Morse teori

Morse teori er en matematisk teori udviklet i 1920'erne - 1930'erne af Marston Morse , der forbinder manifoldernes algebraisk-topologiske egenskaber og adfærden af glatte funktioner på det på kritiske punkter .

En af de historisk første anvendelser af metoder til differentiel topologi i analyse . Morse kaldte teorien for "variationsregning i stort" ( engelsk variation calculus in large ), mens man startede i 1960'erne, med generaliseringen af resultaterne til uendelig-dimensionelle manifolds, begyndte Morse-teorien at blive betragtet som en underafsnit af global analyse - analyse vedr. manifolder [1] . Til gengæld blev morseteoriens metoder i Raoul Botts værker i anden halvdel af 1950'erne anvendt på rent topologiske problemer, og de opnåede resultater (først og fremmest periodicitetssætningen ) tjente stort set som grundlaget for et selvstændigt afsnit af matematik -K-teorier .

Der skelnes mellem tre successivt udviklede områder af Morse-teorien: den klassiske teori om kritiske punkter på en glat manifold , Morse-teorien for geodætik på en Riemann-manifold , som var en anvendelse af den klassiske teoris konstruktioner, og Morse -teorien. teori om Banach-manifolds , som naturligvis udvider teorien om geodætik og er direkte generalisering af den klassiske teori [2] .

Teorien om kritiske punkter på en glat manifold

Nøgleresultatet af teorien om kritiske punkter på en glat manifold er Morses lemma , som beskriver adfærden af en reel funktion på en manifold på et ikke-degenereret kritisk punkt : ifølge lemmaet eksisterer der et kort for nabolaget , således at for alle og i det hele taget har vi : $f:M\to \mathbb{R}$ $b\i M$ $(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ $U\nb$ $x_{i}(b)=0$ $jeg$ $U$

f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{{\alpha }}^{2}+x_{{\alpha +1}}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}

(Her , indekset ved punktet .) En generalisering af lemmaet til Hilbert-rum er Morse-Pale-lemmaet . $\alfa$ $f$ $b$

Et andet vigtigt resultat er relateret til anvendelsen af Morse-transformationen : hvis et sæt er kompakt, ikke skærer grænsen for manifolden og indeholder præcis et kritisk punkt, der har Morse-indekset , så er det diffeomorft i forhold til manifolden opnået ved limning indekshåndtaget . $f^{{-1}}([a,b])$ $M$ $k$ $f^{{-1}}(b)$ $f^{{-1}}(a)$ $k$

Hver morsefunktion på en glat manifold uden grænse (sådan at alle sæt er kompakte) svarer til et CW-kompleks homotopisk ækvivalent med manifolden , hvis celler er i en-til-en overensstemmelse med funktionens kritiske punkter , og dimensionen af cellen er lig med morseindekset for det tilsvarende kritiske punkt. Vigtige konsekvenser af dette resultat er morse-ulighederne . Dette resultat giver også et kraftfuldt værktøj til at studere topologien af manifolder, og ikke kun indekser er vigtige, men også antallet af kritiske punkter. For eksempel, hvis en Morse-funktion er givet på en lukket manifold , der har nøjagtigt kritiske punkter (hvis indekser er ukendte), så: $f$ $M$ $f^{{-1}}(a)$ $M$ $f$ $f:M\til R$ $m$

sagen er umulig ifølge morse-ulighederne; $m=1$
i tilfælde af : Reebs sfæresætning angiver, at er homøomorf (men generelt set ikke diffeomorf ) til en sfære ; $m=2$ $M$ $S^{n}$
tilfældet er kun muligt i nogle små dimensioner, mens det er homøomorf til Eales-Kuiper-manifolden . $m=3$ $M$

Noter

↑ Smale S. Hvad er global analyse? (engelsk) // American Mathematical Monthly. - 1969. - Bd. 76 , nr. 1 . - S. 4-9 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2316777 .
↑ Morse teori - Encyclopedia of Mathematics artikel . M. M. Postnikov , Yu. B. Rudyak

Litteratur

Milnor, J. Morse Teori / Per. fra engelsk. V. I. Arnold . - 1965. - 184 s.
V. A. Sharafutdinov. Forelæsninger. Kapitel 3: Fundamentals of Morse Theory