Næsten periodisk funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. marts 2022; checks kræver 4 redigeringer .

En næsten periodisk funktion er en funktion på mængden af reelle tal, der er periodisk til enhver ønsket præcision givet tilstrækkeligt store ensartet fordelte "næsten perioder". Konceptet blev først studeret af Harald Bohr og efterfølgende generaliseret blandt andre af Vyacheslav Vasilyevich Stepanov , Herman Weil og Abram Samoylovich Besikovich . Der er også forestillingen om næsten periodiske funktioner på lokalt kompakte abelske grupper , som først blev studeret af John von Neumann .

Næsten periodicitet er en egenskab ved dynamiske systemer , der manifesterer sig, når man sporer systemets vej gennem faserummet . Et eksempel ville være et planetsystem med planeter i kredsløb , der bevæger sig med forskellige perioder (det vil sige med en vektor af perioder, der ikke er proportional med en vektor af heltal ). Kroneckers sætning fra teorien om diofantiske tilnærmelser kan bruges til at vise, at enhver bestemt konfiguration, når den er stødt på, vil gentage sig til enhver specificeret præcision - hvis vi venter længe nok, kan vi observere, at alle planeterne vil vende tilbage i buesekunder , hvor de var.

Motivation

Der er flere ikke-ækvivalente definitioner af næsten periodiske funktioner. Den første definition blev givet af Harald Bohr . Han var oprindeligt interesseret i den endelige Dirichlet-serie . Faktisk, hvis vi afskærer rækken af Riemann zeta-funktionen for at gøre den endelig, får vi endelige summer af medlemmer af typen $\zeta (s)$

e^{(\sigma +it)\log n}\,

med s skrevet som , summen af de reelle og imaginære it - dele. Hvis vi fixer , som begrænser opmærksomheden til en enkelt lodret linje i det komplekse plan, kan vi repræsentere dette som $(\sigma +it)$ $\sigma$ $\sigma$

n^{\sigma }e^{(\log n)it}.\,

Hvis vi tager en endelig sum af sådanne udtryk, går vanskelighederne med analytisk fortsættelse til domænet . Her er "frekvenserne" ikke sammenlignelige (de er alle lineært uafhængige over rationelle tal). $\sigma <1$ $\log{n}$

Af disse grunde overvejer vi typer af trigonometriske polynomier med uafhængige frekvenser og bruger calculus til at diskutere lukningen af dette sæt af basisfunktioner i forskellige normer .

For andre normer blev teorien udviklet af Besikovich , Stepanov , Weil , von Neumann , Turing , Bochner og andre i 1920'erne-1930'erne.

Ensartede (Bohr, Bochner) næsten periodiske funktioner

Bohr (1925) [1] definerede ensartet næsten periodiske funktioner som lukningen af trigonometriske polynomier i den ensartede norm

\|f\|_{\infty }=\sup _{x}|f(x)|

(for afgrænsede funktioner f på R ). Med andre ord er en funktion f ensartet næsten periodisk, hvis der for nogen er en endelig lineær kombination af sinusbølger i en afstand mindre end f i den ensartede norm. Bohr beviste, at denne definition svarer til eksistensen af et relativt tæt sæt af nærperioder for alle . Det vil sige eksistensen af parallelle oversættelser i variablen t for hvilken $\epsilon > 0$ $\epsilon$ $\epsilon-$ $\epsilon >0$ $T(\epsilon )=T$

\left|f(t+T)-f(t)\right|<\varepsilon .

Bochners (1926) alternative definition er ækvivalent med Bohrs og relativt enkelt anført:

En funktion f er næsten periodisk, hvis en sekvens af parallelle oversættelser f har en undersekvens , der konvergerer ensartet i t ved . $\{(t+T_{n})\}$ $(-\infty,+\infty)$

Næsten periodiske Bohr-funktioner er i det væsentlige de samme som kontinuerlige funktioner på Bohr-komprimeringen af reelle tal.

Stepanovs næsten periodiske funktioner

Rummet af næsten periodiske Steanov-funktioner (for ) blev introduceret af V.V. Stepanov (1925) [2] [3] Den indeholder rummet af næsten periodiske Bohr-funktioner. Rummet er normlukningen af trigonometriske polynomier ${\displaystyle S^{p))$ $p\geqslant 1$

\|f\|_{S,r,p}=\sup _{x}\left({1 \over r}\int _{x}^{x+r}|f(s)| ^{p}\,ds\right)^{1/p}

for enhver positiv fast r . For forskellige værdier af r giver denne norm den samme topologi og det samme rum af næsten periodiske funktioner (selvom normen i dette rum afhænger af valget af r ).

Næsten periodiske Weyl-funktioner

Rummet af næsten periodiske Weyl-funktioner (for ) blev introduceret af Weil (1927) [4] . Det indeholder rummet af næsten periodiske Stepnov-funktioner. Det er lukningen af trigonometriske polynomier i seminormen $W^{p}$ $p\geqslant 1$ ${\displaystyle S^{p))$

{\displaystyle \|f\|_{W,p}=\lim _{r\to \infty }\|f\|_{S,r,p))

Advarsel: der er ikke-nul funktioner med , samt enhver begrænset funktion på en kompakt støtte, så for at opnå et Banach mellemrum bør man tage kvotientrummet over disse funktioner. $f$ ${\lVert }f{\rVert }_{W,p}=0$

Næsten periodiske Besicovitch-funktioner

Rummet af næsten periodiske Besikovich-funktioner blev introduceret af Besikovich (1926) [5] . Det er lukningen af trigonometriske polynomier i seminormen ${\displaystyle B^{p))$

\|f\|_{B,p}=\limsup _{x\to \infty }\left({1 \over 2x}\int _{-x}^{x}|f(s) |^{p}\,ds\right)^{1/p}

De næsten periodiske Besicovitch-funktioner i har en udvidelse (ikke nødvendigvis konvergent) $B^{2}$

{\displaystyle \sum a_{n}e^{i\lambda _{n}t))

med endelig sum og reel . Omvendt er enhver sådan serie en udvidelse af en eller anden periodisk Besicovitch-funktion (ikke unik). $\sum {a_{n}^{2))$ $\lambda_n$

Rummet af næsten periodiske Besicovitch-funktioner (for ) indeholder rummet af næsten periodiske Weyl-funktioner. Hvis vi opretter et kvotientrum over underrummet af "nul" funktioner, kan det identificeres med rummet af funktioner på Bohr-komprimeringen af reelle tal. ${\displaystyle B^{p))$ $p\geqslant 1$ $W^{p}$ $L^{p}$

Næsten periodiske funktioner på lokalt kompakte Abelske grupper

Med den teoretiske udvikling og fremkomsten af abstrakte metoder ( Peter-Weil theorem , Pontryagin dualitet og Banach algebraer ), blev en generel teori mulig. Grundtanken om næsten periodicitet med hensyn til en lokalt kompakt abeliaansk gruppe G er reduceret til ideen om en funktion F , således at parallelle oversættelser på G danner et relativt kompakt sæt . Tilsvarende er rummet for næsten periodiske funktioner normlukningen af endelige lineære kombinationer af tegn i gruppen G . Hvis G er kompakt, er næsten periodiske funktioner det samme som kontinuerlige funktioner. $L^{\infty }(G)$

Bohr-komprimeringen af G er den kompakte Abelske gruppe af alle muligvis diskontinuerlige karakterer af gruppen dual til G , og er en kompakt gruppe, der indeholder G som en tæt undergruppe. Rummet af ensartet næsten periodiske funktioner på G kan identificeres med rummet for alle kontinuerte funktioner på Bohr-komprimeringen af G . Mere generelt kan Bohr-komprimeringen defineres for enhver topologisk gruppe G , og rum med kontinuerte eller funktioner på Bohr-komprimeringen kan betragtes som næsten periodiske funktioner på G. For lokalt kompakte forbundne grupper G er en afbildning fra G til dens Bohr-komprimering injektiv, hvis og kun hvis G er en central forlængelse af en kompakt gruppe eller ækvivalent et produkt af en kompakt gruppe med et endeligt-dimensionelt vektorrum. $L^{p}$

Kvasi-periodiske signaler i lydbehandling og musiksyntese

I talesignalbehandling , audiosignalbehandling og musiksyntese har et kvasi -periodisk signal en bølgeform , der er mikroskopisk periodisk , men ikke nødvendigvis makroskopisk periodisk. Dette giver ikke en kvasi-periodisk funktion i betydningen af Wikipedia-artiklen med det navn, men noget mere som en næsten periodisk funktion, der er en næsten periodisk funktion, hvor enhver periode er praktisk talt identisk med tilstødende perioder, men ikke nødvendigvis ligner perioder mere end fjernt i tid. Dette gælder for musikalske toner (efter den indledende transient), hvor alle harmoniske eller overtoner er harmoniske (det vil sige, at alle overtoner har en frekvens, der er et multiplum af referencefrekvensen af tonen).

Hvis signalet er fuldstændig periodisk med punktum , så opfylder signalet identiteten $x(t)\$ $P\$

x(t)=x(t+P)\qquad \forall t\in \mathbb {R}

eller

{\Big |}x(t)-x(t+P){\Big |}=0\qquad \forall t\in \mathbb {R} .\

Repræsentationen i form af en Fourier-serie bliver

x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}a_{n}\cos(2\pi nf_{0}t)-b_{ n}\sin(2\pi nf_{0}t){\big ]}

eller

x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}\cos(2\pi nf_{0}t+\varphi _{n})

hvor er referencefrekvensen og koefficienterne for Fourier-serien er $f_{0}={\frac {1}{P))$

a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\,dt\

a_{n}=r_{n}\cos \left(\varphi _{n}\right)={\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{ 0}+P}x(t)\cos(2\pi nf_{0}t)\,dt\qquad n\geq 1

b_{n}=r_{n}\sin \left(\varphi _{n}\right)=-{\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_ {0}+P}x(t)\sin(2\pi nf_{0}t)\,dt\

hvor kan være ethvert tidspunkt i området .

t_{0}\

-\infty <t_{0}<+\infty \

Referencefrekvensen og koefficienterne for Fourier-rækken, ,, eller, er konstanter, dvs. afhænger ikke af tid. Harmoniske frekvenser er multipla af referencefrekvensen. $f_{0}\$ $a_{n}\$ $b_{n}\$ $r_{n}\$ $\varphi _{n}\$

Hvis er kvasi-periodisk , så $x(t)\$

x(t)\approx x{\big (}t+P(t){\big )}\

eller

{\Big |}x(t)-x{\big (}t+P(t){\big )}{\Big |}<\varepsilon \

hvor

0<\epsilon \ll {\big \Vert }x{\big \Vert }={\sqrt {\overline {x^{2))))={\sqrt {\lim _{\tau \ til \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{-\tau /2}^{\tau /2}x^{2}(t)\,dt)).\

Nu bliver Fourier-seriens repræsentation

x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}(t)\cos \left(2\pi n \int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)-b_{n}(t)\sin \left(2\pi n\int _{0}^ {t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)\right]

eller

x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _ {0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(t)\right)

eller

x(t)=a_{0}(t)+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi \int _{0} ^{t}f_{n}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(0)\right)

hvor måske er den tidsvarierende referencefrekvens, og de tidsvarierende koefficienter for Fourier-serien er $f_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}$

a_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}\int _{tP(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\,d\tau \

a_{n}(t)=r_{n}(t)\cos {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}={\frac {2}{P(t )}}\int _{tP(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\cos {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau { \big )}\,d\tau \qquad n\geq 1

b_{n}(t)=r_{n}(t)\sin {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}=-{\frac {2}{P( t)}}\int _{tP(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\sin {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \

og den øjeblikkelige frekvens for hver harmonisk er

f_{n}(t)=nf_{0}(t)+{\frac {1}{2\pi }}\varphi _{n}^{\prime }(t).\,

I modsætning til det kvasi-periodiske tilfælde er referencefrekvensen , harmoniske frekvenser og koefficienter for Fourier-serien , eller ikke nødvendigvis konstante og er funktioner af tid, omend langsomt skiftende . $f_{0}(t)\$ $f_{n}(t)\$ $a_{n}(t)\$ $b_{n}(t)\$ $r_{n}(t)\$ $\varphi _{n}(t)\$

Frekvenser er meget tæt på harmoniske, men ikke nødvendigvis præcis det. Den tidsafledede af , dvs . har virkningen af frekvensmismatch af den nøjagtige heltals harmoniske værdi . Hurtigt varierende betyder, at den øjeblikkelige frekvens for den harmoniske er skarpt væk fra den heltallige harmoniske værdi, hvilket betyder, at den ikke er kvasi-periodisk. $f_{n}(t)$ $\varphi _{n}(t)$ $\varphi _{n}^{\prime }(t)$ $nf_{0}(t)$ $\varphi _{n}(t)$ $x(t)$

Kvasi-periodisk funktion

I matematik siges en funktion at være kvasi-periodisk, når den har en vis lighed med en periodisk funktion , men ikke følger den strenge definition. For at være mere præcis betyder det, at funktionen er kvasi-periodisk med en kvasi-periode , hvis , hvor er en enklere funktion end . $f$ $\omega$ $f(z+\omega )=g(z,f(z))$ $g$ $f$

Et simpelt tilfælde (nogle gange kaldet aritmetisk-kvasi-periodisk), hvor funktionen adlyder ligningen:

f(z+\omega )=f(z)+C

Et andet tilfælde (nogle gange kaldet geometrisk-kvasi-periodisk) er, at funktionen adlyder ligningen:

f(z+\omega )=Cf(z)

Et andet eksempel er funktionen:

f(z)=\sin(Az)+\sin(Bz)

Hvis forholdet A/B er rationelt, vil funktionen have en periode, men hvis A/B er irrationel er der ingen sådan periode, selvom der er en talfølge , kaldet "næsten" perioder, sådan at der for enhver , eksisterer sådan en ${\displaystyle \omega _{i))$ $\epsilon$ $jeg$

|f(z+\omega _{i})-f(z)|<\epsilon

Et andet eksempel på en funktion med næsten punktum er Jacobi theta-funktionen , hvor

\vartheta (z+\tau ;\tau )=e^{-2\pi iz-\pi i\tau}\vartheta (z;\tau )

Dette viser, at der er en kvasi-periode for fast ; det er også periodisk med periode lig med en. Et andet eksempel er Weierstrass Sigma-funktionen , som er kvasi-periodisk, med to uafhængige kvasi-perioder svarende til Weierstrass Sigma-funktionerne. $\tau$ $\tau$

Funktioner med additiv funktionel ligning

f(z+\omega )=f(z)+az+b\

også kaldet kvasi-periodisk. Et eksempel på dette er Weierstrass zeta-funktionen , hvor

\zeta (z+\omega )=\zeta (z)+\eta \

for en fast konstant , hvornår er perioden for den tilsvarende Weierstrass-funktion. $\eta$ $\omega$

Se også

Kvasi-periodisk funktion
Fourier-serien

Noter

↑ Bohr, 1925 , s. 29-127.
↑ Stepanoff, 1925 , s. 90-92.
↑ Stepanov, 1925 , s. 473-498.
↑ Weyl, 1927 , s. 338-356.
↑ Besicovitch, 1926 , s. 495-512.

Litteratur

H. Bohr. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I // Acta Math .. - 1925. - Issue. 45 .
H. Bohr. Næsten periodiske funktioner. - Chelsea, 1947. - (genoptryk).
W. Stepanoff(=VV Stepanov). Sur quelques generalizations des fonctions presque périodiques // CR Acad. Sci .. - Paris, 1925. - T. 181 .
W. Stepanoff(=VV Stepanov). Ueber einige Verallgemeinerungen der fastperiodischen Funktionen // Math. Ann .. - 1925. - Udgave. 45 .
H. Weyl. Integralgleichungen und fastperiodische Funktionen // Math. Ann .. - 1927. - Udgave. 97 .
AS Besicovitch. Om generaliserede næsten periodiske funktioner // Proc. London matematik. Soc.. - 1926. - Vol. 2 , no. 25 .
AS Besicovitch. Næsten periodiske funktioner . - Cambridge Univ. Tryk, 1932.
Luigi Amerio, Giovanni Prouse. Næsten periodiske funktioner og funktionelle ligninger. - New York-Cincinnati-Toronto-London-Melbourne: Van Nostrand Reinhold , 1971. - s. viii+184. — ( Universitetsrækken i højere matematik ). - ISBN 0-442-20295-4 .
Bochner, S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, Math. Annalen. - 1926. - T. 96 . — S. 119–147 . - doi : 10.1007/BF01209156 .
J. von Neumann. Næsten periodiske funktioner i en gruppe I.-Trans. amer. Matematik. Soc .. - 1934. - T. 36. - S. 445-492.
S. Bochner, J. von Neumann. Næsten periodisk funktion i en gruppe II // Trans. amer. Matematik. Soc .. - 1935. - T. 37 , no. 1 . — S. 21–50 .
Bredikhina, EA (2001), Næsten periodiske funktioner , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Bredikhina, EA (2001), Besicovitch næsten periodiske funktioner , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Bredikhina, EA (2001), Bohr næsten periodiske funktioner , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Bredikhina, EA (2001), Stepanov næsten periodiske funktioner , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Bredikhina, EA (2001), Weyl næsten periodiske funktioner , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4