Analyse (en gren af ​​matematik)

Analyse som en moderne gren af ​​matematikken er en væsentlig del af matematikken , som historisk voksede ud af klassisk matematisk analyse , og som ud over differential- og integralregning , inkluderet i den klassiske del, dækker sektioner som funktionsteorien af reel og kompleks variabel , teori om differential- og integralligninger , variationskalkyle , harmonisk analyse , funktionel analyse , teori om dynamiske systemer og ergodisk teori , global analyse . Ikke-standardanalyse  er et afsnit i skæringspunktet mellem matematisk logik og analyse, der anvender modelteoriens metoder til alternativ formalisering, primært af klassiske afsnit.

Det betragtes som et af de tre hovedområder inden for matematik, sammen med algebra og geometri . Det vigtigste kendetegn ved analyse i sammenligning med andre områder er tilstedeværelsen af ​​variables funktioner som et emne for undersøgelse. På samme tid, hvis de elementære dele af analyse i læseplaner og materialer ofte kombineres med elementær algebra (der er f.eks. talrige lærebøger og kurser kaldet "Algebra og analysens begyndelse"), så bruger moderne analyse i høj grad metoderne til moderne geometriske snit, primært differentialgeometri og topologi .

Historie

Adskil udløbere fra "analysen af ​​infinitesimals", såsom teorien om almindelige differentialligninger ( Euler , Johann Bernoulli , D'Alembert ), variationsregningen (Euler, Lagrange ), teorien om analytiske funktioner (Lagrange, Cauchy , senere ). Riemann ), begyndte at adskille endnu mere i XVIII - første halvdel af XIX århundrede. Begyndelsen på dannelsen af ​​analyse som en selvstændig moderne sektion anses dog for at være værkerne fra midten af ​​det 19. århundrede om formaliseringen af ​​den klassiske analyses nøglebegreber - reelt tal , funktion , grænse , integral , primært i værker af Cauchy og Bolzano , og erhvervede en færdig form i 1870'erne - 1880'erne år i værker af Weierstrass , Dedekind og Cantor [1] . I denne henseende blev teorien om funktioner for en reel variabel dannet , og i udviklingen af ​​metoder til at arbejde med analytiske funktioner, teorien om funktioner for en kompleks variabel . Den naive mængdeteori skabt af Cantor i slutningen af ​​det 19. århundrede gav skub til fremkomsten af ​​begreberne metriske og topologiske rum, som væsentligt ændrede hele analyseværktøjssættet, hævede abstraktionsniveauet for de undersøgte objekter og flyttede fokus fra reelle tal til ikke-numeriske begreber.

I begyndelsen af ​​det 20. århundrede, hovedsageligt af kræfterne fra den franske matematikskole ( Jordan , Borel , Lebesgue , Baer ), blev måleteori skabt , takket være hvilken begrebet et integral blev generaliseret, og teorien om funktioner for en reel variabel blev også konstrueret . Også i begyndelsen af ​​det 20. århundrede begyndte funktionsanalyse at danne sig som en selvstændig underafdeling af moderne analyse, der studerede topologiske vektorrum og deres kortlægninger . Udtrykket "funktionel analyse" blev introduceret af Hadamard , der betegner en gren af ​​variationsregningen udviklet ved begyndelsen af ​​det 19. og 20. århundrede af en gruppe italienske og franske matematikere (herunder Volterra , Artsela ). I 1900 udgav Fredholm en artikel om integralligninger, som satte skub i både udviklingen af ​​teorien om integralligninger og den generelle teori om integration ( Lebesgue ), og til dannelsen af ​​funktionsanalyse [2] . I 1906 skitserede Hilbert spektralteorien , samme år blev Fréchets arbejde offentliggjort, hvor abstrakte metriske rum blev introduceret til analyse for første gang [3] . I 1910'erne - 1920'erne blev begreberne om adskillelighed forfinet, og generelle topologiske metoder blev først anvendt til analyse ( Hausdorff ), funktionsrum blev mestret, og dannelsen af ​​en generel teori om normerede rum begyndte (Hilbert, Rees , Banach , Hahn ) . I perioden 1929-1932 blev der dannet en aksiomatisk teori om Hilbert-rum ( John von Neumann , Marshall Stone , Rees). I 1936 formulerede Sobolev begrebet en generaliseret funktion (senere i 1940'erne, uafhængigt af ham, kom Laurent Schwartz til et lignende begreb ), som blev udbredt i mange analysesektioner og fandt bred anvendelse i applikationer (f.eks. Dirac'en ). funktion er generaliseret ). I 1930'erne-1950'erne blev der opnået betydelige resultater inden for funktionel analyse ved brug af generelle algebraiske værktøjer ( vektorgitter , operatoralgebraer , Banach-algebraer ).

I midten af ​​det 20. århundrede modtog sådanne områder som teorien om dynamiske systemer og ergodisk teori ( George Birkhoff , Kolmogorov , von Neumann) uafhængig udvikling, resultaterne af harmonisk analyse blev signifikant generaliseret ved brug af generelle algebraiske midler - topologiske grupper og repræsentationer ( Weil , Peter , Pontryagin ). Fra 1940'erne - 1950'erne fandt metoderne til funktionel analyse anvendelse i anvendte områder, især i Kantorovichs værker fra 1930'erne - 1940'erne, blev funktionelle analyseværktøjer brugt i beregningsmatematik og økonomi ( lineær programmering ). I 1950'erne, i Pontryagins og studerendes værker, blev teorien om optimal kontrol skabt i udviklingen af ​​metoderne til beregning af variationer .

Fra anden halvdel af det 20. århundrede, med udviklingen af ​​differentiel topologi , sluttede en ny retning sig til analyse - analyse af manifolder , kaldet "global analyse" , som faktisk begyndte at dannes tidligere, i 1920'erne, inden for rammerne af morseteori som en generalisering af variationskalkylen (kaldet morse "variationsregning generelt", engelsk variationskalkyle i stort ). Dette område omfatter områder skabt i udviklingen af ​​teorien om bifurkationer af dynamiske systemer ( Andronov ) som teorien om singulariteter ( Whitney , 1955 ) og teorien om katastrofer ( Tom , 1959 og Mather , 1965 ), som modtog udvikling i 1970'erne i Zieman og Arnolds værker .  

I begyndelsen af ​​1960'erne skabte Robinson ikke-standardanalyse  - en alternativ formalisering af både klassiske og beslægtede analyseområder ved hjælp af modelteoretiske værktøjer . Hvis ikke-standardanalyse først blev betragtet som en logisk teknik til at underbygge begreber dårligt formaliseret i de klassiske afsnit (først og fremmest uendeligt store og uendeligt små mængder ), så med udviklingen i slutningen af ​​1970'erne af Nelson ( engelsk Edward Nelson ) af teorien om interne mængder og efterfølgende generaliseringer, viste det sig, at konstruktionerne af ikke-standardanalyse er anvendelige i næsten alle grene af matematikken, som naturligt er iboende i alle matematiske objekter [4] . På grund af sprogets udtryksfuldhed af ikke-standardanalyse afslørede dets midler desuden resultater, der ikke blev fundet i klassisk analyse, men som samtidig i princippet kunne opnås med standard, klassiske midler [5] . Også i 1970'erne - 1980'erne, i udviklingen af ​​forceringsmetoden (skabt af Cohen for at bevise uafgøreligheden af ​​kontinuumhypotesen i ZFC ), i værkerne af Solovay , Scott og Vopěnka ( tjekkisk. Petr Vopěnka ), teorien om Boolske værdisatte modeller blev udviklet , på grundlag af hvilke en uafhængig gren af ​​ikke-standardanalyse tog form - boolsk værdiansættelse [6] .  

Klassisk matematisk analyse

Klassisk matematisk analyse - et afsnit, der faktisk helt svarer til den historiske " analyse af infinitesimals ", består af to hovedkomponenter: differential- og integralregning . Hovedbegreberne er grænsen for en funktion , differential , afledt , integral , hovedresultaterne er Newton-Leibniz-formlen , som forbinder det bestemte integral og antiafledt , og Taylor-serien er  serieudvidelsen af ​​en uendeligt differentierbar funktion i naboskab til et punkt.

Udtrykket "matematisk analyse" forstås normalt som dette klassiske afsnit, mens det hovedsageligt bruges i læseplaner og materialer. Samtidig indgår studiet af analysegrundlaget i de fleste ungdomsuddannelser , og et mere eller mindre komplet studium af faget indgår i de første års videregående uddannelser for en lang række specialer, bl.a. mange humaniora. I den anglo-amerikanske uddannelsestradition bruges udtrykket "calculus" ( engelsk  calculus ) til at henvise til klassisk matematisk analyse .

Funktionsteorien for en reel variabel

Funktionsteorien for en reel variabel (nogle gange kaldet kort - funktionsteorien ) opstod som et resultat af formaliseringen af ​​begreberne om et reelt tal og en funktion [7] : hvis der i de klassiske analyseafsnit kun opstår funktioner, der opstår i specifikke problemer blev betragtet på en naturlig måde, så i funktionsteorien bliver funktionerne selv genstand for undersøgelse, deres adfærd, korrelationer af deres egenskaber studeres. Et af resultaterne, der illustrerer det specifikke ved funktionsteorien for en reel variabel [8]  er det faktum, at en kontinuert funktion muligvis ikke har en afledt på noget tidspunkt (i øvrigt, ifølge tidligere ideer om klassisk matematisk analyse, differentierbarheden af ​​alle kontinuerlige funktioner blev der ikke stillet spørgsmålstegn ved).

De vigtigste retninger for teorien om funktioner for en reel variabel [9] :

• måleteori , som hovedværktøj, bruger begreberne mængdemål og målbar funktion , på baggrund af hvilke de introduceres på mere generelle måder end i klassisk analyse, og integration og differentiering studeres, introduceres konvergensbegrebet i en særlig måde studeres en ret bred klasse af diskontinuerlige funktioner;
• deskriptiv teori for funktioner af en reel variabel, som studerer klassifikationer af funktioner ved hjælp af beskrivende mængdeteori (hovedresultatet er Baer-klasser );
• konstruktiv teori om funktioner, der undersøger problemer med tilnærmelse og interpolation af funktioner af en reel variabel (udviklet i værker af Chebyshev og Bernstein [10] ).

Funktionsteorien for en kompleks variabel

Emnet for undersøgelse af teorien om funktioner for en kompleks variabel er numeriske funktioner defineret på det komplekse plan eller komplekse euklidiske rum , mens de mest grundigt studerede er analytiske funktioner , der spiller en vigtig forbindelsesrolle for næsten alle grene af matematisk analyse. Især er begrebet en analytisk funktion blevet generaliseret til vilkårlige Banach-rum , så mange resultater af teorien om funktioner for en kompleks variabel er blevet generaliseret i funktionel analyse.

Funktionsanalyse

Funktionel analyse som et afsnit er karakteriseret ved tilstedeværelsen som et studieobjekt af topologiske vektorrum og deres kortlægninger med forskellige algebraiske og topologiske betingelser pålagt dem [11] . Funktionsrum spiller en central rolle i funktionel analyse, et klassisk eksempel er rummene for alle målbare funktioner , hvis th grad er integrerbar; desuden er det allerede  et uendeligt-dimensionelt rum ( Hilbert-rum ), og rum af uendelige dimensioner er iboende i funktionel analyse i en sådan grad, at nogle gange er hele sektionen defineret som en del af matematikken, der studerer uendelig-dimensionelle rum og deres afbildninger [12] . Den vigtigste form for rum i de klassiske sektioner af funktionel analyse er Banach-rum  - normerede vektorrum, komplet i metrikken genereret af normen: en betydelig del af rum, der er interessante i praksis, er sådanne, blandt dem er alle Hilbert-rum, rum , Hårdføre rum , Sobolev rum . En vigtig rolle i funktionel analyse spilles af algebraiske strukturer, der er Banach-rum - Banach-gitter og Banach-algebraer (herunder --algebraer , von Neumann-algebraer ).

Operatorteori , som studerer afgrænsede lineære operatorer  , er en stor undersektion af funktionel analyse, herunder spektralteori , teorier om forskellige klasser af operatorer (især kompakte , Fredholm , lukkede operatorer), teorien om operatorer på specielle normerede rum (på Hilbert) rum - selvtilgrænsende , normale , unitære , positive operatorer, på funktionelle rum - differentielle , pseudo -differentielle , integrale og pseudo -integrale operatorer og andre), teorien om invariante underrum , teorien om klasser af operatorer - operatoralgebraer , operator semigrupper og andre.

Variationsberegning

Hovedobjektet for undersøgelse af variationsregningen er variationerne af funktionaler , ved hjælp af hvilke ekstreme problemer løses, afhængigt af valget af en eller flere variable funktioner. Et typisk variationsproblem er at finde en funktion, der opfylder stationaritetsbetingelsen for en given funktionel, det vil sige en funktion, hvis infinitesimale forstyrrelser ikke forårsager en ændring i det funktionelle, i det mindste i den første orden af ​​småhed. Den klassiske variationsregning havde en stor instrumentel indflydelse på mange grene af fysikken ( mekanikkens variationsprincipper fandt også bred anvendelse inden for elektrodynamik , kvantemekanik ). Teorien om optimal kontrol  er anvendelsen af ​​metoderne til beregning af variationer for en meget bredere klasse af problemer: bestemmelse af de bedste parametre for systemer under forhold, hvor kontrolparametrene også kan antage grænseværdier.

Harmonisk analyse

Hovedprincippet i harmonisk analyse er reduktionen af ​​analyseproblemer til studiet af værktøjer til harmoniske funktioner og deres generaliseringer. Klassisk harmonisk analyse omfatter som det vigtigste middel i teorien om trigonometriske serier , Fourier-transformationer , næsten periodiske funktioner , Dirichlet-rækken [13] .

I abstrakt harmonisk analyse generaliseres klassiske metoder til abstrakte strukturer ved hjælp af begreber som Haar-målet og grupperepræsentationer [14] . Det vigtigste resultat af kommutativ harmonisk analyse er Pontryagins dualitetssætning , på grund af hvilken næsten alle klassiske resultater af harmonisk analyse er beskrevet med relativt simple algebraiske midler. En videreudvikling af teorien er ikke-kommutativ harmonisk analyse, som har vigtige anvendelser inden for kvantemekanik .

Differential- og integralligninger

I forbindelse med differentialligninger skelnes der mellem to hovedretninger i analyse - teorien om almindelige differentialligninger og teorien om partielle differentialligninger (i undervisningsmateriale og nogle klassifikationer, der optræder som "ligninger for matematisk fysik", siden studiet af en sådan klasse af ligninger er hovedindholdet i matematisk fysik ).

I teorien om integralligninger er der ud over de klassiske løsningsmetoder områder som Fredholm-teorien , der havde en væsentlig indflydelse på dannelsen af ​​funktionel analyse som en selvstændig sektion, især bidrog til dannelsen af begrebet Hilbert rum .

Teori om dynamiske systemer og ergodisk teori

Fra hovedområderne for undersøgelse af differentialligninger skilte teorien om dynamiske systemer , der studerer udviklingen af ​​mekaniske systemer i tid, og ergodisk teori , rettet mod at underbygge statistisk fysik , sig ud som selvstændige sektioner . På trods af problemernes anvendte karakter omfatter disse afsnit en bred vifte af begreber og metoder af generel matematisk betydning, især begreberne stabilitet og ergodicitet .

Global analyse

Global analyse  er en analysegren, der studerer funktioner og differentialligninger på manifolder og vektorbundter [15] ; nogle gange omtales denne retning som "analyse på manifolder".

Et af de første områder af global analyse er Morse-teorien og dens anvendelse på geodetiske problemer på Riemannske manifolder ; retning blev kaldt "variationsregning generelt". Hovedresultaterne er Morse-lemmaet , som beskriver opførselen af ​​glatte funktioner på glatte manifolder ved ikke-degenererede entalspunkter og en sådan homotopi-invariant som Lyusternik-Shnirelman-kategorien . Mange af konstruktionerne og udsagn er generaliseret til tilfældet med uendelig-dimensionelle manifolds ( Hilbert manifolds , Banach manifolds ). Resultaterne opnået inden for rammerne af den globale analyse af enkeltpunkter har fundet bred anvendelse til løsning af rent topologiske problemer, såsom for eksempel Botts periodicitetssætning , der i vid udstrækning tjente som grundlag for et uafhængigt afsnit af matematik - teori , såvel som sætningen om -kobordisme , en konsekvens af hvilket er opfyldelsen af ​​Poincaré-formodningen for dimensioner større end 4.

En anden stor blok af områder inden for global analyse, som er blevet brugt i vid udstrækning inden for fysik og økonomi, er teorien om singulariteter , teorien om bifurkationer og teorien om katastrofer ; hovedretningen for forskning i denne blok er klassificeringen af ​​adfærden af ​​differentialligninger eller funktioner i nærheden af ​​kritiske punkter og identifikation af karakteristiske træk ved de tilsvarende klasser.

Ikke-standard analyse

Ikke-standardanalyse er formalisering af analysebegreberne ved hjælp af matematisk logik , hovedideen er den formelle aktualisering af uendeligt store og infinitesimale værdier og den logiske formalisering af manipulationer med dem. Samtidig viser ikke-standardiserede analyseværktøjer sig at være meget praktiske: De opnåede resultater, der ikke tidligere blev fundet med klassiske midler på grund af manglende synlighed [5] .

Ikke-standardanalyse er opdelt i to områder: semantisk, ved hjælp af modelteoretiske værktøjer, og syntaktisk, ved hjælp af forskellige udvidelser af standardmængdeteori . Den semantiske retning er baseret på den lokale Maltsev-sætning , som gør det muligt at overføre egenskaber fra lokale dele af modeller til hele modellen [16] . Der er en stor uafhængig gren af ​​den semantiske retning af ikke-standardanalyse - Boolean valued analysis, konstrueret omkring begrebet en boolsk værdisat model [17] . Den syntaktiske retning er baseret på teorien om interne mængder , hvis nøgleide er introduktionen af ​​begrebet ikke-standardelementer og standarditetsprædikatet og aksiomatiseringen af ​​deres iboende egenskaber. En anden variant af syntaktisk formalisering er alternativ mængdeteori [18] .

Ansøgninger

Noter

1. ↑ Matematik, 1956 , §7. Moderne matematik // A. D. Aleksandrov, s. 55.
2. ↑ Dieudonné, 1981 , §1. Fredholms opdagelse, s. 97.
3. ↑ Dieudonné, 1981 , Kapitel V. Afgørende år og definition af Hilbert-rum, s. 97.
4. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , ... ikke-standardanalyse blev betragtet som en ret subtil og endda eksotisk logisk teknik designet til at retfærdiggøre metoden med faktiske uendeligt store og uendeligt små tal <...> I slutningen af ​​70'erne, efter offentliggørelsen af ​​teorien om interne mængder af E. Nelson (og noget senere teorierne om eksterne mængder af K. Hrbachek og T. Kawai), blev synspunkter om ikke-standardanalyses sted og rolle radikalt beriget og ændret. I lyset af nye opdagelser er det blevet muligt at betragte ikke-standardiserede elementer <...> som integrerede dele af alle velkendte matematiske objekter. Der opstod en holdning, der består i, at hvert sæt er dannet af standard- og ikke-standardelementer, s. viii.
5. ↑ 1 2 Analyse (afsnit af matematik) - artikel fra Mathematical Encyclopedia . Dragalin A. G. Med hjælp fra N. a. en række nye fakta blev opdaget. Mange klassiske. beviser har mærkbart gavn af klarhed, når de præsenteres ved hjælp af ikke-standardanalysemetoder
6. ↑ A. G. Kusraev, S. S. Kutateladze. Introduktion til boolesk værdsat analyse. — M .: Nauka, 2005. — 526 s. — ISBN 5-02-033710-2 .
7. ↑ TSB, Mathematics, 1978 , Som et resultat af den systematiske konstruktion af matematisk analyse på grundlag af en stringent aritmetisk teori om irrationelle tal og mængdelære opstod en ny gren af ​​matematikken - teorien om funktioner af en reel variabel.
8. ↑ TSB, Mathematics, 1978 , for teorien om funktioner af en reel variabel, er interessen for fuldstændig belysning af det reelle omfang af de generelle analysebegreber typisk (i begyndelsen af ​​dens udvikling, B. Bolzano og senere K. Weierstrass fandt for eksempel ud af, at en kontinuert funktion muligvis ikke har en afledt af nogen af ​​dem på ét punkt).
9. ↑ Funktionsteori // Stor sovjetisk encyklopædi  : [i 30 bind]  / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M .  : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
10. ↑ Matematik, 1956 , §7. Moderne matematik // A. D. Alexandrov), s. 56.
11. ↑ Dieudonné, 1981 , Man kan give mange definitioner af "funktionel analyse". Dens navn kan antyde, at den indeholder alle dele af matematikken, der omhandler funktioner, men det ville praktisk talt betyde al matematisk analyse. Vi skal vedtage en snævrere definition: for os vil det være studiet af topologiske vektorrum og af kortlægninger fra en del af et topologisk vektorrum til et topologisk vektorrum , idet disse kortlægninger antages at opfylde forskellige algebraiske og topologiske betingelser, s. en.
12. ↑ Funktionsanalyse // Great Soviet Encyclopedia  : [i 30 bind]  / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M .  : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
13. ↑ Harmonisk analyse - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . E. M. Nikitin
14. ↑ Abstrakt harmonisk analyse - artikel fra Mathematical Encyclopedia . E. A. Gorin, A. I. Stern
15. ↑ Smale S. Hvad er global analyse?  (engelsk)  // American Mathematical Monthly. - 1969. - Bd. 76 , nr. 1 . - S. 4-9 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2316777 .
16. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , A. Robinson påberåbte sig A. I. Maltsevs lokale sætning og fremhævede det som et resultat af "fundamental betydning for vores teori", s. elleve.
17. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , s. xi.
18. ↑ P. Vopenka. Matematik i den alternative mængdeteori = Matematik i den alternative mængdeteori / oversat af A. Dragalin. — M .: Mir, 1983. — 152 s. — (Ny i fremmed matematik). - 6000 eksemplarer.

Litteratur

• Matematik, dens indhold, metoder og betydning / A. D. Aleksandrov , A. N. Kolmogorov , M. A. Lavrentev . - M . : Forlag for Videnskabsakademiet i USSR, 1956. - T. 1. - 296 s. - 7000 eksemplarer.
• Matematik / A. N. Kolmogorov  // Store sovjetiske encyklopædi  : [i 30 bind]  / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M .  : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
• Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Infinitesimal analyse: udvalgte emner. — M .: Nauka, 2011. — 398 s. - ISBN 978-5-02-036137-9 .
• Dieudonné, J. Funktionsanalyses historie. - Amsterdam: Nordholland, 1981. - 314 s. — (Notas de Matematica, bind 77). - ISBN 0-444-84148-3 .

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk stor kinesisk Fantastisk norsk jorden rundt kroatisk Britannica (online) Universalis Moderne Ukraine
I bibliografiske kataloger BNE : XX525032 BNF : 131626631 GND : 4001865-9 J9U : 987007555766505171 LCCN : sh85082116 NDL : 00564620 NKC : ph115238