Kant (geometri)

Tre kanter AB, BC og CA, der hver forbinder to hjørner af en trekant .	En polygon afgrænset af kanter (i dette tilfælde en firkant med 4 kanter).
Hver kant deles af to flader af et polyeder , i dette tilfælde en terning .	Enhver kant deles af tre eller flere flader af et firedimensionelt polyeder , som det ses i denne projektion af tesserakten .

En kant i geometri er et segment, der forbinder to hjørner af en polygon eller polyeder (i dimensionerne 3 og højere) [1] . I polygoner er en kant et segment, der ligger på grænsen [2] og oftere kaldes en side af polygonen. I tredimensionelle polyedre og i polyedre af højere dimension er en kant et segment, der er fælles for to flader [3] . Et segment, der forbinder to hjørner og passerer gennem interne eller eksterne punkter, er ikke en kant og kaldes en diagonal .

Forbindelse med grafkanter

Ethvert polyeder kan repræsenteres ved dets kantskelet , det vil sige en graf, hvis toppunkter er polyhedronets geometriske toppunkter, og grafens kanter svarer til de geometriske kanter [4] . Og omvendt er grafer, der er skeletter af tredimensionelle polytoper ifølge Steinitz-sætningen , de samme som top-k-forbundne plane grafer [5] .

Antal kanter i et polyeder

Enhver overflade af et konveks polyeder har Euler-karakteristikken

V-E+F=2,

hvor er antallet af hjørner , er antallet af kanter og er antallet af flader . Denne lighed er kendt som Eulers formel. Således er antallet af kanter 2 mindre end summen af antallet af hjørner og flader. For eksempel har en terning 8 hjørner og 6 flader, og derfor (ifølge formlen) 12 kanter. $V$ $E$ $F$

Hændelse med andre ansigter

I en polygon konvergerer to kanter (sider) ved hvert toppunkt. Ifølge Balinskys teorem konvergerer i det mindste kanter ved hvert hjørne af et dimensionelt konveks polyeder [6] . På samme måde, i en 3D polytop, deler præcis to 2D-flader en kant [7] , mens i højere-dimensionelle polyedre kan tre eller flere 2D-flader dele en fælles kant. $d$ $d$

Alternativ terminologi

I teorien om højdimensionelle konvekse polyedere (over 3) er en facet (en side af et -dimensionelt polyeder) en -dimensionel flade. Således er kanterne (siderne) af en polygon også facetter (for tredimensionelle polyedre vil fladerne være facetter) [8] . $d$ $(d-1)$

Se også

Sidefortsættelse

Noter

↑ Ziegler, 1995 , s. 51, Definition 2.1.
↑ Weisstein, Eric W. "Polygon Edge." Fra MathWorld - En Wolfram-webressource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html Arkiveret 26. juli 2020 på Wayback Machine
↑ Weisstein, Eric W. "Polytope Edge." Fra MathWorld - En Wolfram-webressource. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html Arkiveret 24. maj 2016 på Wayback Machine
↑ Senechal, 2013 , s. 81.
↑ Pisanski, Randic, 2000 , s. 174-194.
↑ Balinski, 1961 , s. 431-434.
↑ Wenninger, 1974 , s. en.
↑ Seidel, 1986 , s. 404-413.

Litteratur

Günter M. Ziegler. Forelæsninger om polytoper. - Springer, 1995. - V. 152. - ( Graduate Texts in Mathematics ).
ML Balinsky. På grafstrukturen af konvekse polyedre i n -rum // Pacific Journal of Mathematics. - 1961. - Bd. 11. - Udstedelse. 2 . - doi : 10.2140/pjm.1961.11.431 .
Magnus J. Wenninger. Polyeder modeller. - Cambridge University Press, 1974. - ISBN 9780521098595 .
Marjorie Senechal. Shaping Space: Udforsk Polyeder i naturen, kunsten og den geometriske fantasi. - Springer, 2013. - ISBN 9780387927145 .
Tomaž Pisanski, Milan Randic. Geometri på arbejde / Catherine A. Gorini. Washington, DC: Matematik. Assoc. Amerika, 2000. - T. 53. - (MAA Notes). . Se især sætning 3, s. 176 .
Raimund Seidel. Proceedings of the Attende årlige ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86). - 1986. - doi : 10.1145/12130.12172 .