Dannelsen af en stjerneform er processen med at udvide en polygon (i et rum med dimension 2), eller et polyeder i rum med dimension 3 og højere, med dannelsen af en ny figur.
Startende fra den oprindelige figur, udvider processen nogle elementer såsom kanter og (2D) flader, og bibeholder generelt symmetri, indtil de mødes og danner de lukkede grænser for den nye figur. Den nye form kaldes den oprindelige forms stjerneform.
I 1619 definerede Kepler stjernedannelsen af polygoner og polyedre som processen med at udbrede kanter eller flader, indtil de skærer hinanden for at danne en ny polygon eller polyeder.
Han konstruerede stjernebillederne af det regulære dodekaeder og opnåede to regulære stjerneformede polyedre, det lille stjernedodekaeder og det store stjerneformede dodekaeder .
Han byggede også de stjerneformede former for det regulære oktaeder og opnåede det stjerneformede oktaeder , en regelmæssig sammensætning af to tetraeder (Kepler gav det det latinske navn stella octangula ).
Når man danner en stjerneform af en regulær polygon, opnås en regulær stjernepolygon eller en sammensætning af regulære polygoner. Disse polygoner er defineret af et tal m , som er antallet af gange, grænsen vikles rundt om midten af formen. Som med alle almindelige polygoner ligger hjørnerne af stjerneformer på en cirkel. Tallet m svarer til antallet af toppunkter, der skal passeres langs cirklen for at komme fra et kantpunkt til et andet (startende fra 1).
En regulær stjerneformet polygon er repræsenteret af Schläfli-symbolet { n/m }, hvor n er antallet af hjørner, og m er den tonehøjde , der bruges til at forbinde hjørnerne, m og n er coprime (det vil sige, at de ikke har en fælles divisor ). Hvis vi tager m = 1, får vi en konveks polygon { n }.
Hvis n og m har en fælles divisor, får vi en sammensætning af regulære polygoner. For eksempel er {6/2} en sammensætning af to trekanter {3} eller et hexagram , og {10/4} er en sammensætning af to pentagrammer {5/2}.
Nogle forfattere bruger Schläfli-symbolet for sådanne forbindelser. Andre foretrækker at bruge et symbol, der repræsenterer en enkelt sti, der ombrydes m gange omkring n/m hjørner, så den ene kant overlapper en anden, og hvert knudepunkt besøges m gange. I dette tilfælde kan et ændret symbol bruges til at forbinde f.eks. 2{3} for et hexagram og 2{5/2} for at forbinde to almindelige pentagrammer.
En regulær n -gon har ( n -4)/2 stjerneformer, hvis n er lige og ( n -3)/2 stjerneformer, hvis n er ulige.
Pentagrammet , {5/2}, er den eneste stjerneformede femkant |
Hexagrammet , {6/2}, er en stjerneformet sekskant og en sammensætning af to trekanter. |
Femkanten {9} har 3 enneagramformer : {9/2}, {9/3}, {9/4}, hvor {9/3} er en sammensætning af 3 trekanter. |
|
| ||
Ligesom sekskanten har ottekanten også to oktagramstjerneformer , den ene, {8/3}, er en stjernepolygon , og den anden, {8/2}, er en sammensætning af to kvadrater .
Stjerneformen af et polyeder dannes ved at forlænge kanterne og fladerne, indtil de skærer hinanden og danner et nyt polyeder eller forbindelse. Det indre af det nye polyeder er opdelt af dets ansigter i et vist antal celler. Polyederens flade flader kan opdele rummet i et stort antal af sådanne celler, og fortsættelse af ekspansionsprocessen kan fange flere celler. For symmetriske polyedre opdeles disse celler i grupper (sæt) af kongruente celler. Vi siger, at celler i sådanne kongruente sæt er af samme type. En almindelig metode til at finde stjerneformer er at vælge en eller flere celletyper.
Denne tilgang kan føre til et stort antal mulige former, så yderligere kriterier bruges til at reducere antallet af disse stjerneformer.
Det sæt af celler, der danner et lukket niveau omkring kernen, kaldes en skal (lag). For symmetriske polyedre kan skallen bestå af en eller flere slags celler.
Baseret på denne idé kan nogle begrænsende kategorier overvejes.
Vi kan definere nogle andre kategorier:
Arkimediske faste stoffer og deres dualer kan også reduceres til en stjerneform. Normalt tilføjes i dette tilfælde en regel om, at alle de oprindelige planer af ansigterne skal deltage i konstruktionen af formen, det vil sige, at delvist stjerneformede former ikke er tilladt. For eksempel betragtes kuben normalt ikke som en stjernebillede af cuboctahedron .
Ved at generalisere Millers regler får vi:
Sytten ikke-konvekse ensartede polyedre er stjerneformede former af arkimedeiske faste stoffer.
I de nioghalvtreds icosahedra foreslog Miller et sæt regler til at bestemme, hvilke stjernebilleder der skulle betragtes som "tilstrækkeligt signifikante og distinkte".
Disse regler er blevet tilpasset til at opnå stjerneformer for ethvert polyeder. Ved at bruge Millers regler finder vi:
Mange "Miller-stellationer" kan ikke opnås direkte ved hjælp af Keplers metode. For eksempel har mange tomme centre, hvor flader og kanter af det oprindelige polyeder er helt fraværende – der er ikke noget at tage udgangspunkt i. På den anden side producerer Keplers metode stjernebilleder, der er fuldstændig forbudt af Millers regler, da deres celler er forbundet med spidser eller kanter, selvom deres ansigter er simple polygoner. Denne sondring vakte ikke eksplicit opmærksomhed før Inchbalds artikel [1] .
Millers regler indebærer ikke nogen "korrekte" måder at nummerere stjernebilleder på. Reglerne er baseret på at kombinere dele inden for et stjernediagram på en bestemt måde og tager ikke højde for topologien af de resulterende flader. Som et resultat er der velbegrundede stjernebilleder af icosahedron, som ikke er inkluderet i Coxeters liste. Et polyeder blev opdaget af James Bridge i 1974 [2] . På den anden side rejses spørgsmålet, om nogle af "Miller-stellationerne" overhovedet er stellationer - en af formerne omfatter nogle helt løsrevne celler, der svæver symmetrisk i rummet.
Et alternativt regelsæt, der accepterer alle disse punkter, er endnu ikke fuldt udviklet. Det største fremskridt blev gjort, da det blev observeret, at stjernedannelse er den omvendte (dobbelte) proces til facettering , hvor dele fjernes fra polyederet uden at skabe nye hjørner. For enhver stellation af et polyeder eksisterer der en dobbelt facettering af det dobbelte polyeder og omvendt. Ved at studere facetterne af det dobbelte polyeder får vi en forståelse af stjerneformerne i det oprindelige polyeder. Bridge fandt sit ikoniske ikon ved at studere udskæringerne i hans dobbelte dodekaeder.
Nogle matematikere, der studerer polyedre, tager højde for, at dannelsen af stjerneformer er en tovejsproces, så alle to polyedre, der har det samme sæt ansigtsplaner, er stjerneformer af hinanden. En sådan forståelse er acceptabel, hvis man udvikler en generel algoritme for et computerprogram, men er til ringe nytte i andre tilfælde.
Mange eksempler på stjerneformer kan findes i artiklen Liste over modeller af Wenninger polyeder .
Stellationsprocessen kan også anvendes på polyedre i højere dimensionelle rum. Stjernediagrammet af et n-dimensionelt polyeder er placeret på det (n-1)-dimensionelle hyperplan af en given facet (en flade, der har en dimension 1 mindre end dimensionen af rummet).
For eksempel, i 4-dimensionelt rum, er den store store stjerneformede 120-celle det sidste trin i dannelsen af stjernebilleder af den firedimensionelle regulære 120 -celle .
Det første forsøg på at give systematiske navne til regulære stjerneformede polyedre blev lavet af Cayley (nu kendt som Kepler-Poinsot-faststoffer ). Dette system er blevet bredt, men ikke altid konsekvent, tilpasset til andre polyedre i 3D og videre.
Conway udviklede en terminologi for stjernepolygoner , 3-dimensionelle og 4-dimensionelle polyedre [3] .
Wenninger bemærkede, at nogle polyedre, såsom terningen, ikke har stjerneformer. Imidlertid kan celler til dannelse af stjerneformer bygges som prismer, der går til det uendelige. Figurer, der inkluderer sådanne prismer, er semipolyedre. Ifølge de fleste definitioner af polyedre er disse stellationer strengt taget ikke polyedre.
Sammen med sit bidrag til matematikken er Magnus Wenninger skrevet om i sammenhængen mellem matematik og kunst som en person, der lavede "særligt smukke" modeller af komplekse stjerneformede polyedre [4]
Den italienske renæssancekunstner Paolo Uccello skabte et mosaikgulv, der forestiller et lille stjerneformet dodekaeder i Markusbasilikaen i Venedig (ca. 1430). Dette billede af Uccello blev brugt som et symbol på Venedig Biennalen i 1986 (temaet er "Kunst og videnskab" [5] ) Den samme stjerneform er midten af to litografier af Escher - Contrast (Orden og Kaos) , 1950 og Gravity , 1952 [6] .