, 1972, nr. 3
  22. ↑ 1 2 Science and Life, 1977, nr. 8
  23. ↑ Flexagon Portal v-flex video Arkiveret 6. september 2013 på Wayback Machine
  24. ↑ Scott Sherman. V flex . Arkiveret fra originalen den 23. august 2016.
  25. ↑ Scott Sherman. Tuck Flex . Arkiveret fra originalen den 23. august 2016.
  26. ↑ Scott Sherman. Triangle Flexagon Flexes . Arkiveret fra originalen den 23. august 2016.
  27. ↑ 1 2 Kvant, 1992, nr. 10

Litteratur

Bøger

  • Martin Gardner . Matematiske gåder og underholdning = Matematiske gåder og afledninger / Pr. Yu. A. Danilova , red. Ya. A. Smorodinsky . - 2. - M .: Mir, 1999. - ISBN 5-03-003340-8 .
  • Les pook. Flexagoner indefra  . — Cambridge University Press. — 182 sider. — ISBN 0-521-81970-9 .
  • Les pook. Seriøs sjov med Flexagoner: Et kompendium og guide  . - 2009-udgave (17. august 2009). — Springer. — 346 s. — ISBN 978-90-481-2502-9 .

Artikler

  • A. A. Panov. Flexagoner, flexorer, flexmans  // Kvant . - 1988. - Nr. 7 . - S. 10-14 .
  • I. Kan. Anomale flexagoner  // Kvant. - 1992. - Nr. 10 . - S. 57-59 .
  • Flexagoner  // Videnskab og liv . - 1970. - Nr. 1 . - S. 124-125 . Trihexaflexagon
  • Flexagoner  // Videnskab og liv . - 1970. - Nr. 2 . - S. 68-69 . Hexahexaflexagon, Tuckerman-sti
  • Flexagoner  // Videnskab og liv . - 1970. - Nr. 3 . - S. 154-155 . Andre hexaflexagoner
  • Flexagoner  // Videnskab og liv . - 1970. - Nr. 8 . - S. 149 . Korrespondance med læserne
  • Flexagoner  // Videnskab og liv . - 1972. - Nr. 3 . - S. 142-143 . Tetraflexagoner
  • Flexagoner  // Videnskab og liv . - 1972. - Nr. 4 . - S. 107 . Stones flexo rør
  • Flexagoner  // Videnskab og liv . - 1975. - Nr. 7 . - S. 154-155 . Stone's flexo tube (fortsat)
  • Flexagoner  // Videnskab og liv . - 1975. - Nr. 9 . - S. 121-123 . Hexatetraflexagon, decatetraflexagon, IUPAC præfikser
  • I. Konstantinov. Flexagon-stier  // Videnskab og liv . - 1977. - Nr. 2 . - S. 92-96 , V. Tunneloverførsel
  • Flexagoner  // Videnskab og liv . - 1977. - Nr. 8 . - S. 98-99 . Rumlige modeller af oversættelsesdiagrammer. Pentacircodecaflexagon
  • I. Kan. Hemitetraflexagoner  // Videnskab og liv . - 1992. - Nr. 4 . - S. 126-127 . Hemitraflexagoner
  • I. Kan. Hemitetra- og hemihexaflexagoner  // Videnskab og liv . - 1993. - Nr. 11 . - S. 150-152 .
  • I. Kan. Trekantede flexagoner  // Videnskab og liv . - 1993. - Nr. 12 . - S. 42-43 .

Links

  • Harold V. McIntosh, Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline. Flexagoner  (engelsk) (1962,2000,2003). — Artikler om flexagoner i PDF-format. Hentet 30. juli 2013. Arkiveret fra originalen 13. august 2013.
  • Harold V. McIntosh. Mine Flexagon- oplevelser  . — Indeholder værdifuld historisk information og teori; forfatterens websted har adskillige flexagon-relaterede artikler anført i [1] . Hentet 30. juli 2013. Arkiveret fra originalen 13. august 2013.
  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier