Vinkel tresektion

Trisektion af en vinkel - problemet med at dele en given vinkel i tre lige store dele ved at konstruere et kompas og en lineal . Med andre ord er det nødvendigt at konstruere trisektorerne af vinklen - strålerne deler vinklen i tre lige store dele.

Sammen med problemerne med at kvadrere en cirkel og fordoble en terning , er det et af de klassiske uløselige konstruktionsproblemer kendt siden det antikke Grækenland .

Umuligheden af byggeri blev bevist af Vanzel i 1837. På trods af dette offentliggøres i pressen [1] [2] [3] [4] og endda i nogle videnskabelige tidsskrifter [5] fra tid til anden fejlagtige måder at udføre tredeling af en vinkel med et kompas og en lineal på.

Kan ikke bygge

P. L. Vanzel beviste i 1837, at tredelingen af en vinkel kun kan løses, når ligningen $\alfa$

x^{3}-3x-2\cos \alpha =0.

opløselig i firkantede radikaler .

For eksempel,

Trisektion er mulig for synsvinkler, hvis hele tallet ikke er deleligt med 3. ${2\pi \over n},$ $n$
Trisektion af en spids vinkel i en retvinklet trekant med heltalsider, hvis længder er coprimtal, er mulig, hvis og kun hvis hypotenusen er terningen af et heltal [6] .

Konstruktioner med yderligere værktøjer

Selvom tredeling af en vinkel generelt ikke er gennemførlig med et kompas og en retlinje, er der kurver , som denne konstruktion kan udføres med. Pascals snegl eller trisectrix, quadratrix (også kaldet trisectrix i oldtiden), Nicomedes' conchoid , keglesnit , Archimedes' spiral [7] .
Trisektion er mulig, når den er bygget med flad origami . [otte]

Trisektion af en vinkel med nevsis

Følgende konstruktion ved hjælp af nevsis er foreslået af Archimedes .

Lad os antage, at der er en vinkel (fig. 1). Det er nødvendigt at konstruere en vinkel, hvis værdi er tre gange mindre end den givne: . $\alpha =POM$ $\beta$ $\alpha =3\beta$

Lad os konstruere en cirkel med vilkårlig radius med centrum i punktet . Lad siderne af vinklen skære cirklen i punkterne og . Lad os fortsætte siden af det originale hjørne. Lad os tage en lineal af nevsis , lægge et diastema på det og bruge en lige linje som en guide, et punkt som en pol og en halvcirkel som en mållinje, bygger vi et segment . Vi får en vinkel svarende til en tredjedel af den oprindelige vinkel . $-en$ $O$ $P$ $M$ $OM$ $-en$ $OM$ $P$ $AB$ $PAM$ $\alfa$

Bevis

Overvej en trekant (fig. 2). Siden , Så er trekanten ligebenet, og vinklerne ved dens base er lige store: . Vinkel som en udvendig vinkel af en trekant er . $ABO$ $AB=BO=a$ $\angle BAO=\angle BAO=\beta$ $\angle PBO$ $ABO$ $2\beta$

Trekanten er også ligebenet, vinklerne ved dens base er lige store , og vinklen ved dens spids . På den anden side . Derfor, , hvilket betyder . $BPO$ $2\beta$ $\gamma =180^{\circ }-4\beta$ $\gamma =180^{\circ }-\beta -\alpha$ $180^{\circ }-4\beta =180^{\circ }-\beta -\alpha$ $\alpha =3\beta$

Se også

Pascals snegl
Matematik i det antikke Grækenland
Morleys sætning er en egenskab for trisektorerne af vinklerne i en trekant.
Nevsis er en konstruktionsmetode, der giver dig mulighed for at udføre tredeling af en vinkel (det er ikke en løsning på problemet i den klassiske formulering, da den i stedet for et kompas bruger en lineal, der glider nær stangen).

Noter

↑ S. Kudryashov. Euklids problem // Trud : avis. - Ung Garde , 2002. - Nr. 073 . (Russisk)
↑ N. A. Dollezhal . Vinkel tresektion // Videnskab og liv . - 1998. - Nr. 3 . Arkiveret fra originalen den 29. december 2007. (Russisk)
↑ K. Popov. Vinkel tresektion // Ung tekniker . - 1994. - Nr. 12 . - S. 62-64 . Arkiveret fra originalen den 14. juli 2014.
↑ Tidligere matematiklærer foreslår løsning på et uløseligt problem . russisk avis. Hentet 29. april 2020. Arkiveret fra originalen 29. april 2020. (Russisk)
↑ Zharkov Vyacheslav Sergeevich. Opdeling af en vinkel i tre lige store dele ved hjælp af et kompas og en lineal (vinkel tresnit) // SCI-ARTIKEL. - 2016. - Nr. 31 . Arkiveret fra originalen den 13. oktober 2017.
↑ Chang, Wen D.; Gordon, Russell A. Tredelte vinkler i pythagoræiske trekanter. amer. Matematik. Månedsskrift 121 (2014), Nr. 7, 625-631.
↑ Tre berømte antikkens problemer, 1963 , s. 33-45..
↑ Petrunin A. Flad origami og konstruktion // Kvant . - 2008. - Nr. 1 . - S. 38-40 . (Russisk)

Litteratur

Belozerov S. E. Fem berømte problemer fra antikken. Historie og moderne teori. — Rostov n/a. , 1975.
Matematikkens historie / Red. A. P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. 1. Fra oldtiden til begyndelsen af den nye tidsalder.
Prasolov VV Tre klassiske konstruktionsproblemer . - M. : Nauka, 1992. - T. 62. - 80 s. - ( Populære foredrag om matematik ).
Chistyakov V.D. Tre berømte problemer fra antikken. - M . : Stat. uch.-ped. forlag under RSFSR's undervisningsministerium, 1963. - S. 29-45. — 96 s. .
Shchetnikov A. I. Hvordan blev nogle løsninger på tre klassiske problemer fra antikken fundet? // Matematisk uddannelse. - 2008. - Nr. 4 (48) . - S. 3-15 .
Karpov Nikolay. Indretning til opdeling af en spids vinkel i tre lige store dele // V.O.F.E.M. . - 1891. - nr. 130 . - S. 218-219 . (Russisk)

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	J9U : 987007551116505171 LCCN : sh85137916

Matematik i det antikke Grækenland
Matematikere	Autolycus Anaxagoras Anfimy Apollonius Aristark Aristaeus Archimedes archite bion Boethius Bryson af Heracles Gemin Hejre Hypatia Hipparchus flodheste Hippies Hippokrates Hypsikel Demokrit Dicaearchus Dinostrat Diocles Diophantus Domnin Evdem Eudoxus Euklid Evtokii Zenodor Zeno af Sidon Zeno af Elea Isidore Kallippus Karpe Cleomedes Conon Xenokrates Ctesibius Lev Matematiker Marin Menelaos Menechmus Nicomachus nycomedes Papp Perseus Pythagoras Porfiry Posidonius Proclus Ptolemæus Fredfyldt Symplicius Sosigen Theon af Alexandria Theon af Smyrna Theaetetus Timarid Thales Theano Theodor Theodosius Philolaus Chrysippus enopid Eratosthenes
Afhandlinger	Almagest Introduktion til aritmetik Aritmetik Arkimedes' tyreproblem Kalkulation af sandkorn Begyndelser Om den bevægende sfære Om kuglen og cylinderen Palimpsest af Archimedes Arbejde med keglesnit
Under indflydelse	Babylonsk matematik gammel egyptisk matematik
Indflydelse	Europæisk matematik Indisk matematik Middelalderlig islamisk matematik
borde	Kronologisk tabel over græske matematikere
Opgaver	Apollonius' problem Kvadring af cirklen Vinkel tresektion Fordobling af terningen