Fredholm teori

Fredholms teori er en gren af teorien om integralligninger ; i en snæver forstand - studerer Fredholm-integralligninger , i en bred fortolkning - repræsenterer et sæt metoder og resultater i Fredholm-operatorernes spektralteori og bruger begrebet Fredholm-kerner i et Hilbert-rum .

Opkaldt efter hovedudvikleren - den svenske matematiker Erik Ivar Fredholm .

Homogene ligninger

Meget af Fredholms teori handler om at finde løsninger på integralligningen :

g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy

Denne ligning opstår naturligvis i mange problemer inden for fysik og matematik, som en inversion af en differentialligning . Det vil sige, at opgaven er at løse differentialligningen:

lg(x)=f(x)

hvor funktionen er givet og er ukendt. Her er en lineær differentialoperator . For eksempel kan du tage for den elliptiske operator : $f$ $g$ $L$ $L$

L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}

i et sådant tilfælde bliver ligningen, der løses, til Poisson-ligningen . Den generelle metode til at løse sådanne ligninger er at bruge den grønnes funktioner , det vil sige uden at handle direkte, til at forsøge at løse ligningen:

LK(x,y)=\delta (xy)

hvor er Dirac delta-funktionen . Yderligere: $\delta(x)$

g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy

Dette integral er skrevet i form af Fredholm-integralligningen . Funktionen er kendt som den grønne funktion , eller kernen af integralet . $K(x,y)$

Generelt teori, og kan tilhøre enhver mangfoldighed ; reel linje eller -dimensionelt euklidisk rum i de simpleste tilfælde. Den generelle teori kræver også ofte, at funktioner hører til et givet funktionsrum : ofte rummet af kvadrat-integrerbare funktioner eller Sobolev-rummet . $x$ $y$ $m$

Det faktisk anvendte funktionsrum bestemmes ofte ved løsning af egenværdiproblemet for en differentialoperator; det vil sige ifølge løsningerne:

L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)

hvor er egenværdier og er egenvektorer. Sættet af egenvektorer danner et Banach-rum , og hvor det naturlige indre produkt eksisterer , derefter et Hilbert-rum , som Riesz' sætning gælder . Eksempler på sådanne rum er ortogonale polynomier , der forekommer som løsninger til en klasse af andenordens almindelige differentialligninger . $\omega_{n}$ $\psi _{n}(x)$

Givet et Hilbert-rum, kan kernen skrives i formen:

K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n))}

hvor er dobbelt til . I denne form kaldes objektet ofte Fredholm-operatøren eller Fredholm-kernen . At dette er den samme kerne følger af fuldstændigheden af Hilbert-rumgrundlaget, nemlig: $\psi _{n}^{*}$ $\psi_{n}$ $K(x,y)$

\delta (xy)=\sum _{n}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)

Da det normalt stiger, falder de resulterende egenværdier for operatøren mod nul. $\omega_{n}$ $K(x,y)$

Inhomogene ligninger

Inhomogen Fredholm integralligning:

f(x)=-\omega \phi (x)+\int K(x,y)\phi (y)\,dy

kan skrives formelt som:

f=(K-\omega )\phi

Så er den formelle løsning:

\phi ={\frac {1}{K-\omega }}f

En løsning i denne form er kendt som den resolvente formalisme , hvor opløsningsmidlet er defineret som operatøren

R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}

Et givet sæt egenvektorer og egenværdier kan associeres med en opløsning af en bestemt form: $K$

R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n} -\omega }}

med løsning:

\phi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy

En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for eksistensen af en sådan løsning er en af Fredholms sætninger . Opløsningsmidlet udvides normalt til en power-serie , i hvilket tilfælde det er kendt som Liouville-Neumann-serien . Så skrives integralligningen som: $\lambda=1/\omega$

g(x)=\phi (x)-\lambda \int K(x,y)\phi (y)\,dy

Opløsningsmidlet er skrevet i en alternativ form:

R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}

Fredholms determinant

Fredholm- determinanten er normalt defineret som:

\det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatørnavn {Tr}\,K^{n}\ ret]

hvor og så videre. Den tilsvarende zeta-funktion er : $\operatørnavn {Tr}\,K=\int K(x,x)\,dx$ $\operatørnavn {Tr}\,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy$

\zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK))).

Zeta-funktionen kan opfattes som determinanten for opløsningsmidlet . Zeta-funktionen spiller en vigtig rolle i studiet af dynamiske systemer ; dette er den samme generelle type zeta-funktion som Riemann-zeta-funktionen , men i Fredholm-teoriens tilfælde er den tilsvarende kerne ukendt. Eksistensen af denne kerne er kendt som Hilbert-Poya-formodningen .

Hovedresultater

De klassiske resultater af denne teori er Fredholm-sætningerne , hvoraf den ene er Fredholm-alternativet .

Et af de vigtige resultater af den generelle teori er, at den angivne kerne er en kompakt operatør , hvor rummet af funktioner er rummet af ækvikontinuerlige funktioner.

Et fremragende relateret resultat er indekssætningen , der henviser til indekset for elliptiske operatorer på kompakte manifolds .

Historie

Fredholms artikel fra 1903 i Acta mathematica er en af de vigtigste milepæle i skabelsen af operatorteori . David Hilbert udviklede konceptet om et Hilbert-rum , blandt andet i forbindelse med studiet af Fredholm-integralligninger.

Litteratur

Shilov G.E. Matematisk analyse. Særligt kursus. — M .: Nauka, 1961. — 436 s.