Matematik i det antikke Grækenland

Begrebet oldgræsk matematik dækker over præstationerne af græsktalende matematikere, der levede mellem det 6. århundrede f.Kr. og det 6. århundrede f.Kr. e. og 5. århundrede e.Kr. e.

Matematik som videnskab blev født i det antikke Grækenland [1] [2] . I de moderne lande i Hellas blev matematik enten brugt til daglige behov (beregninger, målinger) eller omvendt til magiske ritualer, der havde til formål at finde ud af gudernes vilje ( astrologi , numerologi osv.). Grækerne nærmede sig sagen fra en anden vinkel: de fremsatte tesen " Tal regerer verden ." Eller, som Galileo formulerede den samme idé to årtusinder senere: " naturens bog er skrevet på matematikkens sprog " [3] .

Grækerne testede gyldigheden af ​​denne afhandling på de områder, hvor de lykkedes: astronomi , optik , musik , geometri og senere mekanik . Imponerende succeser blev noteret overalt: den matematiske model besad ubestridelig forudsigelseskraft. Samtidig skabte grækerne matematikkens metodologi og fuldendte dens transformation fra et sæt semi-heuristiske algoritmer til et integreret system af viden. For første gang blev den deduktive metode grundlaget for dette system , der viser, hvordan man udleder nye sandheder fra kendte sandheder, og logikken i afledningen garanterer sandheden af ​​de nye resultater. Den deduktive metode giver dig også mulighed for at identificere ikke-oplagte sammenhænge mellem begreber, videnskabelige fakta og matematikområder.

Kilder

De fleste af de gamle værker om matematik har ikke overlevet den dag i dag og kendes kun fra referencer til senere forfattere og kommentatorer, primært Pappus af Alexandria (3. århundrede), Proclus (5. århundrede), Simplicius (6. århundrede) osv. Blandt de overlevende værker i den første skal igen kaldes " Begyndelsen " af Euklid og individuelle bøger af Aristoteles , Archimedes , Apollonius og Diophantus .

Indledende periode

Indtil det 6. århundrede f.Kr. e. Græsk matematik skilte sig ikke ud på nogen måde. Som sædvanlig blev tælling og måling mestret. Græsk nummerering (registrering af tal), som senere romersk, var additiv, det vil sige, at tallenes numeriske værdier blev lagt sammen. Dens første version ( Attic eller Herodian ) indeholdt bogstavtegn for 1, 5, 10, 50, 100 og 1000. I overensstemmelse hermed blev der arrangeret et tællebræt ( kuleramme ) med småsten. Begrebet beregning (beregning) kommer i øvrigt fra calculus  - en småsten. En speciel hullet sten betegnet nul.

Senere (startende fra det 5. århundrede f.Kr.) blev alfabetisk nummerering vedtaget i stedet for den attiske nummerering - de første 9 bogstaver i det græske alfabet betegnede tallene fra 1 til 9, de næste 9 bogstaver var tiere, og resten var hundreder. For ikke at forveksle tal og bogstaver blev der tegnet en tankestreg over tallene. Tal større end 1000 blev skrevet positionelt, hvilket markerer yderligere cifre med et særligt streg (nederst til venstre). Særlige mærker gjorde det muligt at afbilde tal større end 10.000.

I det VI århundrede f.Kr. e. det "græske mirakel" begynder: to videnskabelige skoler dukker op på én gang - ionerne ( Thales of Miletus , Anaximenes , Anaximander ) og pythagoræerne . Vi kender til resultaterne af tidlige græske matematikere hovedsageligt fra referencer til senere forfattere, hovedsagelig kommentatorer om Euklid , Platon og Aristoteles .

Thales , en velhavende købmand, lærte babylonsk matematik og astronomi godt, sandsynligvis under handelsrejser. Ionerne gav ifølge Eudemus af Rhodos de første beviser for flere simple geometriske sætninger  - for eksempel at lodrette vinkler er lige store [4] . Imidlertid tilhører hovedrollen i skabelsen af ​​gammel matematik pythagoræerne .

Pythagoras skole

Pythagoras , grundlæggeren af ​​skolen, er en legendarisk person, og det er umuligt at verificere pålideligheden af ​​oplysningerne om ham, der er kommet ned til os. Tilsyneladende rejste han ligesom Thales meget og studerede også med de egyptiske og babyloniske vismænd. Vender tilbage omkring 530 f.Kr. e. til Magna Graecia (en region i det sydlige Italien) grundlagde han noget som en hemmelig åndelig orden i byen Croton . Det var ham, der fremsatte afhandlingen " Numre styrer verden ", og med enestående energi var engageret i dens begrundelse. I begyndelsen af ​​det 5. århundrede f.Kr e. efter en mislykket politisk tale blev pythagoræerne fordrevet fra det sydlige Italien, og foreningen ophørte med at eksistere, men doktrinens popularitet fra spredning steg kun. Pythagoras skoler dukkede op i Athen , på øerne og i de græske kolonier, og deres matematiske viden, strengt bevogtet fra fremmede, blev allemandseje [5] .

Mange af de præstationer, der tilskrives Pythagoras, er sandsynligvis i virkeligheden hans elevers fortjeneste. Pythagoræerne var engageret i astronomi , geometri , aritmetik (talteori) , skabte musikteorien . Pythagoras var den første europæer, der forstod betydningen af ​​den aksiomatiske metode, hvilket klart fremhævede de grundlæggende antagelser ( aksiomer , postulater) og sætningerne udledt fra dem [5] .

Pythagoræernes geometri var hovedsageligt begrænset til planimetri (at dømme efter de senere værker, der er kommet ned til os, meget fuldstændigt forklaret) og endte med beviset for " Pythagores sætning ". Selvom regulære polyedre også er blevet undersøgt .

En matematisk musikteori blev bygget . Musikalsk harmonis afhængighed af forholdet mellem heltal (strenglængder) var et stærkt pythagoræisk argument til fordel for verdens oprindelige matematiske harmoni , sunget af Kepler 2000 år senere . De var sikre på, at " tallenes elementer er elementerne i alle ting ... og at hele verden som helhed er harmoni og tal " [6] . Grundlaget for alle naturlovene, mente pythagoræerne, er aritmetik, og med dens hjælp kan man trænge ind i alle verdens hemmeligheder. I modsætning til geometri var deres aritmetik ikke bygget på et aksiomatisk grundlag, de naturlige tals egenskaber blev betragtet som selvindlysende, men beviserne for sætninger blev også støt udført her. Begreberne nul og negative tal er endnu ikke opstået [5] .

Pythagoræerne var langt fremme i teorien om delelighed , men de var alt for glade for " trekantede ", " firkantede ", " perfekte " osv. tal, som tilsyneladende fik mystisk betydning. Tilsyneladende var reglerne for konstruktion af " pythagoræiske tripler " allerede åbne dengang; udtømmende formler for dem er givet i Diophantus . Teorien om de største fælles divisorer og mindste fælles multipla er også tilsyneladende af pythagoræisk oprindelse. De byggede en generel teori om brøker (forstået som forhold ( forhold ), da enheden blev betragtet som udelelig), lærte at udføre sammenligning (reducere til en fællesnævner) og alle 4 regneoperationer med brøker. Pythagoræerne kendte, længe før Euklids Principia , opdelingen af ​​heltal med en rest og den " euklidiske algoritme " til at finde den største fælles divisor i praksis . Fortsatte fraktioner som et selvstændigt objekt blev kun udpeget i moderne tid, selvom deres partielle partialer naturligt opnås i Euklids algoritme [5] .

Den første revne i den pythagoræiske model af verden var deres eget bevis på irrationalitet , formuleret geometrisk som incommensurability af diagonalen af ​​en firkant med dens side (5. århundrede f.Kr.). Umuligheden af ​​at udtrykke længden af ​​et segment med et tal satte spørgsmålstegn ved Pythagoras hovedprincip. Selv Aristoteles, som ikke delte deres synspunkter, udtrykte sin forbløffelse over, at der er ting, der "ikke kan måles med det mindste mål" [7] .

Den talentfulde pythagoræer Theaetetus forsøgte at redde situationen . Han (og senere Eudoxus ) foreslog en ny talforståelse, som nu blev formuleret i geometrisk sprog, og problemer med sammenlignelighed opstod ikke. Theaetetus udviklede også en komplet teori om delelighed og en klassifikation af irrationaliteter. Tilsyneladende kendte han også begrebet et primtal og aritmetikkens grundsætning [8] .

Efterfølgende, allerede i moderne tid, viste det sig, at konstruktionen af ​​numerisk algebra på basis af geometri var en strategisk fejl hos pythagoræerne. For eksempel, fra et synspunkt af geometri, udtryk og ikke engang havde en geometrisk fortolkning, og derfor ikke gav mening; det samme gælder for negative tal. Senere gjorde Descartes det modsatte, idet han byggede geometri på basis af algebra, og gjorde enorme fremskridt [9] .

Pythagoræernes numerologiske mystik førte ofte til vilkårlige og spekulative konklusioner. For eksempel var de sikre på eksistensen af ​​den usynlige Anti-Jord, da antallet af himmelsfærer (den lavere himmel, Solen, Månen og 6 planeter) uden den ikke udgør det perfekte tal 10. Generelt, trods overfloden af ​​mystik og excentriske fordomme, er pythagoræernes fortjenester i udviklingen og systematiseringen af ​​gammel matematisk viden uvurderlige.

5. århundrede f.Kr e. — Zeno, Democritus

I det 5. århundrede f.Kr e. der var nye udfordringer for pythagoræernes optimisme.

Det første af disse er antikkens tre klassiske problemer : fordobling af terningen , trisektion af vinklen og firkantning af cirklen . Grækerne overholdt strengt kravet: alle geometriske konstruktioner skal udføres ved hjælp af et kompas og lineal, det vil sige ved hjælp af perfekte linjer - lige linjer og cirkler. Det var dog ikke muligt at finde en løsning på disse problemer ved kanoniske metoder. Algebraisk betød dette, at ikke alle tal kan opnås ved at bruge 4 aritmetiske operationer og tage kvadratroden.

Det fremragende pythagoræiske geometer, forfatteren til de præ-euklidiske " principper ", det første sæt af geometrisk viden, Hippokrates fra Chios , var uden held involveret i at kvadrere cirklen .

De to første problemer er reduceret til kubiske ligninger . Arkimedes gav senere en generel løsning på sådanne ligninger ved hjælp af keglesnit , men mange kommentatorer fortsatte med at finde sådanne metoder uacceptable. Hippias af Elis ( 5. århundrede f.Kr. ) viste, at en quadratrix (den første transcendentale kurve i matematikkens historie) var nyttig til at tredele en vinkel ; i øvrigt løser hun også problemet med at kvadrere cirklen ( Dinostratus , IV århundrede f.Kr.).

Ud over disse problemer udforskede grækerne aktivt "cirkeldelingsproblemet": hvilke regulære polygoner kan bygges med et kompas og en lineal. Uden besvær var det muligt at opdele cirklen i 3, 4, 5, 15 dele og også fordoble de anførte værdier. Men ingen lykkedes med at konstruere en sekskant med kompas og lineal. Som det viste sig, får vi her også en kubikligning. Den komplette teori blev først offentliggjort af Gauss i det 19. århundrede.

Det andet slag til pythagorismen blev givet af Zeno af Elea , der tilbyder et andet emne for århundreder gamle overvejelser af matematikere. Han udtrykte mere end 40 paradokser (aporier) , hvoraf de mest berømte er tre aporier om bevægelse. På trods af gentagne forsøg på at tilbagevise og endda latterliggøre dem, er de ikke desto mindre stadig genstand for seriøs analyse. De berører de mest delikate spørgsmål om matematikkens grundlag - endelighed og uendelighed , kontinuitet og diskrethed . Matematik blev dengang betragtet som et middel til erkendelse af virkeligheden, og essensen af ​​stridighederne kunne udtrykkes som utilstrækkeligheden af ​​en kontinuerlig, uendeligt delbar matematisk model af fysisk diskret stof [10] .

I slutningen af ​​det 5. århundrede f.Kr. e. levede en anden fremragende tænker - Demokrit . Han er berømt ikke kun for skabelsen af ​​begrebet atomer . Archimedes skrev, at Demokrit fandt volumen af ​​pyramiden og keglen , men gav ikke bevis for sine formler. Sandsynligvis havde Arkimedes i tankerne beviset ved udmattelse , som endnu ikke eksisterede på det tidspunkt.

4. århundrede f.Kr e. — Platon, Eudoxus

Allerede i begyndelsen af ​​det IV århundrede f.Kr. e. Græsk matematik var langt foran alle sine lærere, og dens hurtige udvikling fortsatte. I 389 f.Kr. e. Platon grundlagde sin skole i Athen - det berømte Akademi . Matematikere, der sluttede sig til Akademiet, kan opdeles i to grupper: dem, der har modtaget deres matematiske uddannelse uden for Akademiet, og studerende på Akademiet. Blandt de første var Theaetetus af Athen , Archytas af Tarentum og senere Eudoxus af Cnidus ; blandt de andet er brødrene Menechmus og Dinostratus .

Platon selv foretog ikke specifik matematisk forskning, men offentliggjorde dybe ræsonnementer om matematikkens filosofi og metodologi. Og Platons elev, Aristoteles , efterlod uvurderlige noter om matematikkens historie til os.

Eudoxus fra Knidos var den første til at skabe en geocentrisk model af armaturernes bevægelse med 27 kugler. Dette design blev senere udviklet af Apollonius , Hipparchus og Ptolemæus , som øgede antallet af sfærer til 34 og introducerede epicykler. Han ejer også to fremragende opdagelser: den generelle teori om relationer (den geometriske model af reelle tal) og gammel analyse - metoden til udmattelse .

3. århundrede f.Kr e. — Euklid, Archimedes, Apollonius

Efter Alexander den Stores erobringer blev Alexandria af Egypten det videnskabelige centrum for den antikke verden. Ptolemæus I grundlagde Mouseion (Musernes Hus) i den og inviterede de mest fremtrædende videnskabsmænd dertil. Det var det første statsakademi i den græsktalende verden med det rigeste bibliotek (hvis kerne var Aristoteles' bibliotek), som i det 1. århundrede f.Kr. e. bestod af 70.000 bind.

Alexandriske videnskabsmænd kombinerede babyloniske og egyptiske matematikeres regnekraft og ældgamle viden med hellenernes videnskabelige modeller. Plan og sfærisk trigonometri, statik og hydrostatik, optik, musik osv. har gjort betydelige fremskridt. Eratosthenes specificerede længden af ​​meridianen og opfandt sin berømte " sigte ". I matematikkens historie kendes tre store antikkens geometre , og frem for alt - Euklid med sine " principper ". The Thirteen Books of Beginnings  er grundlaget for gammel matematik, resultatet af dens 300-årige udvikling og grundlaget for yderligere forskning. Denne bogs indflydelse og autoritet har været enorm i to tusinde år.

Grundlaget for matematik beskrevet af Euklid blev udvidet af en anden stor videnskabsmand - Archimedes , en af ​​de få matematikere fra antikken, der var lige villige til at engagere sig i både teoretisk og anvendt videnskab. Han, især efter at have udviklet udmattelsesmetoden , var i stand til at beregne arealer og volumener af talrige figurer og kroppe, der tidligere ikke havde bukket under for matematikeres indsats.

Den sidste af de tre store var Apollonius af Perga , forfatteren til en dyb undersøgelse af keglesnit .

Den antikke videnskabs tilbagegang

Efter Apollonius (fra det 2. århundrede f.Kr.) begyndte et fald i oldtidens videnskab. Nye dybe ideer dukker ikke op. I 146 f.Kr. e. Rom erobrer Grækenland, og i 31 f.Kr. e. — Alexandria.

Blandt de få præstationer:

• opdagelse af conchoiden ( Nycomedes );
• Herons velkendte formel for arealet af en trekant ( 1. århundrede e.Kr.);
• en meningsfuld undersøgelse af sfærisk geometri af Menelaos af Alexandria ;
• færdiggørelse af Ptolemæus' geocentriske model af verden ( 2. århundrede e.Kr.), hvilket krævede en dyb udvikling af plan og sfærisk trigonometri .

Det er nødvendigt at bemærke aktiviteten af ​​Pappus af Alexandria ( 3. århundrede ). Det var kun takket være ham, at oplysninger om gamle videnskabsmænd og deres værker nåede os.

På baggrund af generel stagnation og tilbagegang skiller den gigantiske figur af Diophantus  , den sidste af de store gamle matematikere, "algebraens fader", sig skarpt ud.

Efter det 3. århundrede e.Kr. e. den alexandrinske skole eksisterede i omkring 100 år - kristendommens ankomst og hyppige uroligheder i imperiet reducerede markant interessen for videnskab. Separate videnskabelige værker optræder stadig i Athen, men i 529 lukkede Justinian Athens Akademi som et arnested for hedenskab.

Nogle videnskabsmænd flyttede til Persien eller Syrien og fortsatte deres arbejde der. Fra dem blev de overlevende skatte af gammel viden modtaget af videnskabsmænd i Indien og islamiske lande .

Konklusion

Græsk matematik rammer først og fremmest skønheden og rigdommen af ​​dens indhold. Mange videnskabsmænd fra New Age bemærkede, at de lærte motiverne til deres opdagelser fra de gamle. Analysens rudimenter er mærkbare hos Archimedes, algebraens rødder hos Diophantus, analytisk geometri hos Apollonius osv. Men dette er ikke engang hovedpointen. To præstationer af græsk matematik overlevede langt deres skabere [11] .

For det første byggede grækerne matematik som en holistisk videnskab med deres egen metodologi baseret på klart formulerede logiske love.

For det andet proklamerede de, at naturlovene er forståelige for det menneskelige sind, og matematiske modeller er nøglen til deres viden.

I disse to henseender er oldtidens matematik ret moderne.

Noter

1. ↑ Petrov Yu. P. Videnskabens historie og filosofi. Matematik, computerteknologi, informatik. SPb.: BHV-Peterburg, 2005. ISBN 5-94157-689-7 , 448 s., s. 9.
2. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , s. 232..
3. ↑ Schmutzer E., Schutz W. Galileo Galilei . - M . : Mir, 1987. - S.  116 . - 140 sek.
4. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , s. 240..
5. ↑ 1 2 3 4 Prasolov, 2018-2019 , s. 38-43.
6. ↑ Aristoteles . Metafysik. Oversættelse og noter af A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, s. 26-27.
7. ↑ Aristoteles . Metafysik. Oversættelse og noter af A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, s. 22.
8. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , s. 260..
9. ↑ John J. O'Connor og Edmund F. Robertson . Descartes  er  en biografi på MacTutor- arkivet .
10. ↑ Se Zenos Aporia#moderne fortolkning for flere detaljer .
11. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , s. 436-437..

Litteratur

• Bashmakova I. G. Forelæsninger om matematikkens historie i det antikke Grækenland // Historisk og matematisk forskning . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nr. 11 . - S. 225-440 .
• Van der Waerden . Awakening Science. Matematik i det gamle Egypten, Babylon og Grækenland. — M .: Nauka, 1959. — 456 s.
• Vygodsky M. Ya. Aritmetik og algebra i den antikke verden. - M . : Nauka, 1967.
• Glazer G.I. Matematikkens historie i skolen. - M . : Uddannelse, 1964. - 376 s.
• Depman I. Ya. Aritmetikkens historie. En guide til lærere. Ed. sekund. - M .: Uddannelse, 1965.
• Matematikkens historie / Redigeret af A. P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka , 1970. - T. I.
• Kline M. Matematik. Tab af sikkerhed . — M .: Mir, 1984. — 446 s.
• Neugebauer O. Nøjagtige videnskaber i antikken. - M., 1968.
• Prasolov VV Matematikkens historie, i to bind. - M. : MTSNMO , 2018-2019.
  • Bind 1: 296 s. ISBN 978-5-4439-1275-2 , 978-5-4439-1276-9, 2018.
  • Bind 2: 304 s. ISBN 978-5-4439-1275-2 , 978-5-4439-1277-6, 2019.
• Rosenfeld B. A. Apollonius af Perga. (2004)
• Rybnikov K. A. Historie om matematik. - M. : Red. Moscow State University, 1994. - 496 s. — ISBN 5-211-02068-5 .
• Læser om matematikkens historie. Aritmetik og algebra. Talteori. Geometri / Udg. A. P. Yushkevich . - M . : Uddannelse, 1976. - 318 s.

Links

• Mathematics // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron  : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.