Serier (matematik)

En serie , også kaldet en uendelig sum , er et af de centrale begreber i matematisk analyse . I det simpleste tilfælde skrives rækken som en uendelig sum af tal [1] :

a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad

Kort note: (nogle gange starter nummereringen af vilkårene ikke fra 1, men fra 0)

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}

Her er en sekvens af reelle eller komplekse tal ; disse tal kaldes termer i rækken . $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$

For at tildele værdien af en sum til en talserie, skal du overveje sekvensen af " partielle summer ", der er resultatet af at afslutte en uendelig sum ved et eller andet led:

S_{1}=a_{1}

S_{2}=a_{1}+a_{2}

{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3))

\cdots

{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n))

\cdots

Hvis sekvensen af partielle summer har en grænse (endelig eller uendelig), så siger de, at summen af rækken er lig med. Samtidig, hvis grænsen er endelig, så siger de, at rækken konvergerer . Hvis grænsen ikke eksisterer eller er uendelig, så siges rækken at divergere [1] . $S$ $S.$

For at afklare det centrale spørgsmål i analysen, om en given serie konvergerer eller ej, er der blevet foreslået adskillige konvergenskriterier .

Numeriske serier og deres generaliseringer (se nedenfor om ikke-numeriske serier ) bruges overalt i matematisk analyse til beregninger, til analyse af forskellige funktioners adfærd, til løsning af algebraiske eller differentialligninger . Udvidelsen af en funktion i en serie kan betragtes som en generalisering af at specificere en vektor med koordinater , denne operation giver os mulighed for at reducere studiet af en kompleks funktion til analyse af elementære funktioner og letter numeriske beregninger [2] . Serier er et uundværligt forskningsværktøj ikke kun inden for matematik, men også inden for fysik, astronomi, datalogi, statistik, økonomi og andre videnskaber.

Nummerserie

Eksempler

Det enkleste eksempel på en konvergent række er summen af vilkårene for en uendelig geometrisk progression [3] med nævneren : $|q|<1$

a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\dots

Delsum Grænsen for dette udtryk er summen af en uendelig geometrisk progression [1] . For eksempel, når du får en serie, hvis sum er 2: $S_{n}=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-q)),$ $a=1,q={\frac {1}{2}}$

2=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dots

En decimal med en uendelig brøkdel kan opfattes som summen af en række [3] ; for eksempel er tallet summen af følgende serier: $\pi =3{,}1415926\dots$

3+{\frac {1}{10^{1}}}+{\frac {4}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+ {\frac {5}{10^{4}}}+{\frac {9}{10^{5}}}+\dots

Et mere kompliceret eksempel er rækken af omvendte kvadrater , som de bedste matematikere i Europa ikke kunne finde i mere end 100 år [4] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Rækken divergerer, dens sum er uendelig. Den harmoniske serie divergerer også : " Grundys serie " divergerer, dens delsummer går fra 1 til 0, så der er ingen grænse for delsummer, denne serie har ikke en sum [5] . $1+1+1+\dots$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n))={\infty }.$ $1-1+1-1+1-1\dots$

Klassifikation

En positiv serie [6] er en reel serie, hvis termer alle er ikke-negative. For positive serier eksisterer summen altid, men kan være uendelig [7] .

En alternerende serie er en reel serie, hvor fortegnene for udtrykkene veksler: plus, minus, plus, minus osv. For sådanne serier er der en simpel Leibniz-konvergenstest . Den alternerende version af ovennævnte harmoniske serie , i modsætning til sidstnævnte, konvergerer [8] :

1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)

Absolut og betinget konvergens

Det siges, at en reel eller kompleks serie konvergerer absolut , hvis en række moduler ( absolutte værdier ) af dens medlemmer konvergerer [8] :

\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|

En absolut konvergent serie konvergerer også i den sædvanlige betydning af dette koncept. Samtidig har enhver sådan serie en vigtig egenskab ved forskydning: For enhver permutation af vilkårene for en absolut konvergent række opnås en konvergent række med samme sum [9] . Især for positive konvergerende serier kan du omarrangere rækkens vilkår på nogen måde, dette påvirker ikke konvergensen og summen [10] .

Hvis en talserie konvergerer, men ikke absolut, siges den at være betinget konvergent . Eksempel:

1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\dots

Serien selv konvergerer, men rækken af dens absolutte værdier ( den harmoniske serie ) divergerer [8] .

Egenskaber for betinget konvergerende serier [8] .

Hvis en serie konvergerer betinget , så divergerer både rækken af dens positive vilkår og rækken af dens negative vilkår.
- Konsekvens (kriterium for absolut konvergens): en række reelle tal konvergerer absolut, hvis og kun hvis både rækken af dens positive led og rækken af negative led konvergerer.
( Riemanns sætning ): Ved at omarrangere vilkårene for en betinget konvergent række kan man opnå en række med en hvilken som helst given reel sum.

Operationer på rækker

Lad konvergent række og gives . Derefter: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Deres sum kaldes forskelsrækken - rækken $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n}),$ $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-b_{n}).$

Hvis begge serier konvergerer til henholdsvis og , så konvergerer deres sum og forskel også. Summen af konvergerende og divergerende rækker divergerer altid [11] :

S_{1}

S_{2}

\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=S_{1}+S_{2};\quad \sum _{n=1}^{ \infty }(a_{n}-b_{n})=S_{1}-S_{2}

, Hvis begge serier konvergerer absolut, så konvergerer summen og forskellen af disse serier også absolut [12] .

Deres Cauchy-produkt er en serie , hvor: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n))$

c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1}=a_{1}b_{1}+(a_{1}b_{2 }+a_{2}b_{1})+(a_{1}b_{3}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{1})+\dots +(a_{1}b_ {n}+a_{2}b_{n-1}+\dots +a_{n}b_{1})

Hvis mindst en af de originale serier konvergerer absolut, så konvergerer produktet af serien [13] .

Et nødvendigt kriterium for konvergens af en talserie

Serien kan kun konvergere, hvis termen (fælles term for serien) har en tendens til nul, når dens antal stiger [14] : ${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+\ldots +{a}_{n}+\ldots$ ${\displaystyle {a}_{n))$

\lim _{n\rightarrow \infty }{a}_{n}=0.

Dette er et nødvendigt tegn på konvergensen af serien, men det er ikke tilstrækkeligt - for en harmonisk række , for eksempel, falder det almindelige udtryk uendeligt med stigende antal, ikke desto mindre divergerer serien. Hvis rækkens fællesled ikke har en tendens til nul, så divergerer rækken bestemt [14] .

Konvergent serie

Ejendom 1. Hvis serien

\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}={a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a }_{4}+\ldots

(1.1)

konvergerer og dens sum er , så serien $S$

\sum _{n=1}^{\infty }c{a}_{n}=c{a}_{1}+c{a}_{2}+c{a}_{3 }+c{a}_{4}+\ldots

(1.2)

hvor er et vilkårligt tal, konvergerer også og dets sum er . Hvis serie (1.1) divergerer og , så divergerer serie (1.2). $c$ $cS$ $c\neq 0$

Ejendom 2 ( foreningsret ). I en konvergent serie kan du vilkårligt kombinere nabomedlemmer i grupper uden at overtræde deres rækkefølge [15] .

Denne egenskab kan bruges til at bevise divergensen af en serie: hvis der efter den specificerede gruppering opnås en divergerende serie, så divergerer den originale serie også.

Uløste problemer

Det er stadig uvist, om Flint Hills-serien konvergerer [16 ] :

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatørnavn {cosec} ^{2}(n)}{n^{3))))

Hvis det er muligt at bevise, at denne serie konvergerer, vil der som konsekvens vise sig en vigtig kendsgerning: målet for et tals irrationalitet er $\pi$ mindre end 2,5.

Det er kendt, at summen af en række af inverse kvadrater og summen af andre serier med gensidige lige potenser udtrykkes i form af potenser af et tal, $\pi,$ men man ved kun lidt om summen af inverse terninger (" Aperis konstant "):

{\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\ frac {1}{4^{3}}}+\dots \approx 1{,}2020569

Ingen har endnu været i stand til at forbinde denne værdi med klassiske konstanter eller elementære funktioner [17] .

Serier med ikke-numeriske medlemmer

Begrebet en uendelig række og dens sum kan introduceres ikke kun for tal, men også for andre matematiske objekter , for hvilke addition og begrebet nærhed er defineret, hvilket gør det muligt at bestemme grænsen. For eksempel er rækker af funktioner meget udbredt i analyse : power-serier , Fourier-serier , Laurent-serier . Seriens medlemmer kan også være vektorer , matricer osv.

Generel definition

En serie (eller en uendelig sum ) i matematik er en sekvens af elementer ( medlemmer af en given serie ) af et topologisk vektorrum , betragtet sammen med et sæt af delsummer af seriens medlemmer (delsum er defineret i samme måde som i numeriske serier). Hvis der er defineret en grænse for en sekvens af partielle summer : så kaldes værdien summen af den givne række, og selve rækken kaldes konvergent (ellers divergent ) [18] . $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$ $S=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n},$ $S$

Serier kan altid adderes eller trækkes fra led for led, og summen og forskellen af konvergente rækker konvergerer også. Hvis termerne for serien er taget fra en ring eller et felt , danner serien selv en ring med hensyn til addition og Cauchy-produktet .

Funktionel serie

Definition og egenskaber

En serie kaldes funktionel, hvis alle dens medlemmer er funktioner defineret på et sæt:

a_{1}(x)+a_{2}(x)+a_{3}(x)+\ldots +a_{n}(x)+\ldots ;\quad

kort bemærkning:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x)

Delsummer i dette tilfælde er også funktioner defineret på samme sæt. En serie kaldes konvergent på sættet, hvis en serie med faste tal konvergerer [2] : $x$ $x_{0}\i X$

a_{1}(x_{0})+a_{2}(x_{0})+a_{3}(x_{0})+\ldots +a_{n}(x_{0})+ \ldots

Sættet kaldes seriens konvergensregion . Summen af serien er åbenbart også en funktion på $x$ $x.$

Et eksempel er serieudvidelsen af en rationel brøk:

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Denne serie konvergerer i intervallet . $(-1;\;1)$

Blandt hovedtyperne af funktionelle serier:

power-serier (især Taylor-serien );
trigonometriske serier ; især Fourier-serier ;
rækker af Laurent .

Ud over den "punktvise" konvergens, der er defineret ovenfor, kan andre nærhedsnormer bruges i forskellige rum , som eksistensen af grænsen for delsummer afhænger af. For eksempel kan man definere "Chebyshev-normen" [19] .

Ensartet konvergens

Generelt kan en sums egenskaber afvige fra egenskaberne for en rækkes vilkår - for eksempel er summen af en række kontinuerte funktioner muligvis ikke kontinuert [20] .

En funktionel serie, der konvergerer på en mængde, siges at konvergere ensartet (på dette sæt) [21], hvis sekvensen af delsummer af rækken konvergerer ensartet på . $x$ $x$

Der er flere tegn, der gør det muligt at verificere seriens ensartede konvergens [21] :

Betydningen af begrebet ensartet konvergens af en række vises af følgende sætninger (alle funktioner antages at være reelle).

Summen af en række funktioner, der er kontinuerte på et tidspunkt, vil selv være kontinuerte på det tidspunkt, forudsat at den funktionelle række konvergerer ensartet i punktet. Især summen af en ensartet konvergent række af reelle funktioner, der er kontinuerte på et segment, vil også være kontinuerte på dette segment [22] . $x_{0}$ $x_{0}$ $[a,b],$
Hvis funktionerne kontinuerligt kan differentieres på intervallet og begge serier: $f_{n}(x)$ $[a,b]$

f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\dots

{\frac {df_{1}(x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{ dx}}+\dots

konvergere på , og rækken af afledte konvergerer ensartet, så har summen af rækken en afledt, og rækken kan differentieres led for led [23] :

[a,b]

{\frac {d}{dx}}(f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\dots )={\frac {df_{1} (x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{dx}}+\dots

Hvis funktionerne er kontinuerte på intervallet, og rækken konvergerer ensartet til funktionen, så kan rækken integreres led for led [24] : $f_{n}(x)$ $[a,b]$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\dots$ $[a,b]$ $F(x),$

\int \limits _{a}^{b}F(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{f_{n }}(x)dx

Den ensartede konvergensbetingelse garanterer, at serien til højre konvergerer.

Hvis funktionerne er Riemann-integrerbare på et segment, og rækken konvergerer ensartet til funktionen, så vil summen af rækken også være Riemann-integrerbar [24] . $f_{n}(x)$ $[a,b]$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\dots$ $[a,b]$ $F(x),$

Et eksempel på en ikke-ensartet konvergent potensrække er en geometrisk progression.I intervallet konvergerer den til en funktion, men ikke ensartet (som det fremgår af summens uendelige spring, når man nærmer sig 1) [25] . $1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$ $[0,1)$ ${\frac {1}{1-x)),$

Serier af matricer

I ringen af numeriske kvadratiske matricer af en fast orden, mener vi et -kvarter af en matrix et sæt af matricer , hvis mindre endfra de tilsvarende komponenter medafvigerkomponenter er grænsen for den tilsvarende sekvens $n$ $\varepsilon$ $EN$ $EN$ $\varepsilon.$ $L$ $A_{1},A_{2},A_{3}\dots$ ${\displaystyle L_{ik))$ $A_{ik}.$

Nu er det muligt ved generelle regler at definere rækker af numeriske matricer, begrebet seriekonvergens (inklusive absolut konvergens) og summen af en konvergent række. Med andre ord konvergerer en række rækkefølgematricer , hvis rækken af dens komponenter konvergerer, og summen er en matrix, der indeholder de tilsvarende grænser for disse serier [26] . $n$ $n^{2}$

Potensrækken for matricer har formen [26] :

a_{0}I+a_{1}X+a_{2}X^{2}+a_{3}X^{3}+\dots ,

hvor er de givne numeriske koefficienter, er identitetsmatrixen , er matrixen af ukendte. Denne serie svarer til et system af numeriske serier. For at estimere dens konvergens komponerer vi den sædvanlige potensrække af komplekse tal: $a_{0},a_{1},\dots$ $jeg$ $x$ $n^{2}$

a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\dots

Lad konvergensradius for denne serie være . Så er følgende sætninger sande [26] : $R.$

Matrixpotensrækken konvergerer absolut for alle matricer placeret i nærheden af nulmatricen , hvor $\varepsilon$ $\varepsilon =R/n.$
Hvis en matrixpotensrække konvergerer i det område, hvor er en matrix med positive komponenter og er en matrix af moduli af ukendte, så konvergerer den absolut i denne region. $|X|<P,$ $P$ $|X|$

For et eksempel på en potensrække fra matricer , se Matrixeksponent . Ved hjælp af serier kan man definere standardfunktioner for kvadratiske matricer (for eksempel sinus ).

Variationer og generaliseringer

En generalisering af begrebet en serie er begrebet en dobbeltrække , hvis medlemmer ikke er nummereret med et, men med to indekser [27] .

En generalisering af begrebet summen af en række er begrebet summeringsfunktionen af en række , hvis valg gør begrebet summen af en divergerende (i klassisk forstand) række acceptabelt. Mange varianter af en sådan generalisering er blevet foreslået: Poisson-Abel-konvergens , Borel , Cesaro , Euler , Lambert og andre [28] .

Historie

Oldtidsperiode

Gamle matematikere , i overensstemmelse med den pythagoræiske ideologi , afviste alle faktisk uendelige begreber, inklusive uendelige rækker. Der har dog været nogle begrænsede anvendelser af seriekonceptet. For eksempel fandt Archimedes , for at beregne arealet af et segment af en parabel , faktisk summen af en uendelig geometrisk progression [29] :

1+{\frac {1}{4^{1}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+ \cdots ={4 \over 3}

Van der Waerden skriver om dette: "Archimedes taler ikke om summen af en uendeligt aftagende geometrisk progression, han kender endnu ikke udtrykket" summen af en uendelig række ", men han ejer perfekt essensen af dette koncept." I flere problemer løst af Arkimedes til beregning af areal eller volumen, bruger han i moderne terminologi øvre og nedre integral summer med et ubegrænset antal led. På grund af fraværet af begrebet en grænse , blev en besværlig udmattelsesmetode [29] brugt til at retfærdiggøre resultatet .

Kerala School

Matematikere fra Indien , der ikke var bundet af Pythagoras restriktioner, fremførte teorien om serier betydeligt og anvendte den med succes. Kerala-skolen for astronomi og matematik (det sydlige Indien) opnåede den største succes i det 15.-16. århundrede . Til astronomiske beregninger var Kerala-folket i stand til for første gang i historien at finde udvidelsen af trigonometriske og andre funktioner til uendelige rækker:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

Men de havde ikke en generel teori om sådanne udvidelser; for at opnå disse formler blev cirkelbuen rettet [30] [31] . I Europa blev en lignende serie for arctangent først udgivet af James Gregory i 1671, og serie for sinus og cosinus af Isaac Newton i 1666.

Fra serien for buetangensen fik Keralas en god tilnærmelse for tallet $\pi$ : $3{,}141592653.$

I Europa forblev resultaterne af Kerala-skolen ukendte i lang tid og blev genopdaget uafhængigt.

1600-tallet

Indtil omkring det 17. århundrede optrådte uendelige serier sjældent i europæiske matematikeres skrifter. Værd at nævne er værket af den engelske matematiker fra det 14. århundrede Richard Swainshead , som opsummerede serien [32] :

{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {2}{2^{2}}}+{\frac {3}{2^{3}}}+{\ frac {4}{2^{4}}}+{\frac {5}{2^{5}}}+...=2.

I det 17. århundrede er uendelige serier allerede af generel interesse og begynder at blive brugt til at løse mange praktiske problemer - omtrentlige beregninger , interpolation , teorien om logaritmer osv.

I 1647 opdagede Grégoire de Saint-Vincent sammenhængen mellem logaritmen og området under hyperbelen (se figur). I 1650, baseret på geometriske overvejelser, offentliggjorde den italienske matematiker Pietro Mengoli i afhandlingen " Nye aritmetiske kvadraturer " udvidelse til en uendelig række [33] : $\ln 2$

\ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}\dots

Mengoli undersøgte også andre serier og beviste, at den harmoniske serie divergerer; Mengoli viste også, at den omvendte kvadratrække konvergerer, selvom han ikke var i stand til at finde dens sum [33] .

I 1668 overvejede den tyske matematiker Nicholas Mercator (Kaufmann), der dengang boede i London, i afhandlingen " Logarithmotechnia " for første gang udvidelsen til en række af ikke tal, men funktioner, og lagde derved grundlaget for teorien om potensrækker . [33] :

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{ 4}}{4}}+\cdots

Som et universelt værktøj til studiet af funktioner og numeriske beregninger blev uendelige rækker brugt af Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz , skaberne af matematisk analyse . Tilbage i midten af det 17. århundrede opdagede Newton og Gregory den binomiale ekspansion for enhver, ikke blot en heltalseksponent (først offentliggjort i Algebra af Wallis , 1685): $\alfa$

(1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+...

Serien konvergerer kl Ved hjælp af denne formel var Newton for første gang i stand til at beregne buen af en ellipse som en serie (i moderne terminologi beregnede han det elliptiske integral ) [34] . Newton viste også, hvordan man bruger serier til at løse ligninger, herunder førsteordens differentialligninger , og udforske integraler, der ikke er udtrykt i form af elementære funktioner [35] . $|z|\leqslant 1.$

I slutningen af det 17. århundrede blev udvidelser til serier af alle elementære funktioner kendt . Leibniz og Gregory opdagede (1674) Europas første udvidelse af et nummer $\pi$ ( Leibniz-serien ):

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+ {\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots

Ved århundredeskiftet (1689-1704) udgav Leibniz' elev Jacob Bernoulli den første monografi i fem bind under titlen Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ( Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ). Han viste brugen af serier til at løse en lang række problemer.

XVIII-XIX århundreder

I 1715 udgav Brooke Taylor den grundlæggende Taylor-serie (men længe kendt af Gregory og Newton).

Et stort bidrag til teorien om serier blev lavet af Leonhard Euler . Han var den første til at finde summen af en række omvendte kvadrater , udviklede metoder til at forbedre konvergensen af serier, begyndte studiet af trigonometriske serier , foreslog begrebet en generaliseret sum af en serie egnet til divergerende serier. Selve begrebet " analytisk funktion " var forbundet med muligheden for dets repræsentation i form af en potensrække.

I det 19. århundrede byggede Cauchy og Weierstrass et stringent grundlag for analyse og især en stringent serieteori. Det vigtige koncept om ensartet konvergens blev introduceret , og forskellige kriterier for konvergens blev formuleret.

Teorien om trigonometriske serier modtog en hurtig udvikling . Daniil Bernoulli udtrykte også troen på, at enhver (kontinuerlig) funktion på et givet interval kan repræsenteres af en trigonometrisk række [36] . Diskussioner om dette emne fortsatte indtil 1807, hvor Fourier offentliggjorde teorien om repræsentationen af vilkårlige stykkevise analytiske funktioner ved hjælp af trigonometriske serier (den endelige version er indeholdt i hans Analytical Theory of Heat, 1822) [37] . For at udvide funktionen i en Fourier-række gav han integralformler til beregning af koefficienterne [37] . Fouriers fremstilling var ikke streng i moderne forstand, men indeholdt allerede en undersøgelse af konvergensen af de fleste af de serier, han opnåede. $f(x)$ $f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos {nx}+b_{n}\sin {nx})$

Samtidig blev serier i kompleks analyse , herunder Laurent-serier , bredt udviklet og brugt i det 19. århundrede . Brugen af serier i naturvidenskaberne begyndte - i himmelmekanik (for at løse problemet med tre legeme ), i optik , teorien om varmeledning , mod slutningen af århundredet - i teorien om elektromagnetisme .

I det 20. århundrede blev begrebet en serie udvidet til en bred klasse af matematiske objekter , ikke nødvendigvis numeriske.

Noter

↑ 1 2 3 Fikhtengolts, 1966 , s. 257-258.
↑ 1 2 Mathematical Encyclopedia, 1984 , s. 1068-1070.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 258-259.
↑ Vorobyov, 1979 , s. 52, 178.
↑ Vorobyov, 1979 , s. 32-33, 52-53.
↑ Vygodsky, 1977 , s. 540.
↑ Vorobyov, 1979 , s. 50-71.
↑ 1 2 3 4 Vorobyov, 1979 , s. 72-85.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 315.
↑ Vilenkin et al., 1982 , s. 55.
↑ Vilenkin et al., 1982 , s. femten.
↑ Vilenkin et al., 1982 , s. 67, ex. 56.
↑ Rudin, Walter. Principper for matematisk analyse . - McGraw-Hill, 1976. - S. 74 .
↑ 1 2 Vorobyov, 1979 , s. 38-39.
↑ Vorobyov, 1979 , s. 40-41.
↑ Flint Hills-serien . Hentet 11. maj 2019. Arkiveret fra originalen 11. maj 2019. (ubestemt)
↑ Weisstein, Eric W. Apérys konstante på Wolfram MathWorld -webstedet .
↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , s. 1063.
↑ Vilenkin et al., 1982 , s. 80-82.
↑ Vilenkin et al., 1982 , s. 86, ex. 70.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 428-432.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 430-432.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 438-439.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 436-438.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 424.
↑ 1 2 3 4 Smirnov V. I. Kursus i højere matematik. - 10. udgave - Sankt Petersborg. : BHV-Petersburg, 2010. - T. 3 del 2. - S. 369-374. — 816 s. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
↑ Vorobyov, 1979 , s. 233-258.
↑ Vorobyov, 1979 , s. 281-306.
↑ 1 2 Van der Waerden . Awakening Science. Matematik i det gamle Egypten, Babylon og Grækenland. - M. : Nauka, 1959. - S. 302-303, 309-310. — 456 s.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 202-203.
↑ Paplauskas A. B. Præ-newtonsk periode med udvikling af uendelige serier. Del I // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka, 1973. - Udgave. XVIII . - S. 104-131 .
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 275.
↑ 1 2 3 Mathematics History, bind II, 1970 , s. 158-166.
↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 231.
↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 246-247.
↑ Paplauskas A. B. Trigonometrisk serie. Fra Euler til Lebesgue. - M . : Nauka, 1966. - S. 26-27. — 277 s.
↑ 1 2 Trigonometrisk serie // Matematisk encyklopædi (i 5 bind). - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 5.

Litteratur

Vilenkin N. Ya. , Tsukerman V.V., Dobrokhotova M.A., Safonov A.N. Rows. - M . : Uddannelse, 1982. - 160 s.
Vorobyov N. N. Serie teori. - 4. udg. — M .: Nauka, 1979. — 408 s.
Vygodsky M. Ya. Håndbog i højere matematik. - 12. udg. - M . : Nauka, 1977. - 872 s.
Zorich V.A. Kapitel III. Begrænse. § 1. Sekvensgrænse// Matematisk analyse, del I. -M.: Nauka, 1981. - S. 104-114. — 544 s.
Matematikkens historie. Fra oldtiden til begyndelsen af den nye tidsalder // Mathematics History / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Matematik i det 17. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
Pismenny D.T. Del 2 // Forelæsningsnotater om højere matematik. - 6. udg. - M . : Iris-press, 2008.
Serie // Matematisk Encyklopædi (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 1063-1070.
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning, i tre bind. - 6. udg. - M . : Nauka, 1966. - T. 2. - 680 s.

Links

Savelyeva R. Yu. Højere matematik. Rækketeori .

Ordbøger og encyklopædier

Stor russer
Brockhaus og Efron
jorden rundt
Lille Brockhaus og Efron

I bibliografiske kataloger
BNE : XX526931 BNF : 11933261z GND : 4049197-3 J9U : 987007531747905171 LCCN : sh85120237 NDL : 00567344 NKC : ph128240

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række

Tegn på konvergens af serier
For alle rækker	Nødvendig tilstand Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
For tegn-positive serier	Hovedkriterium Sammenligningstegn Kummer tegn Gauss tegn Cauchys radikale tegn Integreret funktion Tegn af D'Alembert magt tegn logaritmisk tegn Tegn af Raabe Bertrand tegn Tegn på Jamet Tegn på Schlömilch Ermakovs tegn Lobachevskys tegn teleskopskilt Tegn på Sapogov
Til skiftende serier	Leibniz tegn
For rækker af formularen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tegn Tegn på Dedekind Dubois-Reymond skilt Dirichlet tegn
Til funktionelle serier	Weierstrass skilt
Til Fourier-serien	Dini tegn Tegn på de la Vallée Poussin Jordan tegn Jung tegn Salem tegn Lebesgue tegn Lebesgue-Gergen tegn Tegn af Martsinkevich