Dynamisk system

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. juni 2020; checks kræver 5 redigeringer .

Et dynamisk system er et sæt af elementer, for hvilke der er specificeret et funktionelt forhold mellem tid og position i faserummet for hvert element i systemet. Denne matematiske abstraktion giver dig mulighed for at studere og beskrive udviklingen af systemer i tid.

Tilstanden af et dynamisk system på ethvert tidspunkt er beskrevet af et sæt reelle tal (eller vektorer), der svarer til et bestemt punkt i tilstandsrummet . Udviklingen af et dynamisk system bestemmes af en deterministisk funktion, det vil sige, efter et givet tidsinterval, vil systemet indtage en bestemt tilstand, afhængig af den aktuelle.

Introduktion

Et dynamisk system er en matematisk model af et eller andet objekt, proces eller fænomen, hvor "udsving og alle andre statistiske fænomener" ignoreres. [en]

Et dynamisk system kan også repræsenteres som et stateful system . Med denne tilgang beskriver det dynamiske system (som helhed) dynamikken i en proces, nemlig: processen med systemovergangen fra en tilstand til en anden. Et systems faserum er totaliteten af alle tilladte tilstande i et dynamisk system. Et dynamisk system er således karakteriseret ved dets begyndelsestilstand og den lov, hvorved systemet går fra starttilstanden til en anden.

Skelne mellem systemer med diskret tid og systemer med kontinuerlig tid.

I diskrete-tidssystemer, traditionelt kaldet kaskader , beskrives systemets opførsel (eller tilsvarende systemets bane i faserummet) af en sekvens af tilstande. I kontinuerte tidssystemer, traditionelt kaldet flows , er systemets tilstand defineret for hvert tidspunkt på den reelle eller komplekse akse. Kaskader og strømninger er hovedemnet for overvejelser i symbolsk og topologisk dynamik.

Et dynamisk system (med både diskret og kontinuerlig tid) beskrives ofte af et autonomt system af differentialligninger , givet på et eller andet område og der opfylder betingelserne for eksistenssætningen og det unikke ved løsningen af differentialligningen. Ligevægtspositionerne for det dynamiske system svarer til differentialligningens entalspunkter, og de lukkede fasekurver svarer til dets periodiske løsninger.

Hovedindholdet i teorien om dynamiske systemer er studiet af kurver defineret af differentialligninger . Dette inkluderer opdelingen af faserummet i baner og studiet af disse baners begrænsende adfærd: søgning og klassificering af ligevægtspositioner, udvælgelse af tiltrækkende ( attraktorer ) og frastødende ( afvisende ) sæt (manifolds). De vigtigste begreber i teorien om dynamiske systemer er stabiliteten af ligevægtstilstande (dvs. et systems evne til, med små ændringer i startbetingelserne, at forblive i vilkårligt lang tid i nærheden af ligevægtspositionen eller på en given manifold) og ruhed (dvs. bevarelsen af egenskaber med små ændringer i selve den matematiske model; " Et groft system er et, hvis kvalitative karakter af bevægelse ikke ændres med en tilstrækkelig lille ændring i parametrene. [2] [1]

Inddragelse af probabilistisk-statistiske repræsentationer i den ergodiske teori om dynamiske systemer fører til begrebet et dynamisk system med et invariant mål .

Den moderne teori om dynamiske systemer er et fællesnavn for studier, hvor metoder fra forskellige grene af matematikken er meget brugt og effektivt kombineret: topologi og algebra, algebraisk geometri og måleteori, teorien om differentialformer, teorien om singulariteter og katastrofer.

Metoder til teorien om dynamiske systemer er efterspurgte i andre grene af naturvidenskaben, såsom termodynamik i ikke -ligevægt , dynamisk kaosteori , synergetik .

Definition

Lad være en vilkårlig glat manifold . $x$

Et dynamisk system defineret på en glat manifold er en mapping skrevet i den parametriske form , hvor , som er en differentierbar mapping, og er den identiske mapping af rummet . I tilfælde af stationære reversible systemer danner én-parameter-familien en gruppe af transformationer af det topologiske rum , hvilket betyder, at identiteten især gælder for enhver . $x$ $g\colon \mathbb {R} \time X\to X$ $g^{{t}}(x)$ $t\in \mathbb {R} ,x\in X$ $g^{0}$ $x$ ${\displaystyle \{g^{t}:t\in \mathbb {R} \))$ $x$ $t_{1},t_{2}\in \mathbb {R}$ $g^{{t_{1}}}\circ g^{{t_{2}}}=g^{{t_{1}+t_{2}}}$

Det følger af kortlægningens differentiabilitet , at funktionen er en differentierbar funktion af tid, dens graf er placeret i det udvidede faserum og kaldes det dynamiske systems integralbane (kurve). Dens projektion på rummet , som kaldes faserummet , kaldes fasebanen (kurven) for et dynamisk system. $g$ $g^{{t}}(x_{0})$ $\mathbb {R} \time X$ $x$

At specificere et stationært dynamisk system svarer til at opdele faserummet i fasebaner. At specificere et dynamisk system svarer generelt til at opdele det udvidede faserum i integrerede baner.

En ændring af koordinater er en diffeomorfisme (hvis strukturen er glat) eller en homeomorfisme (fra et topologisk synspunkt) af faserum. Det er muligt at definere et ækvivalenssæt mellem dynamiske systemer, der er forbundet med forskellige klasser af koordinater. Problemet med strukturen af baner i dette tilfælde kan forstås som et problem med at klassificere dynamiske systemer op til ækvivalensrelationer.

Metoder til at definere dynamiske systemer

For at definere et dynamisk system er det nødvendigt at beskrive dets faserum , et sæt af tidspunkter og en eller anden regel , der beskriver bevægelsen af punkter i faserummet med tiden. Sættet af tidsmomenter kan enten være et interval af en reel linje (så siger man, at tiden er kontinuerlig ), eller et sæt af heltal eller naturlige tal ( diskret tid). I det andet tilfælde er "bevægelsen" af et faserumspunkt mere som øjeblikkelige "spring" fra et punkt til et andet: et sådant systems bane er ikke en glat kurve, men blot et sæt punkter, og kaldes normalt en bane . Ikke desto mindre er der, på trods af den ydre forskel, et tæt forhold mellem systemer med kontinuerlig og diskret tid: mange egenskaber er fælles for disse klasser af systemer eller kan let overføres fra den ene til den anden. $x$ $T$ $T$

Fasestrømme

Lad faserummet være et multidimensionelt rum eller et område i det, og tiden være kontinuerlig. Lad os antage, at vi kender den hastighed, hvormed hvert punkt i faserummet bevæger sig. Med andre ord er hastighedsvektorfunktionen kendt . Så vil punktets bane være løsningen af den autonome differentialligning med startbetingelsen . Det dynamiske system defineret på denne måde kaldes faseflowet for en autonom differentialligning. $x$ $x$ $v(x)$ $x_{0}\i X$ ${\frac {dx}{dt}}=v(x)$ $x(0)=x_{0}$

Cascades

Lad være et vilkårligt sæt og være noget kortlægning af sættet på sig selv. Overvej iterationer af denne kortlægning, det vil sige resultaterne af dens gentagne anvendelse på punkter i faserummet. De definerer et dynamisk system med et faserum og mange tidspunkter . Faktisk vil vi antage, at et vilkårligt punkt går over i et tidspunkt . Så vil dette punkt med tiden flytte til et punkt , og så videre. $x$ $f\kolon X\til X$ $x$ $x$ $T={\mathbb N}$ $x_{0}\i X$ $en$ $x_{1}=f(x_{0})\i X$ $2$ $x_{2}=f(x_{1})=f(f(x_{0}))$

Hvis kortlægningen er reversibel, er det muligt at definere omvendte iterationer : osv . Således får vi et system med et sæt af tidspunkter . $f$ $x_{{-1}}=f^{{-1}}(x_{0})$ $x_{{-2}}=f^{{-1}}(f^{{-1}}(x_{0}))$ $T={\mathbb Z}$

Eksempler

System af differentialligninger

{\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=v\\{\frac {dv}{dt}}=-kx\end{cases}}

definerer et dynamisk system med kontinuerlig tid, kaldet "harmonisk oscillator". Dets faserum er planet , hvor punkthastigheden er . Den harmoniske oscillator modellerer forskellige oscillatoriske processer, for eksempel opførselen af en belastning på en fjeder. Dens fasekurver er ellipser centreret ved nul. $(x,v)$ $v$ $x$

Lad være en vinkel, der angiver positionen af et punkt på enhedscirklen. Fordoblingsmappingen definerer et tidsdiskret dynamisk system, hvis faserum er en cirkel. $\varphi$ $f(\varphi )=2\varphi {\pmod {2\pi }}$
Hurtigt-langsomme systemer beskriver processer, der udvikler sig samtidigt på flere tidsskalaer.
Dynamiske systemer, hvis ligninger kan opnås via princippet om mindste handling for en bekvemt valgt Lagrangian er kendt som "Lagrangian dynamiske systemer".

Spørgsmål om teorien om dynamiske systemer

Med en eller anden opgave som et dynamisk system, er det langt fra altid muligt at finde og beskrive dets baner i en eksplicit form. Derfor overvejes normalt simplere (men ikke mindre meningsfulde) spørgsmål om systemets generelle adfærd. For eksempel:

Har systemet lukkede fasekurver, det vil sige, kan det vende tilbage til sin oprindelige tilstand i løbet af evolutionen?
Hvordan er systemets invariante manifolds (hvoraf et særligt tilfælde er lukkede baner) arrangeret?
Hvordan virker systemets attraktor , det vil sige sættet i faserummet, som "flertallet" af baner har tendens til?
Hvordan opfører baner, der affyres fra tætte punkter, sig - forbliver de tæt på, eller bevæger de sig over tid til en betydelig afstand?
Hvad kan man sige om adfærden af et "typisk" dynamisk system fra en bestemt klasse?
Hvad kan man sige om adfærden af dynamiske systemer "tæt" på det givne?

Se også

Noter

↑ 1 2 Andronov, 1981 , s. 18-19.
↑ Andronov, 1955 , s. 3-19.

Litteratur

Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Theory of Oscillations. - 2. udg., revideret. og rettet - M . : Nauka, 1981. - 918 s.
Til minde om Alexander Alexandrovich Andronov . - M . : Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1955.
Malinetsky G. G. , Potapov A. B. , Podlazov A. V. Ikke- lineær dynamik: tilgange, resultater, håb . — M .: URSS, 2006.
udg. Anosov DV Glatte dynamiske systemer. — M .: Mir, 1977. — 256 s.
Evlanov LG Styring af dynamiske systemer. - M. : Nauka, 1972. - 423 s. - 4800 eksemplarer.
Birkhoff J. Dynamiske systemer. - M. : OGIZ, 1999. - 480 s. - 3500 eksemplarer. — ISBN 5-7029-0356-0 .

Gukenheimer J., Holmes F. Ikke- lineære oscillationer, dynamiske systemer og bifurkationer af vektorfelter - 2002. - 560 s. — ISBN 5-93972-200-8 .

Palis J., di Melu V. Geometrisk teori om dynamiske systemer: Introduktion. - Mir, 1986. - 301 s.
Seks forelæsninger om teorien om ikke-lineære dynamiske systemer / N.V. Karlov , N.A. Kirichenko . MIPT, [1998?]. - 178 s. : ill.; 30 cm; ISBN 5-7417-0096-9