Funktionel variation

Variationen af den funktionelle , eller den første variation af den funktionelle , er en generalisering af begrebet differentialet af en funktion af en variabel, den primære lineære del af stigningen af den funktionelle langs en bestemt retning. Begrebet bruges i teorien om ekstreme problemer for at opnå nødvendige og tilstrækkelige betingelser for et ekstremum. Det er denne betydning, der lægges ind i dette udtryk, startende fra værket fra 1762 af J. Lagrange [1] . J. Lagrange overvejede hovedsageligt funktionaliteterne i den klassiske variationsregning ( handling ) af formen:

J(x)=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t)) \,dt.\qquad (*)

Formel definition

Overvej ændringen af den funktionelle (*) fra et punkt i det funktionelle rum til et andet (fra en funktion til en anden). For at gøre dette laver vi en erstatning og erstatter udtrykket (*). Under antagelsen om kontinuerlig differentiabilitet er der en lighed svarende til udtrykket for differentialet af en funktion: $x(t)\mapsto x_{1}(t)-x(t)$ $L$

J(x_{1})=J(x)+J_{1}(\delta x)+\varepsilon r(x,\;x_{1}),

hvor resten er afstanden mellem funktionerne og , og . I dette tilfælde kaldes den lineære funktionelle ( første ) variation af den funktionelle og betegnes med . $|r(x,\;x_{1})|\til 0$ $\varepsilon\til 0$ $\delta x(t)=x_{1}(t)-x(t)$ $J_{1}(\delta x)$ $J(x)$ $\delta J$

Med hensyn til den funktionelle (*), for den første variation, finder lighed sted op til en højere ordensværdi end : $|r(\delta x)|$

\delta J(x)=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}(L_{x}(t,\;x(t),\;{\dot {x }}(t))\,\delta x+p(t)\,\delta {\dot {x}})\,dt=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}} (L_{x}(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t))-{\dot {p}}(t))\,\delta x\,dt+p (t)\,\delta x)|_{t_{0}}^{t_{1}},

hvor

p(t)=L_{\dot {x}}(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t))

- generaliseret momentum.

Samtidig siden $p(t)\,\delta x|_{t_{0}}^{t_{1}}=0$ $\delta x(t_{0})=\delta x(t_{1})=0.$

Ligestilling til nul af den første variation for alle er en nødvendig betingelse for det funktionelles ekstremum . For den funktionelle (*) indebærer denne nødvendige betingelse og hovedlemmaet i variationsregningen Euler-ligningen: $\delta x$ $J(x)$

{\dot {p}}(t)=L_{x}(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t)).

Variationer af højere ordrer defineres på en lignende måde.

Den generelle definition af den første variation i uendelig-dimensionel analyse blev givet af den franske matematiker René Gateaui 1913. I det væsentlige er definitionen af Gateau identisk med definitionen af Lagrange [2] .

Den første variation af den funktionelle er en homogen, men ikke nødvendigvis lineær funktionel, variationen af den funktionelle under den yderligere antagelse af linearitet og kontinuitet (in ) af udtrykket kaldes normalt for Gateaux-afledte . I moderne matematik er udtrykkene " Gato-variation ", " Gato-afledte ", " Gato-differential " mere almindeligt brugt end funktionel variation [3] . Samtidig bibeholdes udtrykket "funktionel variation" kun for funktionaler i den klassiske variationsregning. $\delta x$ $\delta J(x,\;\delta x)$

Litteratur

Lavrentiev, M. A., Lyusternik, L. A. Et kursus i variationsregning. - i 2 bind. - 2. udg. - M. - L. : ONTI, 1953.

Noter

↑ Lagrange J. Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies. — Torino, 1762.
↑ Gateaux R. Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1919. - t. 47.-s. 70-96.
↑ Matematisk encyklopædi / Ed. I. M. Vinogradova. - M . : Mir, 1977. - T. 1. - 1140 s.