Magisk firkant

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. april 2022; checks kræver 19 redigeringer .

Magi , eller magisk firkant - et kvadrat fyldt med forskellige tal på en sådan måde, at summen af tallene i hver række, hver kolonne og på begge diagonaler er den samme. Hvis summen af tal kun i rækker og kolonner er lige store i en firkant, kaldes det semimagisk . Et normalt kvadrat er et magisk kvadrat fyldt med naturlige tal fra til . Et magisk kvadrat kaldes associativt eller symmetrisk , hvis summen af to tal placeret symmetrisk omkring midten af kvadratet er lig med . $n\ gange n$ $n^{2}$ $en$ $n^{2}$ $n^{2}+1$

Normale magiske firkanter findes for alle ordrer undtagen , selvom sagen er triviel - firkanten består af et enkelt tal. Den minimale ikke-trivielle sag er vist nedenfor, den har rækkefølge 3. $n\geq 1$ $n=2$ $n=1$

		3	9	otte	$\højre pil$	femten
		ti	6	2	$\højre pil$	femten
		5	fire	9	$\højre pil$	femten
	$\swarrow$	$\pil ned$	$\pil ned$	$\pil ned$	$\searrow$
femten		femten	femten	femten		femten

Summen af tallene i hver række, kolonne og diagonal kaldes den magiske konstant , M. Den magiske konstant for et normalt magisk kvadrat afhænger kun af n og er givet af

M(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2))

Hvorfor er det sådan?

Lad der være en firkant med en side Så vil der være tal i den. $n.$ $n^{2}$

På den ene side summen af tal $S=1+2+3+\ldots +n^{2}={\cfrac {n^{2}}{2}}(n^{2}+1).$

På den anden side, $S=nM.$

Ligestilling får vi den ønskede formel.

De første værdier af de magiske konstanter er angivet i følgende tabel (sekvens A006003 i OEIS ):

Bestille $n$	3	fire	5	6	7	otte	9	ti	elleve	12	13
$M(n)$	femten	34	65	111	175	260	369	505	671	870	1105

4+5+6 = 15

7+8+9+10 = 34

11+12+15+16+17 = 65

18+19+20+21+22+23 = 111

24+25+26+27+28+29+30 = 175

Historisk betydningsfulde magiske firkanter

Lo Shu Square

Lo Shu ( kinesisk trad. 洛書, ex. 洛书, pinyin luò shū ) Den eneste normale 3×3 magiske firkant. Det var kendt i det gamle Kina , det første billede på en skildpaddeskal dateres tilbage til 2200 f.Kr. e.

5	ti	3
fire	6	otte
9	2	7

I den vesteuropæiske tradition kaldes denne plads for Saturns segl (Sigillum Saturni). Kvadratparametre: 3, 9, 15, 45 (3x3, 9 celler, summen i alle retninger er 15, summen af alle tal i kvadratet er 45). [en]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

45 : 3 = 15

Firkant fundet i Khajuraho (Indien)

Den tidligste unikke magiske plads findes i en inskription fra det 11. århundrede i den indiske by Khajuraho :

7	12	en	fjorten
2	13	otte	elleve
16	3	ti	5
9	6	femten	fire

Dette er den første magiske firkant, der tilhører rækken af de såkaldte "djævel"-firkanter [2] .

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136: 4 = 34

Yang Huis magiske firkant (Kina)

I det XIII århundrede. matematikeren Yang Hui tog problemet op med metoder til at konstruere magiske firkanter. Hans forskning blev derefter videreført af andre kinesiske matematikere. Yang Hui betragtede magiske firkanter ikke kun af den tredje, men også af højere orden. Nogle af hans firkanter var ret komplekse, men han gav altid regler for at konstruere dem. Han formåede at konstruere et magisk kvadrat af sjette orden, og sidstnævnte viste sig at være næsten associativt (kun to par af centralt modsatte tal i den summer ikke til 37) [3] :

27	29	2	fire	13	36
9	elleve	tyve	22	31	atten
32	25	7	3	21	23
fjorten	16	34	tredive	12	5
28	6	femten	17	26	19
en	24	33	35	otte	ti

Summen af alle 36 tal er 666

666: 6 = 111

Albrecht Dürers plads

Den 4x4 magiske firkant afbildet i Albrecht Dürers gravering " Melancholia I " anses for at være den tidligste i europæisk kunst [4] . De to midterste tal i nederste række angiver datoen, hvor graveringen blev til ( 1514 ).

17	fire	3	fjorten
6	12	13	9
ti	otte	9	13
5	17	16	2

Summen af tallene på enhver vandret, lodret og diagonal er 34. Denne sum forekommer også i alle hjørnefelter 2×2, i den centrale firkant (10+11+6+7), i kvadratet af hjørneceller (16+) 13+4+1 ), i felterne bygget af "ridderens træk" (2+12+15+5 og 3+8+14+9), i hjørnerne af rektanglerne parallelt med diagonalerne (2+8+ 15+9 og 3+12+14+5 ), i rektangler dannet af par af midterceller på modsatte sider (3+2+15+14 og 5+8+9+12). De fleste yderligere symmetrier skyldes det faktum, at summen af to centralt symmetriske tal er 17.

Denne firkant er "Jupiters segl" (Sigillum Iouis), har parametre: 4, 16, 34, 136 (størrelse 4x4, 16 celler, summen af retningerne er 34, summen af alle tal er 136). [en]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136: 4 = 34

Magiske firkanter af Athanasius Kircher [1]

Mars Square

Mars kvadrat eller segl (Sigillum Martis) har følgende parametre: 5, 25, 65, 325 (størrelse 5x5, 25 celler, summen af retningerne er 65, summen af alle tal er 325).

12	25	otte	21	fire
5	13	26	9	17
atten	6	fjorten	22	ti
elleve	19	2	femten	23
24	7	tyve	3	16

325: 5 = 65

Solens kvadrat

Solens segl (Sigillum Solis) har følgende parametre: 6, 36, 111, 666 (størrelse 6x6, 36 celler, summen i retninger er 111, summen af alle tal er 666).

6	32	3	34	35	en
7	elleve	27	28	otte	tredive
19	fjorten	16	femten	23	24
atten	tyve	22	21	17	13
25	29	ti	9	26	12
36	5	33	fire	2	31

666: 6 = 111

Venus Square

Venus segl (Sigillum Veneris) har følgende parametre: 7, 49, 175, 1225 (størrelse 7x7, 49 celler, summen af retningerne er 175, summen af alle tal er 1225).

22	47	16	41	ti	35	fire
5	23	48	17	42	elleve	29
tredive	6	24	49	atten	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	fjorten	32	en	26	44	tyve
21	39	otte	33	2	27	45
46	femten	40	9	34	3	28

1225: 7 = 175

Mercury square

Merkurs segl (Sigillum Mercurio) har parametrene: 8, 64, 260, 2080 (størrelse 8x8, 64 celler, summen af retningerne er 260, summen af alle tal er 2080).

otte	58	59	5	fire	62	63	en
49	femten	fjorten	52	53	elleve	ti	56
41	23	22	44	45	19	atten	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	tredive	31	33
17	47	46	tyve	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	halvtreds	16
64	2	3	61	60	6	7	57

2080: 8 = 260

Månens kvadrat

Månens segl (Sigillum Lune) har følgende parametre: 9, 81, 369, 3321 (størrelse 9x9, 81 celler, summen af retningerne er 369, summen af alle tal er 3321).

37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	tredive	71	22	63	fjorten	46
47	7	39	80	31	72	23	55	femten
16	48	otte	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	atten	halvtreds	en	42	74	34	66
67	27	59	ti	51	2	43	75	35
36	68	19	60	elleve	52	3	44	76
77	28	69	tyve	61	12	53	fire	45

3321: 9 = 369

Squares af Henry E. Dudeney og Allan W. Johnson Jr.

Hvis en ikke-strengt naturlig række af tal indtastes i en n × n kvadratisk matrix , så er denne magiske firkant ikke -traditionel . Nedenfor er to sådanne magiske firkanter fyldt med primtal (selvom 1 ikke betragtes som et primtal i moderne talteori). Den første har orden n=3 (Dudeneys kvadrat); den anden ( 4x4 i størrelse ) er en Johnson firkant. Begge blev udviklet i begyndelsen af det tyvende århundrede [5] :

68	2	44
fjorten	38	62
32	74	otte

fire	62	tyve	40
44	32	fire	42
otte	12	74	tredive
68	atten	24	femten

Der er flere andre lignende eksempler:

17	89	71
113	59	5
47	29	101

en	823	821	809	811	797	19	29	313	31	23	37
89	83	211	79	641	631	619	709	617	53	43	739
97	227	103	107	193	557	719	727	607	139	757	281
223	653	499	197	109	113	563	479	173	761	587	157
367	379	521	383	241	467	257	263	269	167	601	599
349	359	353	647	389	331	317	311	409	307	293	449
503	523	233	337	547	397	421	17	401	271	431	433
229	491	373	487	461	251	443	463	137	439	457	283
509	199	73	541	347	191	181	569	577	571	163	593
661	101	643	239	691	701	127	131	179	613	277	151
659	673	677	683	71	67	61	47	59	743	733	41
827	3	7	5	13	elleve	787	769	773	419	149	751

Det sidste kvadrat, bygget i 1913 af J. N. Munsey, er bemærkelsesværdigt ved, at det består af 143 på hinanden følgende primtal, med undtagelse af to punkter: en enhed er involveret, som ikke er et primtal, og det eneste lige primtal 2 er ikke brugt.

Firkanter med yderligere egenskaber

Pandiagonal magisk firkant

En pandiagonal eller djævlefirkant er en magisk firkant, hvor summen af tal langs brudte diagonaler (diagonaler, der dannes, når en firkant foldes til en torus ) i begge retninger også falder sammen med en magisk konstant .

Der er 48 4x4 djævlefirkanter i standard Frenicle-formen - op til rotationer og refleksioner. Den pandiagonale firkant bevarer egenskaber, når rækker eller kolonner ombrydes parallelt . Derfor kan enheden flyttes til øverste venstre hjørne. Der er 12 sådanne pandiagonale firkanter i flyet. De er angivet nedenfor:

en	otte	ti	femten
fjorten	elleve	5	fire
7	2	16	9
12	13	3	6

en	otte	ti	femten
12	13	3	6
7	2	16	9
fjorten	elleve	5	fire

en	12	7	fjorten
femten	6	9	fire
ti	3	16	5
otte	13	2	elleve

en	fjorten	7	12
femten	fire	9	6
ti	5	16	3
otte	elleve	2	13

en	otte	13	12
femten	ti	3	6
fire	5	16	9
fjorten	elleve	2	7

en	otte	13	12
fjorten	elleve	2	7
fire	5	16	9
femten	ti	3	6

en	12	13	otte
fjorten	7	2	elleve
fire	9	16	5
femten	6	3	ti

en	12	13	otte
femten	6	3	ti
fire	9	16	5
fjorten	7	2	elleve

en	otte	elleve	fjorten
femten	ti	5	fire
6	3	16	9
12	13	2	7

en	otte	elleve	fjorten
12	13	2	7
6	3	16	9
femten	ti	5	fire

en	fjorten	elleve	otte
femten	fire	5	ti
6	9	16	3
12	7	2	13

en	12	6	femten
fjorten	7	9	fire
elleve	2	16	5
otte	13	3	ti

På torus svarer hver fire af disse firkanter til en firkant. Dette skyldes, at hvis du skærer torusen, startende fra enhedscellen som et hjørne, så kan dette gøres på fire måder, ved at tildele hvert af de fire hjørner af enhedscellen vinklen af en flad firkant. Derfor er der kun 3 pandiagonale firkanter på torusen.Enhver af de fire, der svarer til den, kan bruges til at afbilde en torisk firkant på et plan.

Pandiagonale kvadrater findes for ulige orden n>3, for enhver dobbelt paritetsorden n=4k (k=1,2,3…) og eksisterer ikke for enkelt paritetsrækkefølge ( ). $n=4k+2$ $k=1,2,3,\dots$

Pandiagonale firkanter af fjerde orden har en række yderligere egenskaber, for hvilke de kaldes perfekte . Perfekte firkanter af ulige rækkefølge eksisterer ikke. Blandt pandiagonale kvadrater med dobbelt paritet over 4 er der perfekte [6] .

Pandiagonale firkanter af femte orden 3600 . Inklusive toriske parallelle oversættelser er der 144 forskellige pandiagonale firkanter. En af dem er vist nedenfor.

en	femten	24	otte	17
9	atten	2	elleve	25
12	21	ti	19	3
tyve	fire	13	22	6
23	7	16	5	fjorten

Hvis det pandiagonale kvadrat også er associativt, så kaldes det ideal [7] . Et eksempel på en perfekt magisk firkant:

21	32	70	26	28	69	22	36	65
40	81	2	39	77	7	44	73	6
62	ti	51	58	atten	47	57	fjorten	52
66	23	34	71	19	33	67	27	29
fire	45	74	3	41	79	otte	37	78
53	55	femten	49	63	elleve	48	59	16
tredive	68	25	35	64	24	31	72	tyve
76	9	38	75	5	43	80	en	42
17	46	60	13	54	56	12	halvtreds	61

Det er kendt, at der ikke er nogen ideelle magiske kvadrater af orden n = 4k+2 og intet kvadrat af orden n = 4 . Samtidig er der perfekte kvadrater af orden n = 8 . Ved at bruge metoden til at konstruere sammensatte kvadrater er det muligt at konstruere, på basis af et givet kvadrat af ottende orden, ideelle kvadrater af orden n = 8k, k=5,7,9... og orden n = 8^p, p=2,3,4… I 2008 blev der udviklet en kombinatorisk metode til at konstruere perfekte kvadrater af orden n = 4k, k = 2, 3, 4,...

Konstruktion af magiske firkanter

Terrassemetode

Beskrevet af Yu. V. Chebrakov i The Theory of Magic Matrices .

For en given ulige n tegner du en n gange n kvadratisk tabel. Vi vil vedhæfte terrasser (pyramider) til dette bord på alle fire sider. Som et resultat får vi en trinvis symmetrisk figur.

$Y$
fire						5
3					fire		ti
2				3		9		femten
en			2		otte		fjorten		tyve
0		en		7		13		19		25
-en			6		12		atten		24
-2				elleve		17		23
-3					16		22
-fire						21
.
	$x$	fire	3	2	en	0	en	2	3	fire

Start fra venstre hjørne af den trinformede figur og fyld dens diagonale rækker med på hinanden følgende naturlige tal fra 1 til . $N^2$

Derefter, for at opnå en klassisk matrix af N. orden, placeres tallene i terrasserne på de steder i NxN-tabellen, hvor de ville være, hvis de blev flyttet sammen med terrasserne, indtil terrasserne støder op til terrasserne. modsatte side af bordet.

$Y$
fire
3
2				3	16	9	22	femten
en				tyve	otte	21	fjorten	2
0				7	25	13	en	19
-en				24	12	5	atten	6
-2				elleve	fire	17	ti	23
-3
-fire
.
	$x$	-fire	-3	-2	-en	0	en	2	3	fire

3	16	9	22	femten
tyve	otte	21	fjorten	2
7	25	13	en	19
24	12	5	atten	6
elleve	fire	17	ti	23

Derudover er denne metode også sand, hvis det magiske kvadrat ikke skal sammensættes af tal fra 1 til N, men også fra K til N, hvor 1 <= K< N.

Andre måder

Reglerne for at konstruere magiske kvadrater falder i tre kategorier, afhængigt af om rækkefølgen af kvadratet er ulige, lig med to gange et ulige tal eller lig med fire gange et ulige tal. Den generelle metode til at konstruere alle kvadrater er ukendt, selvom forskellige skemaer er meget brugt. [8] [9] Det er muligt at finde alle magiske kvadrater af orden kun for , derfor særlige procedurer til at konstruere magiske kvadrater for . Den enkleste konstruktion er til en magisk firkant af ulige rækkefølge. Du skal indsætte et tal i cellen med koordinater (hvor og skift fra 1 til ) (Bemærk: denne formel er sand for alle kvadrater af ulige orden, undtagen kvadrater af formen . I disse kvadrater er summen af tallene på hoveddiagonalen er N mere end den magiske konstant.) $n$ $n/le 4$ $n>4$ $(i,j)$ $jeg$ $j$ $n$ $n=6k+3,k=0,1,2...$

1+((i+j-1+(n-1)/2){\bmod {n)))n+((i+2j+2){\bmod {n))).

Det er endnu nemmere at konstruere konstruktionen som følger. En nxn matrix er taget. En trappet rhombus er bygget inde i den. I den er cellerne fra venstre og opad langs diagonalerne fyldt med en på hinanden følgende række ulige tal. Værdien af den centrale celle C bestemmes. Derefter vil værdierne i hjørnerne af den magiske firkant være som følger: øverste højre celle C-1 ; nederste venstre celle C+1; nederste højre celle Cn; øverste venstre celle C+n. Fyldning af tomme celler i trinvise hjørnetrekanter udføres i overensstemmelse med enkle regler: 1) i rækker stiger tallene fra venstre mod højre i trin på n + 1; 2) i kolonner fra top til bund øges tallene med et trin på n-1.

Algoritmer til at konstruere pandiagonale kvadrater [10] [11] og ideelle 9x9 magiske kvadrater er også blevet udviklet. [12] [13] Disse resultater giver os mulighed for at konstruere magiske kvadrater i perfekt orden for . [7] [14] Der er også generelle metoder til at arrangere perfekte magiske firkanter af ulige rækkefølge . [15] [16] Metoder til at konstruere ideelle magiske kvadrater af orden n=8k, k=1,2,3… [17] og perfekte magiske kvadrater er blevet udviklet. [18] Pandiagonale og ideelle kvadrater af lige-ulige rækkefølge kan kun kombineres, hvis de er utraditionelle. [19] [20] [21] Ikke desto mindre er det muligt at finde næsten pandiagonale firkanter [22] En særlig gruppe af ideelt perfekte magiske firkanter (traditionelle og ikke-traditionelle) [23] findes . $n=9(2k+1)$ $k=0,1,2,3,\dots$ $n>3$

Eksempler på mere komplekse firkanter

Magiske firkanter af ulige rækkefølge og rækkefølge af dobbelt paritet er blevet metodisk nøje udarbejdet. [24] Formaliseringen af kvadrater af rækkefølgen af enkelt paritet er meget vanskeligere, som illustreret af følgende skemaer:

atten	24	5	6	12
22	3	9	femten	16
en	7	13	19	25
ti	elleve	17	23	fire
fjorten	tyve	21	2	otte

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	halvtreds	16
17	47	46	tyve	21	43	42	24
40	26	27	37	36	tredive	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	atten	48
49	femten	fjorten	52	53	elleve	ti	56
otte	58	59	5	fire	62	63	en

100	99	93	7	5	6	fire	otte	92	91
elleve	89	88	84	16	femten	17	83	82	tyve
tredive	22	78	77	75	26	74	73	29	21
61	39	33	67	66	65	64	38	32	40
60	52	48	44	56	55	47	43	49	51
halvtreds	42	53	54	46	45	57	58	59	41
31	62	63	37	36	35	34	68	69	70
71	72	28	27	25	76	24	23	79	80
81	19	atten	fjorten	85	86	87	13	12	90
ti	9	3	94	95	96	97	98	2	en

Der er snesevis af andre metoder til at konstruere magiske firkanter.

Skak tilgang

Det er kendt, at skak , ligesom magiske firkanter, dukkede op for snesevis af århundreder siden i Indien . Derfor var det ikke tilfældigt, at ideen om en skaktilgang til konstruktionen af magiske firkanter opstod. Denne idé blev først udtrykt af Euler . Han forsøgte at få den fulde magiske plads ved konstant at gå rundt om ridderen. Han undlod dog at gøre dette, fordi talsummerne i hoveddiagonalerne afveg fra den magiske konstant. Skaklayout giver dig dog mulighed for at skabe enhver magisk firkant. Tallene udfyldes regelmæssigt og linje for linje under hensyntagen til cellernes farve.

Se også

Noter

↑ 1 2 3 Athanasius Kircher. Aritmologi. - ROMAE: Typographia Varesij, 1665. - S. 64-72. — 317 s.
↑ Dedikeret til Jupiter . Hentet 8. februar 2011. Arkiveret fra originalen 8. februar 2011. (ubestemt)
↑ V. E. Eremeev " Traditional Science of China Arkivkopi dateret 25. februar 2008 på Wayback Machine " , Kapitel 5: Matematik .
↑ N. Makarova " Dürers Magic Square Arkivkopi af 1. juli 2011 på Wayback Machine "
↑ A.K. Dudeni " Siktning af det numeriske sand på jagt efter primtal arkiveret 21. september 2008 på Wayback Machine "
↑ N. Makarova " Perfekte magiske firkanter Arkiveret kopi af 28. april 2011 på Wayback Machine "
↑ 1 2 G. Aleksandrov " Ideel rækkefølge magiske firkanter , hvor $n=9+18k$ $k=2,3,4,\dots$ arkivkopi af 20. november 2012 på Wayback Machine "
↑ Magic Square . Encyklopædi "Omsejling" . Arkiveret fra originalen den 12. januar 2002. (ubestemt)
↑ N. Makarova " Metoder til at konstruere magiske firkanter (anmeldelsesartikel) Arkiveret kopi af 25. april 2009 på Wayback Machine "
↑ G. Alexandrov " En metode til at konstruere en ideel magisk firkant af ulige orden Arkiveret kopi af 29. januar 2008 på Wayback Machine "
↑
G. Aleksandrov
- " Perfekt panmagi arkiveret 3. november 2012 på Wayback Machine "
- " Pandiagonal square order 4k Arkiveret 3. november 2012 på Wayback Machine "
- « Yabasic program til at konstruere en pandiagonal firkant af orden n = 4 Arkiveret 3. november 2012 på Wayback Machine »
↑
G. Aleksandrov
- " Perfect Magic Square 9 x 9 Arkiveret 3. november 2012 på Wayback Machine "
- " Another Perfect 9 x 9 Square Arkiveret 3. november 2012 på Wayback Machine "
↑ N. Makarova " Magiske firkanter af niende ordens arkivkopi af 14. april 2011 på Wayback Machine "
↑ N. Makarova “ Pandiagonale kvadrater af ulige rækkefølger af multipler af ni Arkiveksemplar af 28. april 2011 på Wayback Machine ”
↑
G. Aleksandrov
- " Perfect Magic Squares Arkiveret 29. februar 2008 på Wayback Machine "
- " Fem eksempler på perfekte 21x21 magiske firkanter Arkiveret 20. november 2012 på Wayback Machine "
- « Ideelle magiske firkanter af enhver ulige rækkefølge n>3 Arkiveret 12. juli 2010 på Wayback Machine »
↑
N. Makarova
- " Ideelle magiske firkanter. Vippemetode Arkiveret 28. april 2011 på Wayback Machine »
- « En metode til at konstruere perfekte magiske firkanter af ulige rækkefølge ved hjælp af latinske firkanter Arkiveret 27. april 2011 på Wayback Machine »
↑ N. Makarova “ En metode til at konstruere perfekte kvadrater af orden n = 8k Arkivkopi af 27. april 2011 på Wayback Machine ”
↑
N. Makarova
- " En metode til at konstruere perfekte magiske firkanter fra reversibles Arkiveret 27. april 2011 på Wayback Machine "
- « En metode til at konstruere perfekte magiske kvadrater ved hjælp af generaliserede latinske kvadrater Arkiveret 27. april 2011 på Wayback Machine »
- " Konstruktion af perfekte magiske firkanter ved vippemetoden arkiveret 28. april 2011 på Wayback Machine "
↑ E. Slkuni " Utraditionelle 6. ordens pandiagonale magiske firkanter Arkiveret 2. november 2007 på Wayback Machine "
↑
N. Makarova
- " Ukonventionelle magiske firkanter arkiveret 19. februar 2008 på Wayback Machine "
- " En metode til at konstruere ikke-traditionelle perfekte kvadrater af orden n=4k+2 Arkiveret 28. april 2011 på Wayback Machine " .
↑ G. Alexandrov " Ideelt ikke-traditionelt magisk kvadrat af orden n = 4k + 2 Arkiveret 20. november 2012 på Wayback Machine
↑ G. Aleksandrov " Næsten pandiagonale magiske firkanter af orden 4k + 2 arkivkopi af 20. november 2012 på Wayback Machine "
↑ G. Alexandrov " En ideel perfekt magisk firkant af jævn orden Arkiveret kopi af 20. november 2012 på Wayback Machine
↑ http://bspu.ab.ru/~festival/kon2001/teacher/konspect/inform/stepanowa_nowichihina.rtf (utilgængeligt link)

Litteratur

Ja. V. Uspensky. Udvalgte matematiske underholdninger. - Såmand, 1924.
B. A. Kordemsky. Matematisk forstand . - M. : GIFML, 1958. - 576 s.
M. M. Postnikov. Magiske firkanter. - M . : Nauka, 1964.
N. M. Rudin. Fra magisk firkant til skak. - M . : Fysisk kultur og sport, 1969.
E. Ya. Gurevich. Hemmeligheden bag den gamle talisman. - M . : Nauka, 1969.
M. Gardner. Matematisk fritid. — M .: Mir, 1972.
Encyklopædisk ordbog for en ung matematiker / Comp. A. P. Savin. - M . : Pædagogik, 1989. - 352 s. — ISBN 5-7155-0218-7 .
Yu. V. Chebrakov . Magiske firkanter. Talteori, algebra, kombinatorisk analyse. - Sankt Petersborg. : St. Petersborg stat. tech. un-t, 1995.
Yu. V. Chebrakov. Teorien om magiske matricer . - Sankt Petersborg. , 2008.
M. Gardner. Kapitel 17. Magiske firkanter og kuber // Tidsrejse . - M . : Mir, 1990. (utilgængeligt link)
Chirkazov D. Bogstavmagiske kvadrater som symmetriske tekstarrays. // Moderne videnskabelig forskning og innovation. — nr. 11. november 2012

Links

Magic Squares (utilgængeligt link) (engelsk)
sekvens A164843 i OEIS
M. Gardner " Boganmeldelse af Kathleen Ollerenshaw og David Brie "
H. Heinz magiske firkanter, magiske stjerner og andre mønstre
N. Skryabina, V. Dubovskoy Magiske firkanter
Skak tilgang
Ikke-traditionelle magiske firkanter fra primtal
De mindste magiske kvadrater af primtal
« Generelle formler for magiske firkanter. »
Magiske firkanter // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.

Ordbøger og encyklopædier

Flot dansk
stor kinesisk
Stor russer
Great Soviet (1 udg.)
Brockhaus og Efron
Brockhaus og Efron
jorden rundt
Lille Brockhaus og Efron
Britannica (online)

I bibliografiske kataloger
BNF : 11944380z GND : 4168511-8 J9U : 987007543406305171 LCCN : sh85079628 NDL : 01081048 NKC : ph214645 SUDOC : 027391345