Pseudosfære

Pseudosfære (eller Beltrami-overflade ) - en overflade med konstant negativ krumning dannet af rotationen af tractrixen omkring dens asymptote . Navnet understreger lighederne og forskellene med kuglen , som er et eksempel på en overflade med en krumning, der også er konstant, men positiv.

Historie

Først undersøgt af Minding i 1839-1840. Især viste han, at begreberne om en gruppe af bevægelser og kongruente figurer kun giver mening på overflader med konstant krumning. Navnet "pseudosfære" af overfladen blev givet af Beltrami . Han henledte også opmærksomheden på det faktum, at pseudosfæren implementerer den lokale model af Lobachevskys geometri , sammen med den projektive model og den konforme euklidiske model .

Karakteristika

Hvis tractrixen er specificeret i Oxz- planet ved de parametriske ligninger

x=a\sin u

y=0

z=a\left(\ln \operatørnavn {tg} {\frac {u}{2}}+\cos u\right),\quad 0\leq u\leq {\frac {\pi }{ 2}}

så vil pseudosfærens parametriske ligninger være

x=a\sin u\cos v

y=a\sin u\sin v

z=a\left(\ln \operatørnavn {tg} {\frac {u}{2}}+\cos u\right)

0\leq u\leq {\frac {\pi }{2)),\ 0\leq v\leq 2\pi

Første andengradsform :

ds^{2}=a^{2}\operatørnavn {ctg}^{2}u\,du^{2}+a^{2}\sin ^{2}u\,dv^{2}

Anden andengradsform :

\phi _{2}=a(-\operatørnavn {ctg}u\,du^{2}+\sin u\cos u\,dv^{2})

Den Gaussiske krumning af pseudosfæren er konstant, negativ og lig med −1/ a² .

Arealet af begge fatninger i pseudosfæren falder sammen med kuglens areal ( ), volumenet er halvdelen af kuglens volumen ( ). $4\pi a^{2}$ ${\tfrac {2}{3}}\pi a^{3}$

Variationer og generaliseringer

Dini-overfladen er et lignende eksempel på en overflade med konstant negativ krumning. Det giver en isometrisk nedsænkning af en region af Lobachevsky-planet afgrænset af en horocykel .

Kilder

Pseudosfære. - Anvendt matematik
Pseudosfære // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.

Litteratur

Alexandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometri. - Nauka, M. , 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5 .
Aleksandrov PS Hvad er ikke-euklidisk geometri. - URSS, M. , 2007. ISBN 978-5-484-00871-1 .
Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Kursus i differentialgeometri og topologi, - Factorial, M. , 2000.
Wolf J. Spaces of constant curvature, Nauka, Moskva , 1982.