Fredholm integral operatør

Fredholm integraloperatoren er en fuldstændig kontinuerlig lineær integraloperator af formen

(Af)(x)=\int _{G}K(x,t)f(t)\,dt,

kortlægning af et funktionsrum til et andet. Her er et område i det euklidiske rum , er en funktion defineret på en kartesisk firkant , kaldet kernen af integraloperatoren [1] . For fuldstændig kontinuitet for operatøren er der pålagt yderligere begrænsninger for kernen . Oftest betragtes kontinuerlige kerner [2] , -kerner [3] [4] og også polære kerner [2] [5] . Fredholm-integraloperatoren og dens egenskaber bruges til at løse Fredholm-integralligningen . $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K(x,t)$ $G\ gange G$ $EN$ $K(x, y)$ $L_{2}$

Egenskaber

Linearitet

Fredholm integraloperatoren er lineær , dvs. $A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag$

Kontinuitet

En integral operator med kontinuert på [6] kernel , maps til (og følgelig til og til ) og er afgrænset (kontinuerlig), og ${\bar {G}}\time {\bar {G}}$ $K(x, y)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $C(\bar G)$ $C(\bar G)$ $L_2(G)$ $L_2(G)$

\|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),

\|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G))),

\|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),

hvor

M=\max \limits _{x\in {\bar {G)),\,y\in {\bar {G))}|K(x,y)|,\quad V=\int _{G}dy.

[7] .

Integral operator med -kerne: $L_{2}$

\int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty

oversættes til , er kontinuerlig og opfylder estimatet: $L_2(G)$ $L_2(G)$

\|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.

[1] [8]

Der er kontinuitetsbetingelser for integrerede operatører fra til . [9] $L_{p}$ ${\displaystyle L_{q))$

Sikke en kontinuitet

En integral operator med en kontinuerlig kerne er fuldstændig kontinuert fra til , det vil sige , den tager ethvert sæt , der er afgrænset til et sæt, der er prækompakt i [10] . Helt kontinuerlige operatører er bemærkelsesværdige ved, at Fredholm-alternativet holder for dem . En integraloperator med en kontinuerlig kerne er grænsen for en sekvens af finit-dimensionelle operatorer med degenererede kerner. Lignende påstande gælder for en integral operator med -kernel. [elleve] $K(x, y)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $L_{2}$

Der er også svagere tilstrækkelige betingelser for fuldstændig kontinuitet (kompakthed) af en integreret operatør fra til . [12] $L_{p}$ ${\displaystyle L_{q))$

Adjoint operator

Adjoint-operatoren til en operator med -kerne i et Hilbert-rum har formen $EN$ $L_{2}$ $L_2(G)$

(A^{*}f)(x)=\int _{G}{\overline {K(y,x)))f(y)\,dy.

Hvis , så er Fredholm integraloperatoren selvadjoint [ 1] [11] $K(x,y)={\overline {K(y,x)))$ $EN$

Omvendt operator

For tilstrækkeligt små værdier har operatoren (hvor er identitetsoperatoren ) en omvendt form , hvor er Fredholm-integraloperatoren med kernel , kernens opløsningsmiddel [13] . $|\lambda|$ $I-\lambda A$ $jeg$ $I+\lambda R$ $R$ $R(x, y, \lambda)$ $K(x, y)$

Se også

Noter

↑ 1 2 3 Khvedelidze, 1979 .
↑ 1 2 Vladimirov, 1981 , kapitel IV.
↑ Tricomi, 1960 .
↑ Kolmogorov, Fomin, 1976 , kapitel IX.
↑ Manzhirov, Polyanin, 2000 .
↑ - områdelukning _ $\bar G$ $G$
↑ Vladimirov, 1981 , s. 272.
↑ Tricomi, 1960 , § 1.6.
↑ Manzhirov, Polyanin, 2000 , § 9.3-1.
↑ Vladimirov, 1981 , § 19.
↑ 1 2 Kolmogorov, Fomin, 1976 , kapitel IX, § 2.
↑ Manzhirov, Polyanin, 2000 , § 9.3-2.
↑ Vladimirov, 1981 , § 17.

Litteratur

Khvedelidze B. V. . Integral operator // Matematisk encyklopædi : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1979. - T. 2: D - Koo. - 1104 stb. : syg. — 150.000 eksemplarer.
Vladimirov V.S. Matematisk fysiks ligninger. 4. udg. - M . : Nauka, Ch. udg. Fysisk.-Matematik. litteratur, 1981. - 512 s.
Tricomi F. Integralligninger. Om. fra engelsk .. - M . : Izd-vo inostr. litteratur, 1960.
Manzhirov A. V., Polyanin A. D. . Håndbog i integralligninger: Løsningsmetoder. - M . : Factorial Press, 2000. - 384 s. - ISBN 5-88688-046-1 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. . Elementer i funktionsteori og funktionsanalyse. — Videnskab, Ch. udg. Fysisk.-Matematik. liter. - M. , 1976.