Almindelige flerdimensionelle polyedre

En regulær n - dimensionel polytop er en n - dimensional euklidisk rumpolytop , der er den mest symmetriske i en eller anden forstand. Regelmæssige tredimensionelle polyedre kaldes også platoniske faste stoffer .

Historie

En klassificering af regulære multidimensionelle polyedre blev opnået af Ludwig Schläfli . [en]

Definition

Flaget for en n -dimensionel polytop er sættet af dens ansigter , hvor er den dimensionelle overflade af polytopen P, og for . $P$ $F=(F_{0},F_{1},\dots ,F_{{n-1}})$ $F_{i}$ $jeg$ $F_{i}\subseteq F_{{n-1}}$ $i=1,2,\prikker ,n-1$

En regulær n - dimensional polyhedron er en konveks n -dimensional polyhedron , for hvilken som helst to af dens flag og der er en bevægelse , der tager til . $P$ $F$ $F'$ $P$ $F$ $F'$

Klassifikation

Dimension 4

Der er 6 regulære firedimensionelle polyedre (multiceller):

Navn	Schläfli symbol	Celle	Antal celler	Antal ansigter	Antal kanter	Antal hjørner
Fem-celler	{3,3,3}	almindelig tetraeder	5	ti	ti	5
tesseract	{4,3,3}	terning	otte	24	32	16
Hexadecimal celle	{3,3,4}	almindelig tetraeder	16	32	24	otte
fireogtyve celler	{3,4,3}	oktaeder	24	96	96	24
120 celler	{5,3,3}	dodekaeder	120	720	1200	600
Seks hundrede celler	{3,3,5}	almindelig tetraeder	600	1200	720	120

Dimensioner 5 og op

I hver af de højere dimensioner er der 3 regulære polyedre ( polytoper ):

Navn	Schläfli symbol
n - dimensionel regulær simplex	{3;3;...;3;3}
n -dimensional hyperkube	{4;3;...;3;3}
n - dimensional hyperoktaeder	{3;3;...;3;4}

Geometriske egenskaber

Vinkler

Den dihedriske vinkel mellem (n-1)-dimensionelle tilstødende flader af en regulær n-dimensional polytop, givet af dens Schläfli-symbol , er givet af formlen [2] [3] [4] : $\{p_{1},p_{2},p_{3},\dots,p_{{N-3}},p_{{N-2}},p_{{N-1}}\}$

\sin ^{2}\beta ={\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{{n-1))))}{1-{\frac {\cos ^{2 }{\frac {\pi }{p_{{n-2))))}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi}{p_{{n-3))} )){{\frac {\ddots }{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{3)))){1-{\frac {\cos ^{2 }{\frac {\pi }{p_{2)))){1-\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{1)))))))))))))) )))) }

hvor er halvdelen af vinklen mellem (n-1)-dimensionelle tilstødende flader af et regulært n-dimensionelt polyeder $\beta$

Radier, bind

Radius af en indskrevet N-dimensional kugle:

r_{N}=r_{N-1}\operatørnavn {tg} {\beta },

hvor er radius af den indskrevne (N-1)-dimensionelle kugle af ansigtet. $r_{{N-1}}$

Volumen af et N-dimensionelt polyeder:

V_{N}={\frac {1}{N}}V_{{N-1}}A_{{N-1}}r_{N},

hvor er volumen af en (N-1)-dimensional flade, er antallet af (N-1)-dimensionelle flader. $V_{{N-1}}$ $A_{{N-1}}$

Flisebelægninger

I dimension n = 4

Tesseract
honningkager
Fireogtyve

I dimension n ≥ 5

Hyperkubiske honningkager

Se også

Noter

↑ Schläfli, L. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38:1-237.
↑ Sommerville DMY En introduktion til n dimensioners geometri . - London, 1929. - S. 189. - 196 s.
↑ Coxeter H.S.M. Regular Polytoopes . - London, 1948. - S. 134. - 321 s. Arkiveret 5. maj 2016 på Wayback Machine
↑ Rosenfeld B.A. Multidimensionelle rum . - Videnskab, 1966. - S. 193.

Links

Visuelt eksempel på YouTube

Almindelige polytoper (platoniske faste stoffer) i 4D (utilgængeligt link) (2003). Dato for adgang: 30. januar 2011. Arkiveret fra originalen den 4. maj 2012. (ubestemt)

E. Yu. Smirnov. Refleksionsgrupper og regulære polyedre . - M. : MTSNMO, 2009. - 48 s. - ISBN 978-5-94057-525-2 .

E. B. Vinberg, O. V. Shvartsman. Diskrete grupper af bevægelser af rum med konstant krumning // Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderne sandsynlighed måtte. Fundam. retninger. - 1988. - T. 29 . — S. 147–259 .

Polyeder

Korrekt

Tredimensionelle (platoniske faste stoffer)	almindelig tetraeder terning Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Fem-celler tesseract Hexadecimal celle fireogtyve celler 120 celler Seks hundrede celler
Større dimension (angivet i parentes)	Almindelig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaeder

Regelmæssig
ikke-konveks

Tredimensionel ved antallet af
ansigter (angivet i parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexahedron (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadekaeder (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadekaeder (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konveks

Arkimediske faste stoffer

catalanske kroppe

Prismer
trekantet prisme firkantet prisme Femkantet prisme Sekskantet prisme Heptagonal prisme Ottekantet prisme Ni-vinklet prisme Tikantet prisme Ellevvinklet prisme Todekagonalt prisme

Johnson polyeder

Formler ,
teoremer ,
teorier

Andet

Grundlæggende konvekse regulære og homogene polytoper i dimensionerne 2–10
Familie	En n	B n	I2(p ) / Dn	E6 / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H4
regulær polygon	retvinklet trekant	Firkant	Almindelig p-gon	Regelmæssig sekskant	regulær femkant
Ensartet polyeder	almindelig tetraeder	Almindelig oktaeder • Terning	halv terning		Almindelig dodecahedron • Almindelig icosahedron
Ensartet multicelle	Fem-celler	16-celler • Tesseract	Semitesseract	24-celler	120-celler • 600-celler
Homogen 5-polytop	Almindelig 5-simplex	5-orthoplex • 5-hyperkube	5-semihyperkube
Homogen 6-polytop	Almindelig 6-simplex	6-orthoplex • 6-hyperkube	6-semihyperkube	1 22 • 2 21
Homogen 7-polytop	Almindelig 7-simplex	7-orthoplex • 7-hyperkube	7-semihyperkube	1 32 • 2 31 • 3 21
Homogen 8-polytop	Almindelig 8-simplex	8-orthoplex • 8-hyperkube	8-halv-hyperkube	1 42 • 2 41 • 4 21
Homogen 9-polytop	Almindelig 9-simplex	9-orthoplex • 9-hyperkube	9-semihyperkube
Homogen 10-polytop	Almindelig 10-simplex	10-orthoplex • 10-hyperkube	10-halv-hyperkube
Uniform n - polytop	Regelmæssig n - simpleks	n - orthoplex • n - hyperkube	n - semi-hyperkube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - femkantet polyeder
Emner: Familier af polytoper • Regulære polytoper • Liste over regulære polytoper og deres forbindelser