Aporia Zeno

Aporierne "Dichotomy" og "Arrow" minder om følgende paradoksale aforismer, der tilskrives den førende repræsentant for den gamle kinesiske "navneskole" ( ming jia ) Gongsun Long (midten af ​​det 4. århundrede f.Kr.  - midten af ​​det tredje århundrede f.Kr. ):

• "I den hurtige [flugt] af en pil er der et øjebliks fravær af både bevægelse og stop."
• "Hvis en pind [længde] af en chi tages væk hver dag med det halve, vil den ikke blive færdig, selv efter 10.000 generationer."

Aristoteles' kritik af aporierne

Aristoteles ( 4. århundrede f.Kr. ) anså stof for at være kontinuerligt og uendeligt delbart. I bog IV (kapitel 2, 3), VI (kapitel 2, 9) og VIII (kapitel 8) i hans "Fysik" analyserer og afviser han Zenons argumenter [23] . Med hensyn til bevægelsens aporier understreger Aristoteles, at selvom et tidsinterval kan opdeles på ubestemt tid, kan det ikke bestå af isolerede punkter-øjeblikke, og det er umuligt at korrelere uendelig tid med denne uendelige delelighed:

Zeno tager fejl. Hvis enhver [krop] altid - siger han - er i hvile, når den er på et lige sted [til sig selv], og en bevægelig [krop] i øjeblikket "nu" altid er [på et sted lig med sig selv], så flyvende pil er ubevægelig. Men det er ikke sandt, for tiden består ikke af udeleligt "nu", og heller ikke nogen anden størrelse.
Der er fire argumenter fra Zeno om bevægelse, som giver store vanskeligheder for dem, der forsøger at løse dem. Den første handler om ikke-eksistensen af ​​bevægelse med den begrundelse, at den bevægende [krop] skal nå halvdelen, før den når enden.<…> Den anden er den såkaldte "akilles": den består i, at den langsomste [ skabning] kan aldrig overhales i løbet af den hurtigste, for forfølgeren skal først komme til det sted, hvorfra undvigeren allerede har bevæget sig, så den langsommere altid skal være foran [forfølgeren] et stykke [afstand] ]. Og dette ræsonnement er baseret på at dele i to, men adskiller sig [fra den foregående] ved, at den optagne værdi ikke er delt i to lige store dele.<...>
Den tredje, som lige er blevet nævnt, er, at den flyvende pil står stille; det følger af antagelsen, at tiden består af [særskilte] "nuer"; hvis dette ikke genkendes, vil syllogismen mislykkes.

Diogenes rapporterer, at Aristoteles og Heraclides af Pontus havde skrifter kaldet "Mod Zenons lære", men de har ikke overlevet.

Historikere og kommentatorers meninger om Aristoteles' argumenter var delte: nogle anså dem for tilstrækkelige, andre kritiserede dem for at være overbevisende og mangle dybde. Især har Aristoteles ikke forklaret, hvordan en begrænset tidsperiode kan bestå af et uendeligt antal dele [16] . V. Ya. Komarova skriver [24] :

Aristoteles' holdning er klar, men ikke upåklagelig - og frem for alt fordi han ikke selv formåede at opdage logiske fejl i beviserne, ej heller at give en tilfredsstillende forklaring på paradokserne ... Aristoteles undlod at tilbagevise argumenterne af den simple grund, at Zenos beviser er logisk upåklagelig.

Atomistisk tilgang

Den første antikke græske atomist , Leucippus , var en elev af Zeno og en af ​​lærerne til en anden stor atomist, Demokrit . Den mest detaljerede fremstilling af oldtidens atomisme er Epicurus -systemet , IV - III århundreder f.Kr. e.  - kom til os i præsentationen af ​​Lucretius Cara . I modsætning til Aristoteles betragtede Epicurus verden for at være diskret , bestående af evigt bevægende udelelige atomer og tomhed. Af særlig interesse er det epikuriske begreb om isotaki , ifølge hvilket alle atomer bevæger sig med samme hastighed [25] . I betragtning af, at det i Epikurs verden er umuligt at måle noget mindre end et atom, følger det, at der også er et mindste målbart tidsinterval. Den matematiske idealisering af denne model repræsenterede enhver krop, figur eller linje som en forening af et uendeligt antal uendeligt små udelelige (denne tilgang som " metoden for udelelige " blev specielt udviklet i det 16. - 17. århundrede ).

Som en konsekvens bliver den observerede bevægelse fra kontinuert brat. Alexander af Aphrodisias , en kommentator om Aristoteles, opsummerede synspunkterne fra Epikurs tilhængere på denne måde: "Idet de hævder, at både rum, bevægelse og tid består af udelelige partikler, hævder de også, at et bevægeligt legeme bevæger sig gennem rummet, der består af af udelelige dele, og på hver er der ingen udelelige dele af bevægelsen, men kun resultatet af bevægelsen” [26] . En sådan tilgang devaluerer straks Zenos paradokser, da den fjerner alle uendeligheder derfra.

Diskussion i moderne tid

Kontroversen omkring de zenoniske aporier fortsatte ind i moderne tid. Indtil det 17. århundrede var der ingen interesse for aporia, og deres aristoteliske vurdering var generelt accepteret. Den første seriøse undersøgelse blev foretaget af den franske tænker Pierre Bayle , forfatter til den berømte Historical and Critical Dictionary ( 1696 ). I en artikel om Zeno kritiserede Bayle Aristoteles' holdning og kom til den konklusion, at Zeno havde ret: begreberne tid, forlængelse og bevægelse er forbundet med vanskeligheder, der er uoverkommelige for det menneskelige sind [27] .

Emner, der ligner aporier, bliver berørt i Kants antinomier . Hegel understregede i sin History of Philosophy, at Zenos dialektik af materien "ikke er blevet tilbagevist indtil i dag" ( ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt ) [2] . Hegel roste Zeno som "dialektikkens fader" ikke kun i den antikke, men også i den hegelianske betydning af ordet dialektik . Han bemærkede, at Zeno skelner mellem sanseligt opfattet og tænkelig bevægelse. Sidstnævnte beskrev Hegel i overensstemmelse med sin filosofi som en kombination og konflikt af modsætninger, som en begrebsdialektik [28] . Hegel besvarer ikke spørgsmålet om, hvordan denne analyse kan anvendes på reel bevægelse, og begrænser sig til konklusionen: "Zeno indså definitionerne i vores ideer om rum og tid og opdagede modsætningerne indeholdt i dem" [29]

I anden halvdel af det 19. århundrede var mange videnskabsmænd engageret i analysen af ​​Zenos paradokser og udtrykte en række forskellige synspunkter. Blandt dem [2] :

• den tyske filosof Eduard Zeller ;
• den franske videnskabshistoriker Paul Tannery , der betragtede Zenons paradokser som et argument i kritikken af ​​pythagorismen [30] ;
• den franske historiker Victor Brochard , ifølge hvem Zenos logik er upåklagelig;

og mange andre.

Moderne fortolkning

Ganske ofte var der (og dukker fortsat op) forsøg på matematisk at tilbagevise Zenos ræsonnement og derved "lukke emnet". For eksempel kan man ved at konstruere en række faldende intervaller for aporien "Akilles og skildpadden" nemt bevise, at den konvergerer, så Achilleus vil overhale skildpadden. I disse "gendrivelser" er essensen af ​​tvisten imidlertid erstattet. I Zenos aporier taler vi ikke om en matematisk model, men om reel bevægelse, og derfor er det meningsløst at begrænse analysen af ​​paradokset til intramatematisk ræsonnement – ​​Zeno sætter jo bare spørgsmålstegn ved idealiserede matematiske begrebers anvendelighed på reelle bevægelse [16] [31] . Om problemet med den rigtige bevægelses tilstrækkelighed og dens matematiske model, se næste afsnit i denne artikel.

D. Hilbert og P. Bernays i monografien "Fundamentals of Mathematics" ( 1934 ) bemærker om aporien "Akilles og skildpadden" [32] :

Normalt forsøger folk at komme uden om dette paradoks ved at argumentere for, at summen af ​​et uendeligt antal af disse tidsintervaller konvergerer og dermed giver et begrænset tidsinterval. Dette ræsonnement berører dog absolut ikke ét essentielt paradoksalt øjeblik, nemlig paradokset, som består i, at en eller anden uendelig række af begivenheder følger efter hinanden, en sekvens, hvis fuldendelse vi ikke engang kan forestille os (ikke kun fysisk, men i det mindste i det mindste). i princippet) , faktisk burde det stadig ende .

Seriøse undersøgelser af Zenos aporier overvejer de fysiske og matematiske modeller sammen. R. Courant og G. Robbins mener, at for at løse paradokser er det nødvendigt at uddybe vores forståelse af fysisk bevægelse markant [33] . Over tid passerer et bevægeligt legeme successivt alle punkter i sin bane, men hvis det for et interval af rum og tid, der ikke er nul, ikke er svært at angive intervallet efter det, så er det for et punkt (eller øjeblik) umuligt at angive punktet efter det, og dette overtræder rækkefølgen. "Der er stadig en uundgåelig divergens mellem den intuitive idé og det præcise matematiske sprog designet til at beskrive dets hovedlinjer i videnskabelige, logiske termer. Zenos paradokser afslører tydeligt denne uoverensstemmelse.

Gilbert og Bernays udtrykker den opfattelse, at essensen af ​​paradokser ligger i utilstrækkeligheden af ​​en kontinuerlig, uendeligt delbar matematisk model på den ene side og fysisk diskret stof på den anden side [34] : "vi behøver ikke nødvendigvis at tro, at den matematiske rum-tid repræsentation bevægelse har en fysisk betydning for vilkårligt små intervaller af rum og tid. Med andre ord opstår paradokser på grund af den ukorrekte anvendelse på virkeligheden af ​​de idealiserede begreber "rumspunkt" og "tidspunkt", som ikke har nogen analoger i virkeligheden, fordi ethvert fysisk objekt har ikke-nul dimensioner, ikke-nul varighed og kan ikke deles uendeligt.

Lignende synspunkter kan findes hos Henri Bergson og Nicolas Bourbaki . Ifølge Henri Bergson [35] :

De modsigelser, som den eleatiske skole peger på, vedrører ikke så meget selve bevægelsen som sådan, men den kunstige transformation af bevægelse, som vores sind udfører.

Bergson mente, at der er en grundlæggende forskel mellem bevægelse og tilbagelagt distance. Den tilbagelagte afstand kan opdeles vilkårligt, mens bevægelse ikke kan opdeles vilkårligt. Hvert trin af Achilleus og hvert trin af skildpadden skal betragtes som udeleligt. Det samme gælder for pilens flugt:

Sandheden er, at hvis en pil forlader punkt A og rammer punkt B, så er dens bevægelse AB lige så enkel, lige så uopløselig - fordi det er bevægelse - som spændingen af ​​buen, der skyder den.

Ifølge Nicolas Bourbaki [36] :

Spørgsmålet om rummets uendelige delelighed (uden tvivl stillet af de tidlige pythagoræere) førte, som du ved, til betydelige vanskeligheder i filosofien: fra eleatikken til Bolzano og Cantor var matematikere og filosoffer ude af stand til at løse paradokset - hvordan en endelig værdi kan bestå af et uendeligt antal punkter uden størrelse.

Bourbakis bemærkning betyder, at det er nødvendigt at forklare, hvordan en fysisk proces tager uendeligt mange forskellige tilstande på en begrænset tid. En mulig forklaring er, at rum-tid faktisk er diskret , det vil sige, at der er minimale dele ( kvanter ) af både rum og tid [37] . Hvis dette er tilfældet, så forsvinder alle uendelighedens paradokser i aporier. Richard Feynman udtalte [38] :

Teorien om, at rummet er kontinuert, forekommer mig forkert, fordi det [i kvantemekanikken] fører til uendeligt store mængder og andre vanskeligheder. Derudover besvarer den ikke spørgsmålet om, hvad der bestemmer størrelsen af ​​alle partikler. Jeg formoder stærkt, at simple repræsentationer af geometri, udvidet til meget små områder af rummet, er forkerte.

Diskret rum-tid blev aktivt diskuteret af fysikere tilbage i 1950'erne,  især i forbindelse med projekterne i en samlet feltteori [39] , men der blev ikke gjort væsentlige fremskridt ad denne vej.

S. A. Vekshenov mener, at for at løse paradokser er det nødvendigt at indføre en numerisk struktur, der er mere i overensstemmelse med intuitive fysiske begreber end Cantor- punktkontinuummet [40] . Et eksempel på en ikke-kontinuum teori om bevægelse blev foreslået af Sadeo Shiraishi [41] .

Maurice Kline skriver i sine kommentarer til Zenos aporier: "Det er vigtigt klart at indse, at naturen og den matematiske beskrivelse af naturen ikke er den samme ting, og forskellen skyldes ikke kun det faktum, at matematik er en idealisering .. Naturen er måske uforlignelig mere kompleks, eller dens struktur har ikke en særlig regelmæssighed” [42] .

" Mathematical Encyclopedic Dictionary " mener, at essensen af ​​aporias er ret dyb, og overvejer forskellige måder at løse problemet på [43] :

Det er muligt at bestride bekvemmeligheden eller tilstrækkeligheden af ​​den faktiske bevægelse af en almindeligt anvendt matematisk model. For at studere begrebet fysiske infinitesimale og uendeligt store mængder er der gentagne gange blevet forsøgt at konstruere en teori om reelle tal, hvor Arkimedes' aksiom ikke holder. Under alle omstændigheder er teorien om ikke-arkimediske ordnede felter en meget meningsfuld del af moderne algebra.

Det næste afsnit af denne artikel indeholder en mere detaljeret diskussion af dette emne.

Tilstrækkeligheden af ​​den analytiske teori om bevægelse

Den generelle teori om bevægelse med variabel hastighed blev udviklet i slutningen af ​​det 17. århundrede af Newton og Leibniz . Det matematiske grundlag for teorien er matematisk analyse , oprindeligt baseret på begrebet en uendelig størrelse. I diskussionen om, hvad der udgør en infinitesimal, er to gamle tilgange igen blevet genoplivet [44] [45] .

• Den første tilgang, som Leibniz tog, dominerede hele det attende århundrede . I lighed med oldtidens atomisme betragter han infinitesimals som en speciel slags tal (større end nul, men mindre end ethvert almindeligt positivt tal). En streng begrundelse for denne tilgang (den såkaldte ikke-standardanalyse ) blev udviklet af Abraham Robinson i det 20. århundrede . Grundlaget for Robinsons analyse er et udvidet talsystem ( hyperreale tal ). Robinsons infinitesimaler minder selvfølgelig kun lidt om gamle atomer, om ikke andet fordi de er uendeligt delbare, men de giver os mulighed for korrekt at betragte en kontinuerlig kurve i tid og rum som bestående af et uendeligt antal uendeligt små sektioner.
• Den anden tilgang blev foreslået af Cauchy i begyndelsen af ​​det 19. århundrede . Dens analyse er bygget på almindelige reelle tal , og begrebet en grænse bruges til at analysere kontinuerlige afhængigheder . En lignende udtalelse om berettigelsen af ​​analysen blev holdt af Newton , D'Alembert og Lagrange , selvom de ikke altid var konsekvente i denne udtalelse.

Begge tilgange er praktisk talt ækvivalente, men fra et fysiks synspunkt er den første mere bekvem; fysik lærebøger indeholder ofte sætninger som "lad dV  være et uendeligt lille volumen ...". På den anden side er spørgsmålet om, hvilken af ​​tilgangene der er tættest på den fysiske virkelighed, ikke blevet løst. I den første tilgang er det ikke klart, hvad infinitesimale tal svarer til i naturen. I det andet tilfælde hindres tilstrækkeligheden af ​​den fysiske og matematiske model af det faktum, at operationen med at passere til grænsen er en instrumentel forskningsteknik, der ikke har nogen naturlig analog. Især er det svært at tale om den fysiske tilstrækkelighed af uendelige serier, hvis elementer refererer til vilkårligt små intervaller af rum og tid (selvom sådanne modeller ofte og med succes bruges som en omtrentlig model af virkeligheden) [5] [46 ] . Endelig er det ikke blevet bevist, at tid og rum er arrangeret på nogen måde svarende til de matematiske strukturer af reelle eller hyperreale tal [40] .

Yderligere kompleksitet blev introduceret i spørgsmålet af kvantemekanik , som viste, at diskrethedens rolle er kraftigt øget i mikroverdenen. Diskussionerne om strukturen af ​​rum, tid og bevægelse, initieret af Zeno, er således aktivt igangværende og langt fra slut.

Andre aporier af Zeno

De ovennævnte (mest berømte) aporier af Zeno omhandlede anvendelsen af ​​begrebet uendelighed på bevægelse, rum og tid. I andre aporier demonstrerer Zeno andre, mere generelle aspekter af uendelighed. Men i modsætning til de tre berømte aporier om fysisk bevægelse, er andre aporier mindre klart angivet og vedrører hovedsageligt rent matematiske eller generelle filosofiske aspekter. Med fremkomsten af ​​den matematiske teori om uendelige mængder faldt interessen for dem betydeligt.

Stadion

Aporia "Stadium" (eller "Rounds") i Aristoteles ("Physics", Z, 9) er ikke helt klart formuleret:

Det fjerde [argument] handler om lige store kroppe, der bevæger sig rundt på stadion i modsatte retninger parallelt med lige store kroppe; nogle [bevæger sig] fra slutningen af ​​scenen, andre fra midten med lige stor hastighed, hvoraf, som han tror, ​​det følger, at halvdelen af ​​tiden er dobbelt.

Forskere har tilbudt forskellige fortolkninger af denne aporia. L. V. Binnikov formulerede det som følger [47] :

S. A. Yanovskaya tilbyder en anden fortolkning baseret på atomistiske præmisser [48] :

Lad tiden bestå af udelelige udvidede atomer. Lad os forestille os to løbere i hver sin ende af løbet, så hurtige, at hver af dem kun behøver et tidsatom for at løbe fra den ene ende af løbet til den anden. Og lad begge løbe ud på samme tid fra hver sin ende. Når de mødes, vil tidens udelelige atom blive delt i to, det vil sige, at kroppe ikke kan bevæge sig ind i tidens atomer, som det blev antaget i "Pil"-aporien.

Ifølge andre fortolkninger ligner ideen om denne aporia Galileos paradoks eller "Aristoteles hjul" : et uendeligt sæt kan svare til dets del [49] .

Pluralitet

En del af aporierne er afsat til diskussionen af ​​spørgsmålet om verdens enhed og pluralitet [17] .

Lignende spørgsmål diskuteres i Platons dialog Parmenides [50] , hvor Zeno og Parmenides forklarer deres holdning i detaljer. I moderne sprog betyder dette Zenons ræsonnement [17] at multiple væsener faktisk ikke kan være uendelige og derfor skal være endelige, men nye ting kan altid føjes til eksisterende ting, hvilket modsiger endelighed. Konklusion: væren kan ikke være flertal.

Kommentatorer er opmærksomme på, at denne aporia i sin ordning minder ekstremt meget om mængdeteoriens antinomier, der blev opdaget ved overgangen til det 19. - 20. århundrede [17] [51] , især Cantors paradoks : på den ene side kardinalitet af sættet af alle mængder er større end kardinalitet af ethvert andet sæt , men på den anden side er det for ethvert sæt ikke svært at specificere et sæt større kardinalitet ( Cantors teorem ). Denne modsigelse, helt i Zenons aporias ånd, løses utvetydigt: abstraktionen af ​​mængden af ​​alle mængder er anerkendt som uacceptabel og ikke-eksisterende som et videnskabeligt begreb.

Mål

Simplicius beskriver denne aporia som følger [14] .

Med andre ord, hvis at dele en ting i to bevarer dens kvalitet, så får vi i grænsen, at tingen både er uendeligt stor (da den er uendelig delelig) og uendelig lille. Derudover er det ikke klart, hvordan en eksisterende ting kan have uendeligt små dimensioner.

Mere detaljeret er de samme argumenter til stede i Philopons kommentarer [52] . Også lignende ræsonnementer fra Zeno er citeret og kritiseret af Aristoteles i hans "Metaphysics" [53] :

Hvis det ene i sig selv er udeleligt, så må det ifølge Zenos holdning være ingenting. Ja, hvis det at tilføje noget til en ting ikke gør det større og at tage det væk fra det ikke gør det mindre, så, siger Zeno, henviser dette noget ikke til det eksisterende, idet man klart tror, ​​at det eksisterende er en størrelse, og da størrelsen, så er noget kropsligt: ​​det kropslige er trods alt et væsen i fuldt mål; dog øges andre mængder, såsom flyet og linjen, hvis de tilføjes, i det ene tilfælde, men ikke i det andet; punkt og enhed gør ikke dette på nogen måde. Og da Zeno argumenterer groft, og da noget udeleligt kan eksistere, og desuden på en sådan måde, at det på en eller anden måde vil være beskyttet mod Zenons ræsonnement (for hvis en sådan udelelig tilføjes, øges den virkelig ikke, men formerer sig) , så spørges det, hvordan fra en sådan enkelt eller flere vil få værdien? At antage, at dette er som at sige, at en linje består af punkter.

Om stedet

I præsentationen af ​​Aristoteles siger aporien: hvis alt, hvad der eksisterer, placeres i et kendt rum ( sted , græsk topos ), så er det klart, at der vil være et rum med rum, og så går det til det uendelige [54] . Aristoteles bemærker hertil, at et sted ikke er en ting og ikke behøver et eget sted. Denne aporia giver mulighed for en udvidet fortolkning, da eleaterne ikke genkendte rummet adskilt fra de kroppe, der var placeret i det, det vil sige, de identificerede stof og det rum, det optog [16] . Selvom Aristoteles afviser Zenons ræsonnement, kommer han i hans "Fysik" til i det væsentlige samme konklusion som Eleatikken: et sted eksisterer kun i forhold til kroppene i det. Samtidig går Aristoteles i tavshed forbi det naturlige spørgsmål om, hvordan et stedskifte sker, når en krop bevæger sig [55] .

Medimne korn

Zenos formulering er blevet kritiseret, da paradokset let kan forklares ved at henvise til tærsklen for lydopfattelse  – et individuelt korn falder ikke lydløst, men meget stille, så lyden af ​​faldet høres ikke. Meningen med aporien er at bevise, at delen ikke er som helheden (kvalitativt forskellig fra den), og derfor er uendelig delelighed umulig [57] . Lignende paradokser blev foreslået i det 4. århundrede f.Kr. e. Eubulides  - paradokser "Bald" og " Heap ": "et korn er ikke en bunke, tilføjelse af et korn ændrer ikke tingene, med hvor mange korn begynder en bunke?"

Den historiske betydning af Zenos aporier

"Zeno afslørede de modsætninger, som tænkning falder ind i, når man forsøger at forstå det uendelige i begreber. Hans aporier er de første paradokser, der opstod i forbindelse med begrebet det uendelige . Aristoteles' klare skelnen mellem potentiel og faktisk uendelighed er i høj grad resultatet af forståelsen af ​​Zenos aporier. Andre historiske fordele ved de eletiske paradokser:

• "Zenos ræsonnement, der er formuleret i præcis og klar prosa, er det første eksempel på rent logiske beviser i historien. Det er det, der bestemmer Zenons usædvanligt vigtige plads i videnskabens historie” [58] . Fornuft efter analogi og poetiske fantasier, karakteristiske for filosofferne fra den forrige generation, blev erstattet af streng deduktiv logik.
• En klar indikation af, at vores forståelse af virkeligheden (inklusive matematisk) kan være utilstrækkelig til denne virkelighed [59] ; Efterfølgende stødte videnskaben på adskillige eksempler på validiteten af ​​denne afhandling.
• Udsagn om, at opdelingen af ​​kontinuitet i separate punkter (momenter), det vil sige en blanding af kontinuitet og diskrethed, er en selvmodsigelse [7] .

Som nævnt ovenfor var dannelsen af ​​gammel atomisme et forsøg på at besvare spørgsmålene fra aporias. I fremtiden blev matematisk analyse , mængdeteori , nye fysiske og filosofiske tilgange involveret i undersøgelsen af ​​spørgsmålet ; ingen af ​​dem er blevet en alment accepteret løsning på problemet, men selve kendsgerningen af ​​en vedvarende stor interesse for et gammelt problem viser dets heuristiske frugtbarhed.

Forskellige kontaktpunkter mellem Zenos aporier og moderne videnskab diskuteres i artiklen af ​​Zurab Silagadze [46] . I slutningen af ​​denne artikel konkluderer forfatteren:

De problemer, der blev stillet for to et halvt årtusinde siden og siden da gentagne gange undersøgt, er endnu ikke udtømt. Zenos paradokser berører de grundlæggende aspekter af virkeligheden - lokalisering, bevægelse, rum og tid. Fra tid til anden opdages nye og uventede facetter af disse begreber, og hvert århundrede finder det nyttigt at vende tilbage igen og igen til Zeno. Processen med at nå deres endelige løsning ser ud til at være uendelig, og vores forståelse af verden omkring os er stadig ufuldstændig og fragmenteret.

Zenos aporier i litteratur og kunst

A. S. Pushkin viede digtet "Bevægelse" ( 1825 ) til Zenons paradokser [60] .

I denne historiske anekdote er den "skæggede vismand" tilhænger af Zeno (kommentatoren Elius tilskrev som nævnt ovenfor argumentet til Zeno selv [3] ), og hans modstander i forskellige versioner af anekdoten er Diogenes eller Antisthenes (begge af dem levede meget senere end Zeno, så kunne ikke argumentere med ham). En version af anekdoten, nævnt af Hegel , siger, at da Eleatus anerkendte Diogenes' argumentation som overbevisende, slog Diogenes ham med en pind for at stole for meget på beviser [61] .

Lewis Carroll skrev en logisk puslespilsdialog med titlen "Hvad sagde skildpadden til Achilles?" [62] .

Leo Tolstoj genfortæller i tredje bind af eposet " Krig og fred " (begyndelsen af ​​3. del) paradokset om Achilleus og skildpadden og tilbyder sin egen fortolkning: du kan ikke opdele kontinuerlig bevægelse i "separate enheder", i stedet har du brug for at bruge apparatet med summerbare "uendeligt små mængder". Yderligere bemærker Tolstoy: "i søgen efter lovene for historisk bevægelse sker der nøjagtig det samme" og kritiserer forsøg på at betragte historiens kontinuerlige forløb som værende på vilkårlighed af individuelle indflydelsesrige historiske personer eller at reducere historien til individuelle større historiske begivenheder.

Paul Valéry skrev i sit digt "Kirkegården ved havet" ( Le Cimetiere Marin , 1920) [63] :

Plottet i F. Dicks fantastiske historie "Om den utrættelige frø" er baseret på aporien "Dichotomy".

Aporiet om Achilleus omtales gentagne gange i Borges værker . Den paradoksale situation, der er beskrevet i den, afspejlede sig også i forskellige humoristiske værker . Takeshi Kitano instruerede Achilles and the Tortoise i 2008 .

Se også

• Antinomi
• Quantum Zeno effekt
• Zeno maskine
• Heap paradoks

Noter

1. ↑ History of Mathematics, 1970 , s. 90.
2. ↑ 1 2 3 Makovelsky A. O., 1999 , del 14.
3. ↑ 1 2 Fragments of Early Greek Philosophers, 1989 , s. 302.
4. ↑ Komarova, 1988 , s. 15-16.
5. ↑ 1 2 3 Yanovskaya S. A., 1963 , s. 116-118.
6. ↑ Ivin A. A. Ifølge logikkens love . - M . : Ung garde, 1983. - 208 s. - ( "Eureka" ). Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Hentet 7. marts 2010. Arkiveret fra originalen 19. november 2007. (ubestemt) 
7. ↑ 1 2 Rozhansky I. D. Antik videnskab. - M. : Nauka, 1980. - S. 52. - 198 s. — (Videnskabens og teknologiens historie).
8. ↑ 1 2 Great Soviet Encyclopedia // Aporia. - 2. udg. - T. 2.
9. ↑ A. V. Lebedev. Parmenides  // New Philosophical Encyclopedia  : i 4 bind  / prev. videnskabeligt udg. råd fra V. S. Stepin . — 2. udg., rettet. og yderligere - M .  : Tanke , 2010. - 2816 s.
10. ↑ A. V. Lebedev. Eleatic School  // New Philosophical Encyclopedia  : i 4 bind  / prev. videnskabeligt udg. råd fra V. S. Stepin . — 2. udg., rettet. og yderligere - M .  : Tanke , 2010. - 2816 s.
11. ↑ 1 2 Rozhansky I. D. Tidlig græsk filosofi // Fragmenter af tidlige græske filosoffer
12. ↑ Makovelsky A. O., 1999 , del 16.
13. ↑ Losev A.F. Zenon of Elea // Philosophical Encyclopedia . - M . : Soviet Encyclopedia, 1962. - T. 2.
14. ↑ 1 2 3 Gaidenko P.P., 1980 .
15. ↑ Asmus V.F. Elean skole // Antik filosofi. - M . : Højere skole, 2005. - 408 s. — ISBN 5-06-003049-0 .
16. ↑ 1 2 3 4 5 6 Makovelsky A. O., 1999 , del 15.
17. ↑ 1 2 3 4 5 Aporia of Zeno (Philosophical Encyclopedia), 1962 .
18. ↑ Zeno of Elea // Stanford Encyclopedia of Philosophy.
19. ↑ Komarova, 1988 , s. 50-52.
20. ↑ Diogenes Laertes. Liv, lære og ordsprog fra berømte filosoffer, kapitel "Pythagoras" .
21. ↑ Kuznetsov B. G., 1961 , s. 18-20.
22. ↑ Komarova, 1988 , s. 21.
23. ↑ "Fysik" af Aristoteles.
24. ↑ Komarova, 1988 , s. 29-30.
25. ↑ Kuznetsov B. G., 1961 , s. 38.
26. ↑ Lurie S. Essays fra oldtidens videnskabshistorie. — M. — L .: Udg. AN SSSR, 1947. - S. 181. - 403 s.
27. ↑ Komarova, 1988 , s. 31-35.
28. ↑ Komarova, 1988 , s. 35-41.
29. ↑ Hegel G. V. F. Værker i 14 bind. - M . : Sotsekgiz, 1959. - T. IX. - S. 244.
30. ↑ Tannery P. De første trin i oldgræsk videnskab. - Sankt Petersborg. , 1902.
31. ↑ Papa-Grimaldi, Alba. Hvorfor matematiske løsninger af Zenos paradokser går glip af pointen: Zenos ene og mange forhold og Parmenides' forbud . Gennemgangen af ​​metafysik . Hentet 17. august 2011. Arkiveret fra originalen 28. august 2011. (ubestemt)
32. ↑ Hilbert D., Bernays P. Fundamenter af matematik. Logisk beregning og formalisering af aritmetik. - M. , 1979. - S. 40.
33. ↑ Courant R, Robbins G. Hvad er matematik . - 3. udg. - M. : MTSNMO, 2001. - S. 353. - 568 s. - ISBN 5-900916-45-6 .
34. ↑ History of Mathematics, 1970 , s. 93.
35. ↑ Citeret. Citeret fra: Danzig, Tobias. Tal er videnskabens sprog . - M . : Technosfera, 2008. - S.  111 . - ISBN 978-5-94836-172-7 .
36. ↑ Nicolas Bourbaki . Matematikkens arkitektur. Essays om matematikkens historie. - M . : Udenlandsk litteratur, 1963. - S. 38.
37. ↑ van Bendegem, Jean Paul. Diskussion: Zenos paradokser og fliseargumentet  // Videnskabsfilosofi. - Belgien, 1987. - T. 54 . - S. 295-302 .
38. ↑ Feynman R. Fysiske loves natur . - Ed. 2. - M . : Nauka, 1987. - S.  152 -153. — 160 sek. - (Bibl. Quantum, hæfte 62).
39. ↑ Kuznetsov B. G. Einstein. Liv. Død. Udødelighed. - 5. udg., revideret. og yderligere - M . : Nauka, 1980. - S. 368-374.
40. ↑ 1 2 Vekshenov, 2008 .
41. ↑ Shiraishi, 1954 .
42. ↑ Kline M. Matematik. Tab af sikkerhed . - M . : Mir, 1984. - S. 401-402. Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Dato for adgang: 15. marts 2010. Arkiveret fra originalen 12. februar 2007. (ubestemt) 
43. ↑ Dragalin A. G. Antinomy // Mathematical Encyclopedic Dictionary. - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S. 73-75. — 847 s.
44. ↑ Uspensky V. A. Hvad er ikke-standardanalyse. — M .: Nauka, 1987.
45. ↑ Gaidenko P.P. Tidsbegrebet og kontinuumsproblemet . Hentet: 10. januar 2011. (ubestemt)
46. ↑ 1 2 Silagadze , ZK Zeno møder moderne videnskab  . Hentet 30. december 2010. Arkiveret fra originalen 14. august 2011.
47. ↑ Binnikov L.V. Brief Dictionary of Philosophical Personalities . Hentet: 30. april 2010. (ubestemt)
48. ↑ Yanovskaya S. A., 1963 , s. 127.
49. ↑ Bogomolov S. A. Faktisk uendelighed (Zeno of Elea, Is. Newton, G. Kantor). - L.-M.: ONTI, 1934. - S. 53. - 78 s.
50. ↑ Parmenides, 1968-1972 .
51. ↑ Zenos paradokser , Stanford Encyclopedia of Philosophy.
52. ↑ Zeno af Elea . - Encyclopedia Around the World. Hentet 30. december 2010. Arkiveret fra originalen 14. august 2011. (ubestemt)
53. ↑ Aristoteles. Metafysik , bog I, kapitel IV.
54. ↑ Aristoteles. Fysik, IV, 1, 209a.
55. ↑ Komarova, 1988 , s. 124-129.
56. ↑ Ivin A. A. Logik. Selvstudium, kapitel 7 .
57. ↑ Komarova, 1988 , s. 122-124.
58. ↑ Fragments of Early Greek Philosophers, 1989 , s. 27.
59. ↑ History of Mathematics, 1970 , s. 89.
60. ↑ BEVÆGELSE.
61. ↑ Kuznetsov B. G., 1961 , s. 19.
62. ↑ Carroll, Lewis. Todelt opfindelse, eller hvad skildpadden sagde til Achilles // Viden er magt .  - 1991. - Nr. 9. - S. 6-12.
63. ↑ Valerie, Paul. Kirkegård ved havet.

Litteratur

Gamle forfattere

• Gamle filosoffer om Zeno . Hentet: 21. december 2010. (ubestemt)
• Aristoteles. Fysik . — I samlingen: Grækenlands filosoffer. Grundlæggende elementer: logik, fysik, etik. - Kharkov: EKSMO, 1999. - 1056 s. - ISBN 5-04-003348-6 .
• Platon. Parmenides . - I samlingen: Platon, Værker i tre bind. - M . : Tanke, 1968-1972. — ( Filosofisk arv ).
• Fragmenter af tidlige græske filosoffer. Del I. Fra episke teokosmogonier til atomismens opståen . — M .: Nauka, 1989. — 576 s. Arkiveret 23. december 2008 på Wayback Machine

Bøger af nutidige forfattere

• Asmus VF Historien om antikkens filosofi. - M . : Højere skole, 1965. - S. 40-45.
• Gaidenko P. P. Udvikling af videnskabsbegrebet (dannelse og udvikling af de første videnskabelige programmer). Kapitel "ELEAAN-SKOLEN OG DEN FØRSTE UDTALELSE OM UENDELIGHEDSPROBLEMET" og videre . - M . : Nauka, 1980. Arkivkopi af 21. december 2016 på Wayback Machine
• Matematikkens historie / Redigeret af A. P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. I. - S. 88-93.
• Komarova V. Ya. Teachings of Zeno of Elea: et forsøg på at rekonstruere systemet af argumenter // Bulletin fra Leningrad State University. - L. , 1988.
• Kuznetsov BG Filosofiens historie for fysikere og matematikere. — M .: Nauka , 1974. — 352 s. — (Verdenskulturens Historie). — 20.000 eksemplarer.
• Kuznetsov B.G. Udviklingen af ​​billedet af verden. - 1. udg. (2. udgave: URSS, 2010). - M . : Forlag for Videnskabsakademiet i USSR, 1961. - 352 s. — (Fra den verdensfilosofiske tænknings arv: videnskabsfilosofi). - ISBN 978-5-397-01479-3 .
• Makovelsky A. O. Presocratics. I 3 bind . - Minsk: Harvest, 1999. - 784 s. — (Klassisk filosofisk tankegang).
• Smorodinov R. A. Filosofi om konsekvent tvivl. - Volgograd: Tryk, 2006. - S. 41-68.
• Grünbaum A. Moderne videnskab og Zenons paradokser. - Allen & Unwin, 1968. - 153 s. — ISBN 978-0045130047 .
• Guenon R. Les Principes du Calcul infinitesimal. - Gallimard, 1946 og talrige genoptryk.  — "Principper for beregning af infinitesimals".
• Lakse WC (redaktør). Zenons paradokser. — 2. udg. — Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc., 2001. - 320 s. - ISBN 978-0872205604 .

Kort bibliografi over videnskabelige artikler med analyse af aporier

Litteraturen er opført i kronologisk rækkefølge.

• Svatkovsky V.P. Zenos paradoks om en flyvende pil // Journal of the Ministry of National Education . - 1888. - Nr. 4 afd. 5 . - S. 203-239 .
• Khersonsky N. Kh. Ved oprindelsen af ​​vidensteorien. Angående Zenos argumenter mod bevægelsen // Journal of the Ministry of National Education. - 1911. - Nr XXXIV (august) afd. 2 . - S. 207-221 .
• Bolzano B. Det uendeliges paradokser . - Odessa, 1911.
• Bogomolov S. A. Argumenter fra Zeno af Elea i lyset af doktrinen om den faktiske uendelighed // Journal of the Ministry of National Education. - 1915, ny serie. - Nej. LVI (april) . - S. 289-328 .
• Dmitriev G. Endnu en gang om Zenons paradoks "Akilles og skildpadden" og V. Friedmans forvirring // Under marxismens fane. - 1928. - Nr. 4 .
• Bogomolov S.A. Faktisk uendelighed: Zeno af Elea, Isaac Newton og Georg Kantor. - L.-M., 1934.
• Yanovskaya S. A. Aporia of Zeno // Philosophical Encyclopedia . - M . : Soviet Encyclopedia, 1962. - T. 2.
• Yanovskaya S.A. Har moderne videnskab overvundet de vanskeligheder kendt som "Zenos aporier"? // Problemer med logik. - M. , 1963. - S. 116-136 .
• Bogomolov A.S. "Den flyvende pil" og loven om modsigelse // Filosofiske videnskaber. - 1964. - Nr. 6 .
• Narsky I.S. Til spørgsmålet om afspejlingen af ​​bevægelsens dialektik i begreber: (endnu en gang om paradokset "Flyvende pil") // Formel logik og videnskabens metodologi. - M. , 1964. - S. 3-51 .
• Tsekhmistro I. Z. Aporia af Zeno gennem det XX århundredes øjne  // Filosofiens spørgsmål. - 1966. - Nr. 3 . (Russisk)
• Panchenko AI Zenos aporier og moderne filosofi  // Filosofiens spørgsmål. - 1971. - Nr. 7 . (Russisk)
• Maneev A. K. Filosofisk analyse af Zenons aporier. - Minsk, 1972.
• Kuznetsov G. A. Kontinuitet og Zenos paradokser "Akilles" og "Dichotomy" // Theory of Logical Inference. — M .: Nauka, 1973.
• Smolenov H. Zenos aporier som heuristik af atomisme og dialektik // Logisk og metodisk analyse af videnskabelig viden. - M. , 1979. - S. 76-90.
• Shirokov V.S. Jean Buridan om Zenos aporier // Filosofiske videnskaber. - 1982. - Nr. 4 . - S. 94-101 .
• Koire A. Noter om Zenos paradokser // Essays om den filosofiske tankes historie. Om filosofiske begrebers indflydelse på udviklingen af ​​videnskabelige teorier. — M .: Fremskridt, 1985.
• Solodukhina A. O. Løste Aidukevich Zenons aporia "Pil"? // Videnskabelig konference "Moderne logik: problemer med teori, historie og anvendelse i videnskab". - Sankt Petersborg. , 1996.
• Anisov A. M. Zenos aporier og bevægelsesproblemet // Proceedings of the Research Seminar of the Logical Center of the Institute of Physics of the Russian Academy of Sciences, vol. XIV . - M. , 2000. - S. 139-155.
• Smirnov A. V. Er grundlaget for rationalitet sammenlignelige i forskellige filosofiske traditioner? Sammenlignende undersøgelse af zenoniske aporier og lære fra den tidlige kalam // Sammenlignende filosofi. - M. , 2000. - S. 167-212.
• Vilesov Yu. V. Zenos aporier og Heisenbergs usikkerhedsforhold  // Bulletin of Moscow State University, serie 7 (filosofi). - M. , 2002. - Nr. 6 . - S. 20-28 . Arkiveret fra originalen den 9. november 2019.
• Vekshenov S. A. Matematik og fysik i rum-tidskontinuumet  // Fundamenter for fysik og geometri. - M . : Forlag for det russiske universitet for folks venskab, 2008. - S. 89-118 . Arkiveret fra originalen den 13. maj 2012.

• Shiraishi, Sadeo. Strukturen af ​​kontinuiteten af ​​psykologiske oplevelser og den fysiske verden // Tankevidenskaben. - Tokyo, 1954. - Nr. 1 . - S. 12-24.
• Chambers, Connor J. Zeno fra Elea og Bergsons forsømte afhandling // Journal of the History of Philosophy. - 1974. - Bd. 12, nr. 1 (januar) . - S. 63-76.
• Vlastos GA Platons vidnesbyrd om Zeno af Elea // Journal of the History of Ideas (New York. - 1975. - Vol. XLV. - S. 136-162.
• Vlastos GA En note af Zenos pil // Phronesis. - 1996. - Bd. XI. - S. 3-18.
• Smirnov A. Stemmer rationalitetens grundlæggende principper i forskellige filosofiske traditioner overens? En komparativ undersøgelse af Zenos paradokser og lære fra tidlig Kalām // Islam - West Philosophical Dialogue: papirerne præsenteret på verdenskongressen om Mulla Sadra (1999). - Teheran: Sadra Islamic Philosophy Research Institute, 2004. - S. 109-120.

Links

• Skaldet syllogisme // Lille encyklopædisk ordbog over Brockhaus og Efron  : i 4 bind - St. Petersborg. , 1907-1909.
• Aporia af Zeno . på warrax.net. Hentet: 21. december 2010. (ubestemt)
• Zeno af Elea . - Encyclopedia Around the World. Hentet 30. december 2010. Arkiveret fra originalen 14. august 2011. (ubestemt)
• Khazarzar, Ruslan. Aporia af Zeno . Hentet: 21. december 2010. (ubestemt)
• Dowden, Bradley. Zenons paradokser  . — Internet Encyclopedia of Philosophy. Hentet 21. december 2010. Arkiveret fra originalen 14. august 2011.
• Huggett, Nick. Zenons paradokser  . — Stanford Encyclopedia of Philosophy. Hentet 30. december 2010. Arkiveret fra originalen 14. august 2011.
• Silagadze ZK Zeno møder moderne videnskab  (engelsk) . Hentet 30. december 2010. Arkiveret fra originalen 14. august 2011.

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 12135409n SUDOC : 029806550