Spline

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. marts 2020; checks kræver 12 redigeringer .

Spline (fra engelsk  spline , fra [flat] spline  - fleksibelt mønster , fleksibel plasmaskinne - en metalstrimmel, der bruges til at tegne buede linjer) - en funktion i matematik , hvis domæne er opdelt i et endeligt antal segmenter, på hver hvoraf det falder sammen med et eller andet algebraisk polynomium ( polynomium ). Maksimumsgraderne af de anvendte polynomier kaldes splinegraden . Forskellen mellem graden af ​​spline og den resulterende glathed kaldes splinedefekt . For eksempel er en kontinuert polyline en spline af grad 1 og defekt 1. I moderne forstand er splines løsninger på flerpunktsgrænseværdiproblemer ved brug af gittermetoder .

Med andre ord er en spline en stykkevis given funktion, det vil sige et sæt af flere funktioner, som hver er givet på et sæt argumentværdier, og disse sæt er parvis usammenhængende.

Splines har adskillige anvendelser både i matematisk teori og i anvendt matematik (især i forskellige computerprogrammer). Især er to-variable splines meget brugt til at definere overflader i forskellige computermodelleringssystemer . Splines af to argumenter kaldes bi-splines (f.eks. bikubisk spline), som er todimensionelle splines, der modellerer overflader. De forveksles ofte med B-splines (basic splines), som er endimensionelle og i en lineær kombination danner kurver - en ramme til at "strække" overflader. Det er også muligt at skabe en tredimensionel struktur fra grundlæggende splines til modellering af tredimensionelle legemer.

Definition og historie

En spline ( eng.  spline ) var en fleksibel metallineal - et universelt mønster [1] , som blev brugt af tegnere til at forbinde punkter i en tegning af en glat kurve, altså til grafisk interpolation .

Desuden er kurven, der beskriver deformationen af ​​en fleksibel lineal fastgjort i separate punkter, en spline. Så der er en fysisk model af splinefunktionen (eller omvendt er splinefunktionen en matematisk model af en fleksibel lineal). Den intuitive tilgang til at bruge stykkevise funktioner i tilnærmelsesproblemer har eksisteret i matematik i lang tid. Den fysiske model, kaldet den mekaniske analogi af en spline, er en multi-støtte bjælke , der ikke oplever ekstern belastning, og hvis deformationer er forårsaget af interne reaktioner på givne forskydninger af understøtninger til faste knudepunkter. Matematisk er denne model beskrevet ved differentialligningen for stråledeformationen og er et flerpunktsgrænseværdiproblem, til hvis løsning den dengang kendte gittermetode blev anvendt, som opnåede løsningen i denne form, som i dag kaldes en spline. Men som den sovjetiske videnskabsmand Nikolai Korneichuk bemærker , skyldtes splines indtrængen i tilnærmelsesteorien problemet med interpolation på grund af deres gode beregningsmæssige og tilnærmede egenskaber. Splines har usædvanligt gode tilnærmede egenskaber, alsidighed og nem implementering af beregningsalgoritmer afledt af dem. Samtidig falder algoritmerne til at konstruere splines sammen med algoritmen for finite element-metoden , som er den vigtigste industrielle metode til styrkeanalyse i computerstøttet design (CAD) systemer.

Teorien om interpolation ved splines og selve termen spline dateres tilbage til en artikel fra 1946 af Isaac Schoenberg .  Dens udvikling var især intensiv i 50-70'erne. På nuværende tidspunkt er CAD blevet det traditionelle anvendelsesområde for brug af interpolationssplines. Imidlertid er potentialet for splines meget bredere end blot at beskrive nogle kurver. I den virkelige verden er et stort antal fysiske processer i sagens natur splines. I mekanik er dette deformationen af ​​en fleksibel plade eller stang fastgjort på separate punkter; kroppens bane, hvis kraften, der virker på den, ændres i trin (banen for et kunstigt rumobjekt med aktive og inertielle bevægelsessegmenter, et flys bane med en trinvis ændring i motortryk og en ændring i vingeprofilen , etc.). I termodynamik er dette varmeoverførsel i en stang bestående af fragmenter med forskellig varmeoverførsel. I kemi, diffusion gennem lag af forskellige stoffer. I elektricitet, udbredelsen af ​​elektromagnetiske felter gennem heterogene medier. Det vil sige, at spline ikke er en fiktiv matematisk abstraktion , og i mange tilfælde er det en løsning på differentialligninger, der beskriver meget virkelige fysiske processer.

I betragtning af splines begynder vi med definitionen af ​​en algebraisk spline. En funktion defineret og kontinuert på et segment kaldes en polynomisk spline af orden med noder, hvis der på hvert af segmenterne er et algebraisk polynomium af grad, der ikke overstiger , og på hvert af punkterne kan en eller anden afledt have en diskontinuitet. Hvis funktionerne i punkterne er kontinuerte, og de afledte i punkterne er diskontinuerlige, så kaldes tallene spline-defekter . Sættet kaldes et gitter af spline noder, og punkterne  kaldes noder , kontaktpunkter eller limpunkter for spline.

Som det følger af definitionen, for at konstruere en spline bestående af fragmenter, er det nødvendigt at finde sådanne værdier af numeriske parametre for hvert fragment - et gradspolynomium , som vil sikre kontinuitet ved noderne af både selve funktionen og den nødvendige derivater. Så alt du skal gøre er at definere parametrene. Under hensyntagen til interpolationsbetingelsen og kontinuiteten af ​​de to første afledte, reduceres bestemmelsen af ​​parametre til at løse et system bestående af lineære ligninger. Som regel beregnes værdierne af koefficienter for segmenter af polynomier ikke direkte.

For at bestemme en interpolationsspline med en kontinuert første afledet, er det tilstrækkeligt at beregne værdien af ​​den første afledede ved knudepunkterne. Den måde, hvorpå derivater ved spline-knudepunkter defineres, definerer en lang række interpolerende splines. Ofte defineres afledte ikke som konstanter, men som nogle afhængigheder af den interpolerede funktion og interpolationsgitteret.

Hvis værdien af ​​den første afledede ved knuderne beregnes ud fra betingelsen om kontinuitet af den anden afledede (ved at løse et system sammensat af n lineære ligninger), så vil splinen have to kontinuerlige afledede. Denne metode til at konstruere en spline, ligesom spline selv, kaldes global , da når man bestemmer hver af dens koefficienter, tages hele sættet af interpolationsknuder i betragtning.

I andre tilfælde, for at bestemme en enkelt koefficient, tages kun de nærmeste interpolationsknuder i betragtning, og sådanne konstruktionsmetoder, som selve splines, kaldes lokale . Parametrene for et fragment af en sådan spline kan defineres uafhængigt af andre fragmenter.

En simpel betingelse for at konstruere et fragment af en lokal spline er betingelsen om, at polynomiet i enderne af segmenterne er lig med de tilsvarende værdier af den interpolerede funktion.

For den enkleste spline - en brudt linje - er denne tilstand ganske nok. De to koefficienter af den rette linje er entydigt bestemt ud fra to ligninger. Sådan en spline er lokal. For polynomier af højere grader bør yderligere betingelser tilføjes, så det samlede antal ligninger er lig med antallet af koefficienter for polynomiet. Så for en spline af 3. grad er en sådan betingelse ligheden af ​​den 1. afledede i enderne af segmentet til en vis værdi, som bestemmes for nabosektioner på samme måde (i formlerne (2) gennem den omtrentlige værdien af ​​den afledede af funktionen).

System af 4 ligninger

giver dig mulighed for entydigt at bestemme polynomiets fire koefficienter. For et polynomium af 5. grad skal betingelsen om lighed af 2. afledet i enderne af segmentet tilføjes osv. Ud fra det nævnte burde det være klart, hvorfor splines hovedsageligt er bygget op af polynomier af ulige grader (med et lige antal koefficienter).

For polynomier af lige grader ved samling af system (3):

derfor er det for et polynomium af 2. grad umuligt at opnå ligheden af ​​1. afledet i forbindelsespunkterne, og for 4. grad - 2. afledede osv. For at konstruere splines med lige grader tilføjes yderligere betingelser kunstigt at danne et ligningssystem, svarende til (3). Hvis afledte af et splinepolynomium er defineret på samme måde som de tilsvarende afledte af den interpolerede funktion, siges spline at være Hermitian .

Der er lokale metoder til at konstruere Bessel og Akimi splines, B er splines [] . Dybest set, når det kommer til splines, betyder de splines bygget af algebraiske polynomier. Dette er definitionerne ovenfor. Det er disse splines, der er de mest undersøgte. En spline kan dog bestå af fragmenter af funktioner af enhver klasse. AT [] konstruktion af sådanne splines overvejes, og deres egenskaber undersøges. Forfatter[ hvem? ] giver ikke en generel definition af konstruerede splines. Det er klart, at for alle klasser af funktioner, der udgør spline, er definitionen givet i begyndelsen af ​​artiklen ikke helt egnet. For eksempel, hvis spline består af segmenter af eksponenten, så mister begrebet spline-defekt sin betydning. Selvom antallet af kontinuerte derivater vil forblive en vigtig egenskab. Konstruktionen af ​​en spline, hvis fragmenter er diskontinuerlige funktioner (rationelle funktioner, Padé-funktioner) er noget uden for rækkevidden af ​​spline-ideen, da en af ​​de vigtigste fordele ved splines er deres glathed. Hvis sådanne konstruktioner udvides vilkårligt, så slettes forskellene mellem splines og klumpede funktioner. En anden fordel ved splines er beregningseffektivitet. Overdreven komplikation af fragmenter reducerer betydeligt fordelen ved splines i forhold til klassiske funktioner.

Splines er kendetegnet ved følgende egenskaber: en spline består af fragmenter - funktioner af samme klasse, som kun adskiller sig i deres parametre, visse betingelser pålægges tilstødende fragmenter ved krydsningspunkterne, som er reduceret til kontinuiteten af ​​værdier og nogle første afledte. Splines er en gren af ​​anvendt matematik, der udvikler sig intensivt. Internettet indeholder en omfattende bibliografi om splines ( Spline bibliography database (SBD) ).

Spline klassifikation

Som nævnt ovenfor er der et stort antal strukturer, der kaldes splines. Derfor er det nødvendigt at indføre en vis klassificering i denne sort med det formål at fremhæve de funktioner, der giver dig mulighed for at vælge splines, der er egnede til et specifikt anvendt problem.

Tildeling af splines . Efter formål kan der skelnes mellem tre hovedgrupper af splines: "interpolationssplines" eller "funktionelle splines" - passerer nøjagtigt gennem givne punkter, "udjævning splines" - passerer gennem givne punkter, idet der tages højde for fejlene i deres bestemmelse; "korrelationssplines" - passerer gennem korrelationssættet af punkter og viser dets generelle afhængighed (trend, regression). Interpolation og funktionelle splines bruges i geometriske modelleringsopgaver, for eksempel ved at fastlægge konturerne af skroget på vand og fly. Udjævnende splines bruges oftest til at beskrive afhængighederne af fysiske eksperimenter med en kendt målefejl. Korrelationssplines bruges som ikke-lineære regressionsgrafer, hvoraf den enkleste kan betragtes som en beskrivelse af afhængigheden ved en trinvis og stykkevis lineær funktion (nul og første grads splines).

Udsigt over splinefragmenter . Det faktum, at spline består af fragmenter af samme type, er et af de nøgletræk, der adskiller den fra andre brikfunktioner. Der er dog kombinerede splines, der består af fragmenter af forskellige splines.

De mest berømte splines - bestående af fragmenter - er algebraiske polynomier, der ikke er højere end en given grad. Som regel er disse kubiske polynomier eller polynomier af ulige grader: første, tredje (kubiske), femte grad. Højere grader bruges sjældent på grund af kompleksiteten af ​​beregningerne og kompleksiteten beskrevet i det foregående afsnit. Deres største fordel er enkelheden af ​​beregninger og analyser. Ulempen er, at relativt få reelle fysiske processer svarer til denne afhængighed.

Eksponentielle splines. Hvis en fleksibel metallineal, der er fastgjort til noderne, strækkes, så vil løsningen til differentialligningen ikke være et algebraisk polynomium, men et eksponentielt . Derfor kaldes sådanne splines også spændt . Eksponenten beskriver mange fysiske processer i dynamiske systemer. Ulempen er kompleksiteten af ​​beregningen.

Ved mekanisk analogi med en metallineal, som er en designmodel af en bjælke, opnås splines med variabel stivhed, beskrevet i værkerne af Snigirev V.F. og Pavlenko A.P. Oprindeligt blev sådanne splines kaldt degenererede eller logaritmiske, da løsningen af ​​originalen spline differentialligning, som er spline fragment vil indeholde naturlige logaritmiske funktioner. Stivheden i dem kan fungere som en vægt, hvis den er forudbestemt, og som en kontrolfunktion, som findes ud fra betingelserne for minimum af energifunktionelle for operatøren af ​​den oprindelige spline-ligning, som svarer til det samlede potentiale belastningsenergi af linealen (strålen). Stivhedsfunktionen giver dig mulighed for at styre formen på noten. I det tilfælde, hvor stivhedsfunktionen er en kontrolfunktion, kaldes sådanne splines for splines med minimal stivhed.

Trigonometriske er splines, hvoraf fragmenter er beskrevet af trigonometriske polynomier . De har ret komplekse regneudtryk. Mere end halvtreds spline-fragmenter af forskellige typer er beskrevet i B. A. Popovs værker.

Der er også rationelle splines og Padé splines. Deres egenskab er muligheden for at bryde derivaterne på fragmenter med kontinuitet ved noderne. M. Ansermet bygger fraktionelle splines, hvor fragmenterne er specificeret ved hjælp af gamma-funktionen.

Hensigtsmæssigheden ved at bruge fragmenter af en bestemt type er baseret på de specifikke forhold for problemet og implementeringsrestriktioner. Som regel er hovedkravet at opnå en given interpolationsnøjagtighed til en acceptabel pris på tid og ressourcer til implementering. Et godt valg af fragmenter, som svarer til processens art, reducerer beregningstiden og den nødvendige mængde hukommelse.

Antal fragmenter . Det er klart, at minimumsantallet af fragmenter er et. Den klassiske definition af en spline begrænser antallet af fragmenter til et bestemt antal på et endeligt segment. Du kan dog bygge splines med et uendeligt antal fragmenter, men i virkeligheden er disse metoder og algoritmer, der ikke behøver information om et bestemt antal fragmenter[ hvad? ] . Repræsentanter for disse splines er de kardinalsplines , der er studeret af Schoenberg. Til at bygge splines med et ubegrænset antal fragmenter er lokale splines bedre egnede.

Fragment bredde . Det er nødvendigt at vælge splines med samme bredde af fragmenter. Dette giver dig mulighed for betydeligt at forenkle beregningsudtrykkene, fremskynde driften af ​​algoritmer og reducere implementeringsomkostningerne. En vis forenkling kan opnås ved at bruge fragmenter med flere bredder. Der er splines med fragmenter af nul bredde (De Boer). Dette fører til mangfoldigheden af ​​knuder og muligheden for at tilnærme splines med uadskillelige fragmenter af diskontinuerlige funktioner. Regneudtryk opnås som følge af grænseovergange. Splines kan også have fragmenter med uendelig bredde. Disse fragmenter skal være ekstreme. Nogle gange gør dette det muligt naturligt at sætte grænsebetingelserne. Strengt taget afhænger fragmenternes bredde af valget af en parameter - argumentet for splinefunktionen, og dette kræver løsning af et separat parameteriseringsproblem. Det ideelle valg som parameter er længden af ​​den interpolerede funktion, som ikke altid er kendt, så der er mange måder at løse dette problem på. Den mest almindelige metode til parametrisering er ved akkorder.

Betingelser for sammenføjning af fragmenter . En anden vigtig funktion, der adskiller splines. Når det kommer til splines, anses fragmenter som regel for at være glattede. Det vil sige, at kontinuiteten af ​​værdierne og den første afledte er sikret. Konceptet med en splinedefekt er relateret til antallet af kontinuerte derivater, som en fragmentfunktion af en bestemt type har, og antallet af derivater, hvis kontinuitet er garanteret ved knudepunkterne. Eksponenten , sinusoiden , har et uendeligt antal derivater. For dem giver dette koncept ikke mening. Derfor er det mere bekvemt at tale direkte om antallet af derivater, hvis kontinuitet er garanteret ved knuderne af spline. I praksis taler vi om kontinuiteten af ​​værdier og den første, maksimale - den anden afledte. Afstanden mellem den anden og højere afledte er ikke visuelt mærkbar, så den tages sjældent i betragtning. Det er klart, at den første afledede i forbindelsespunkterne kan specificeres på forskellige måder. De mest almindelige er to tilgange. Værdien af ​​den første afledte er valgt for at sikre kontinuiteten af ​​den anden (globale kubiske splines af minimumsdefekten). Den første afledede er lig med den første afledede af den interpolerede funktion (muligvis tilnærmelsesvis) i hermitiske splines.

Grænsebetingelser . Der er 4 typer af klassiske randbetingelser og en række ikke-klassiske. Hvis splines har et begrænset antal fragmenter, så har de naturligvis ikke ekstreme fragmenter til venstre og højre, så der er ikke noget at forbinde de ekstreme noder med. De eneste undtagelser er periodiske splines, som har en naturlig forlængelse (3. type klassiske randbetingelser). Nogle gange kaldes randbetingelser med en nul-afledt naturlige, selvom der ikke er nogen grund til at betragte dem som mere naturlige end andre, men for en kubisk spline er naturlige (naturlige) randbetingelser et specialtilfælde af den 2. type af klassiske randbetingelser, som definerer anden afledte ved kanterne af spline. I dette tilfælde frigør lighedssætning af anden afledte til nul metallinealens kanter fra at blive belastet med et bøjningsmoment, hvilket naturligt ville opstå, når det påføres faste (givne) noder i det fysiske rum. I den 1. type af klassiske grænsebetingelser er de første afledte (tangentielle) sat ved kanterne af spline; i 2. type - sæt de anden derivater (krumning); den 3. type bruges til interpolation af lukkede eller periodiske linjer og består i at forbinde de ekstreme fragmenter af spline; Den 4. type bruges, når hverken den første eller den anden afledte kendes ved kanterne af spline og består i at forbinde tilstødende par af ekstreme fragmenter (det 1. - med det 2. og det sidste - med det næstsidste) med de tredje derivater , som implementeres i praksis ved at passere gennem noderne af par af tilstødende ekstreme fragmenter af en funktion svarende til et fragment af en spline (for en polynomiel spline, et polynomium af samme grad som et fragment af en spline). Der anvendes forskellige kombinationer af randbetingelser, som er reduceret til disse 4 typer af klassiske forhold. Hvis grænsebetingelserne ikke kan reduceres til disse fire typer, såsom for eksempel ændringen på et par tilstødende ekstreme fragmenter af spline af dens tredje afledte i henhold til den lineære (affine) lov, foreslået i værkerne af Snigirev V. F. , så kaldes sådanne forhold den ikke-klassiske version af grænsebetingelserne. Nedenfor er nogle varianter, der reducerer til de klassiske randbetingelser. Hvis spline har fragmenter af samme bredde, tælles de manglende fragmenter af samme bredde. En anden mulighed er at betragte de manglende fragmenter udvidet til det uendelige. Fordelen ved denne tilgang er muligheden for ekstrapolering . Du kan betragte fragmenternes bredde som nul. Beregnede udtryk opnås ved grænseovergange. Hvis vi ser på randbetingelserne ud fra synspunktet om dannelsen af ​​en spline fra basisfunktioner, så reduceres de til fortsættelsen af ​​de tilsvarende lokale basisfunktioner. Bredden af ​​tilstødende fragmenter påvirker deres form. Et simpelt snit fører ofte til oscillation og en stigning i fejlen ved kanterne. Grænsebetingelser er vigtige ved billedbehandling og ved ekstrapolationsproblemer.

Yderligere begrænsninger . De vedrører oftest derivater ved noder. Nogle gange følger de af processens fysik. Betingelser: værdiers umistelighed, lighed af momenter, områder, normaliseringsforhold. Yderligere betingelser forenkler nogle gange analysen af ​​spline-egenskaber, men kan alvorligt komplicere konstruktions- og implementeringsomkostningerne.

Gitter af interpolationspunkter. Kan i væsentlig grad påvirke effektiviteten af ​​beregninger. Tilfældene med et ensartet gitter og et ensartet gitter, med en afstand mellem punkter, der er et multiplum af afstanden mellem noderne i spline, er vigtige. At finde et gitter af interpolationspunkter (interpolationsnoder) er en parametriseringsopgave, som allerede er blevet diskuteret i afsnittet Fragment Width.

Lokale egenskaber ved basisfunktioner . En spline kan repræsenteres som summen af ​​vægtede basissplines. Bredden af ​​disse basisfunktioner er afgørende. Så i globale splines er de grundlæggende splines ikke-nul på hele interpolationssegmentet. Selvom det er værd at bemærke, at de med en vis nøjagtighed (tilstrækkelig til mange tekniske beregninger) kan betragtes som lokale. For lokale splines er bredden af ​​basisfunktionerne lille (fire fragmenter for kubiske hermitiske splines). Dette påvirker i høj grad effektiviteten af ​​beregninger og implementeringsomkostninger.

Præsentationsform . Funktioner, der definerer fragmenter af en spline, afhænger som regel af mange parametre, på grund af hvilke de ændrer deres form. Parameterværdierne på hvert af fragmenterne er individuelle. Disse parametre kan specificere en specifik spline. For polynomielle splines er disse polynomielle koefficienter. Så en spline kan repræsenteres af et sæt funktionsparametre på hvert af fragmenterne. Lad os kalde denne repræsentation per fragment. En sådan fremstilling er illustrativ og har ofte en klar fysisk betydning. Men antallet af parametre er for stort. Så for en kubisk spline skal du have 4 * (r-1) parametre ( r  er antallet af spline noder). Denne repræsentation opnås som et resultat af ubestemt integration af et fragment af den oprindelige splinedifferentialligning og kaldes den analoge stykkevise polynomieform (pp-form) i analogi med polynomiale splines. For eksplicit at udtrykke koefficienterne i form af de allerede kendte værdier af koordinaterne for knudepunkterne, bruges en nedbrydning af en lignende stykkevis polynomieform til grundlæggende funktioner ved at substituere den i Hermite-grænsebetingelserne (grænsebetingelser for et splinefragment betingelser for interpolation og afhængighed af derivater). Resultatet er den grundlæggende form (B-form) af spline. Denne repræsentation af en spline er meget mere kompakt og kan skrives i form af grundlæggende spline-funktioner i formen:

,

hvor  er de grundlæggende splinefunktioner (normalt lokale),  er numeriske koefficienter, der specificerer vægten af ​​basisfunktionerne i dannelsen af ​​spline, hvis fysiske betydning er de generaliserede (lineære og vinkelmæssige) forskydninger af metallinealen ved knuderne . Antallet af parametre, der definerer spline er lig med antallet af spline noder. Der er en sammenhæng mellem parametrene for funktionen på fragmentet og koefficienterne for polynomial-spline, hvilket gør det muligt at finde andre med nogle koefficienter, selvom formlerne kan være ret komplekse.

Transformationen af ​​en lignende stykkevis polynomiumform af splinerepræsentationen til grundformen reducerer rækkefølgen af ​​systemet af lineære algebraiske ligninger til at finde ukendte splinekoefficienter, da de er delvist udtrykt i form af allerede kendte parametre - koordinaterne for givne punkter ( noder), hvilket kan reducere beregningsomkostningerne betydeligt på grund af evnen til at anvende økonomiske løsningsmetoder, såsom den algebraiske sweep-metode eller varianter af Gauss-metoden for sparsomme (tape) matricer med valget af det førende element i søjlen.

Indholdet af spline-koefficienterne . Som bemærket i det foregående afsnit bestemmes indholdet af spline-parametrene i fragmentrepræsentationen af ​​funktionstypen. Med en polynomiel repræsentation bør man udskille tilfældet, når koefficienterne har samme fysiske betydning som inputdataene. Det vil sige, at koefficienterne er værdierne af spline ved noderne. Denne form kaldes Lagrange, analogt med Lagrange-polynomiet. Det skal bemærkes, at de grundlæggende splines i denne form er lig med én ved den centrale knude og nul ved alle de andre.

Interpolationskoefficienterne og funktionelle splines indeholder altid værdierne af koordinaterne for de givne punkter, som følger af interpolationsbetingelserne. Og også, afhængigt af betingelserne for at stole på derivater, indeholder de værdierne af de tilsvarende derivater på grænserne for spline-fragmentet (ved knudepunkter). Som regel, når man skriver sådanne betingelser, er et spline-fragment på dets grænser baseret på den første eller anden afledte. Skævningen af ​​spline-fragmentet på de første afledte afspejler klart den fysiske betydning, da de første afledte (tangentielle) er vinkelforskydningerne (rotationerne) af metallinealen i forhold til den tværgående akse. At stole på de anden afledede af spline bruges til at forenkle formen for beregningsudtryk for at reducere fejl, når de manuelt omskrives, men i nogle tilfælde kan brugen af ​​sådanne udtryk under eventuelle yderligere betingelser føre til trivielle løsninger.

Særlige splines . I nogle tilfælde betragtes funktioner, der ligger tæt på grænsen mellem splines og almindelige funktioner, samt splines og klumpede funktioner. For eksempel er disse splines bestående af to fragmenter. De har en forenklet version af konstruktionen, men der skal lægges særlig vægt på randbetingelserne.

Særlige splines omfatter en multidimensionel ortogonal normaliseret spline, der beskriver en ikke-lineær model af en kunstig neuron (Khakimovs spline-model). bruges til at modellere en funktions afhængighed af et sæt af flere argumenter.

Se også

Noter

  1. ↑ En tegners spline . Hentet 18. april 2012. Arkiveret fra originalen 30. november 2009.

Litteratur

Links