Banach algebra

En Banach-algebra over et komplekst eller reelt felt er en associativ algebra , som er et Banach-rum . I dette tilfælde skal multiplikationen i den være i overensstemmelse med normen:

\foral x, y \i A , \|x \, y\| \ \leq \|x \| \, \| y\|

Denne egenskab er nødvendig for kontinuiteten af multiplikationsoperationen i forhold til normen.

En Banach-algebra kaldes en enheds- eller Banach -algebra med en enhed, hvis den har en enhed (det vil sige et element , der er sandt for alle ). I dette tilfælde kræves det normalt, at enhedsnormen er lig med 1. Hvis der findes en enhed, så er den unik. Enhver Banach-algebra kan være isometrisk indlejret i dens tilsvarende enheds-Banach-algebra som et lukket tosidet ideal . $\mathbf{1}$ $x\i A$ $x\mathbf{1}=\mathbf{1} x=x$ $EN$ $A_e$

En Banach algebra siges at være kommutativ , hvis operationen af multiplikation i den er kommutativ .

Eksempler

Felter med komplekse tal eller reelle tal - og med hensyn til standardoperationerne for addition og multiplikation. Disse er enhedskommutative algebraer. $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$
Algebraer af komplekse eller reelle matricer med hensyn til matrixmultiplikation og submultiplikativ matrixnorm .
Kvaternionalgebraen er en rigtig algebra med en norm, et modul .
$C(\Omega)$ er algebraen af kontinuerte funktioner i et kompakt sæt med hensyn til punktvis multiplikation i forhold til supnormen . Et mere generelt eksempel er rummet af komplekst værdifulde funktioner, der forsvinder i det uendelige, hvor er et lokalt kompakt rum . $C_0(\Omega)$ $\Omega$
Algebra af afgrænsede operatorer , der virker på et Banach-rum, med hensyn til operatornorm og sammensætning som multiplikation. Sættet af kompakte operatører med hensyn til de samme operationer er et lukket ideal i denne algebra.
Hvis er en lokalt kompakt Hausdorff -topologisk gruppe med Haar-mål , så er Banach -rummet af målintegrerbare komplekst værdifulde funktioner på en Banach-algebra med hensyn til multiplikation-foldning, defineret af formlen $G$ $\mu$ $L_1(G)$ $\mu$ $G$

(xy)(g) = \int_G x(h) y(h^{-1}g) \, \mathrm{d}\mu(h), \; g \i G

$L_1(\mathbb R)$ er algebraen af funktioner, der kan summeres på linjen med foldning som multiplikation. Dette er et særligt tilfælde af det foregående eksempel.
C*-algebra er en algebra med * -involution kompatibel med normen: $\forall a \ ||a^*a||=||a||^2$

Egenskaber

Nogle elementære funktioner kan defineres ved hjælp af potensrækker for elementer i en Banach-algebra. Især kan man definere eksponenten for et element i en Banach-algebra, trigonometriske funktioner og generelt enhver hel funktion . For elementer i en Banach-algebra forbliver formlen for summen af en uendeligt faldende geometrisk progression ( Neumann-serien ) gyldig .

Sættet af inverterbare elementer i en algebra er et åbent sæt . Desuden er kortlægningen , der forbinder hvert inverterbart element med en invers, en homøomorfisme . Er således en topologisk gruppe. $\mathrm{Inv}(A)$ $EN$ $\mathrm{Inv}$ $\mathrm{Inv}(A)$

I en enhedsalgebra kan enheden ikke være en kommutator: for enhver x , y ∈ A. Det følger heraf, at det heller ikke er en kommutator. $xy - yx \ne \mathbf{1}$ $\lambda \mathbf{1}, \ \lambda \ne 0$

Gelfand - Mazur - sætningen er gyldig : enhver enhedskompleks Banach-algebra, hvor alle ikke-nul-elementer er invertible, er isomorfe . $\mathbb {C}$

Spektralteori

I unitale Banach-algebraer introduceres begrebet spektrum, som udvider begrebet spektrum af en operator til en mere generel klasse af objekter.

Et element i en algebra siges at være invertibelt , hvis der er et element sådan, at . Spektret af et element er mængden sådan , at elementet er irreversibelt. Spektret af ethvert element i en enhedskompleks Banach-algebra er et ikke-tomt kompakt sæt. På den anden side, for ethvert kompakt sæt, falder spektret af et element fra algebraen defineret af formlen sammen med , så der er ingen andre begrænsninger på spektret af et element i en vilkårlig Banach-algebra. $a\i A$ $EN$ $a^{-1} \i A$ $aa^{-1}=a^{-1}a=\mathbf{1}$ $\sigma(a)$ $-en$ $\lambda \in \mathbb{C},$ $a-\lambda \mathbf{1}$ $K \subset \mathbb{C}$ $w$ $C(K)$ $w(z)=z$ $K$

Den spektrale radius af et grundstof er mængden $\mathrm{r}(x)$ $x\i A$

\mathrm{r}(x) = \up \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(x) \}

Beurling - Gelfand formlen for den spektrale radius er gyldig :

\mathrm{r}(x) = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.

Det opløselige sæt af et element kaldes mængden . Opløsningssættet af et element i en Banach-algebra er altid åbent. Opløsningsmidlet af et element er en funktion af en kompleks variabel defineret af formlen . Opløsningsmidlet af et element i en Banach-algebra er en holomorf funktion . $a\i A$ $\rho(a) = \mathbb{C} \setminus \sigma(a)$ $a\i A$ $R_a \kolon \rho(a) \til A$ $R_a(\lambda) = (\lambda\mathbf{1} - a)^{-1}$

Hvis er en holomorf funktion i et kvarter af spektret , kan det bestemmes af formlen $f$ $D\delsæt {\mathbb {C}}$ $\sigma(a)$ $f(a) \i A$

f(a) = \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma f(\lambda) R_a(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda

hvor er en retificerbar Jordan-kontur liggende i , indeholdende elementets spektrum og orienteret positivt, og er elementets opløsningsmiddel . Denne formel kan især bruges til at bestemme eksponenten af et element fra en Banach-algebra. $\gamma$ $D$ $x$ $R_{a}$ $-en$

Idealer og karakterer

Lad A være en enhedskommutativ Banach- algebra over feltet af komplekse tal. Et tegn χ i en algebra A er en lineær funktional , der ikke er nul , og som har den multiplikative egenskab: for enhver a , b ∈ A , er χ( ab ) = χ( a )χ( b ) og χ( 1 ) = 1 sande. Det vil sige, at et tegn er en ikke-nul homomorfi af algebraer A og . Det kan bekræftes, at hvert tegn i en Banach-algebra er kontinuert, og dets norm er 1. $\mathbb {C}$

Karakterkernen er det maksimale ideal i A . Hvis er et maksimalt ideal, så er kvotientalgebraen et felt og en Banach-algebra, så er den ifølge Gelfand-Mazur-sætningen isomorf til . Derfor kan hvert maksimalt ideal tildeles et unikt tegn χ, således at ker χ = . Denne karakter er defineret som sammensætningen af en faktorkortlægning og en isomorfi i . Der etableres således en bijektion mellem sættet af karakterer og sættet af maksimale idealer . $\mathfrak{m}$ $A/\mathfrak{m}$ $\mathbb {C}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$ $A/\mathfrak{m}$ $\mathbb {C}$

Sættet af alle tegn kaldes rummet af maksimale idealer eller spektret af algebraen A og betegnes Spec A . Dette sæt kan udstyres med topologien nedarvet fra den svage* topologi (topologien for punktvis konvergens ) i det dobbelte rum A * . Det følger af Banach-Alaoglu-sætningen og lukketheden af Spec A , at Spec A er et kompakt Hausdorff-topologisk rum .

Gelfand-transformationen af et element i algebraen A er en kontinuerlig funktion defineret af formlen for alle tegn χ. Gel'fand-transformationen udfører en kontraktionshomomorfi af algebra A til algebra C(Spec A) af kontinuerlige funktioner på et kompakt sæt. $-en$ $\hat{a} \colon \mathrm{Spec}\, A \to \mathbb{C}$ $\hat{a}(\chi) = \chi(a)$

Radikalen i en algebra A er skæringspunktet mellem alle dets maksimale idealer. Hvis radikalet kun består af nul, sigesalgebraen A at være semisimple . Kernen i Gelfand-transformationen falder sammen med radikalet i algebraen, så Gelfand-transformationen er injektiv, hvis og kun hvis algebra A er semisimpel. Enhver semisimpel kommutativ Banach-algebra med enhed falder således sammen op til isomorfi med en eller anden algebra af funktioner, der er kontinuerlig på et kompakt sæt - med billedet af Gelfand-transformationen.

Litteratur

Naimark M. A. Normerede ringe. — M .: Nauka, 1968. — 664 s.
Helemsky A. Ya. Forelæsninger om funktionel analyse. - M. : MTSNMO, 2004. - ISBN 5-94057-065-8 .
Helemsky A. Ya. Banachs og polynormerede algebraer: generel teori, repræsentationer, homologi. — M .: Nauka, 1989. — ISBN 5-02-014192-5 .