Kompakt operatør

En kompakt operatør er et koncept for funktionel analyse. Kompakte operatorer opstår naturligt i studiet af integralligninger, og deres egenskaber ligner dem for operatorer i finit-dimensionelle rum. Kompakte operatører omtales også ofte som fuldstændig kontinuerlige .

Definition

Lad være Banach mellemrum . En lineær operator siges at være kompakt , hvis den kortlægger en hvilken som helst afgrænset delmængde til en prækompakt delmængde i . $X,Y$ $T:X\to Y$ $x$ $Y$

Der er en tilsvarende definition ved hjælp af begrebet svag topologi : en lineær operator siges at være kompakt, hvis dens begrænsning til enhedskuglen i er et kontinuerligt kort med hensyn til den svage topologi i og normtopologien i . Det er klart, at egenskaben ved kompakthed er stærkere end begrænsethed. $T:X\to Y$ $x$ $x$ $Y$

Sættet af kompakte operatører er betegnet med . Det er en delmængde i rummet af afgrænsede operatorer, der virker fra til . $T:X\to Y$ ${\mathcal {K}}(X,Y)$ ${\mathcal {L}}(X,Y)$ $x$ $Y$

De enkleste egenskaber

Enhver fuldstændig kontinuert operator er afgrænset, men ikke enhver afgrænset operator er fuldstændig kontinuert [1] .
En lineær kombination af fuldstændig kontinuerte operatorer af formen , hvor er tal, er også en fuldstændig kontinuert operator [2] . $A,B$ $\alpha A+\beta B$ $\alfa ,\beta$
Lad være en fuldstændig kontinuerlig operator, der kortlægger et uendeligt dimensionelt Banach-rum ind i sig selv, og lad være en vilkårlig lineær afgrænset operator defineret på det samme rum. Så og er fuldstændig kontinuerlige operatører [2] . $EN$ $B$ $AB$ $BA$
Hvis en sekvens af fuldstændig kontinuerte operatorer, der kortlægger et rum til et komplet rum, konvergerer ensartet til en operator (dvs. ), så er det også en fuldstændig kontinuert operator. [2] [3] ${\displaystyle \left\{A_{n}\right\))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$ $EN$ $\left\|A-A_{n}\right\|\to 0$ $EN$
Hvis en operatør er kompakt, så er dens sidestykke også kompakt.

Eksempler

De mest meningsfulde eksempler på kompakte operatorer er givet af teorien om integralligninger:

Lad os tage en vilkårlig funktion . Så er integraloperatoren defineret som følger kompakt: $g\in L_{2}([0,1]\ gange [0,1])$ $T:L_{2}(0,1)\to L_{2}(0,1)$

(Tf)(t)=\int \limits _{0}^{1}g(s,t)f(s)\,ds

Lad funktionen g på kun have diskontinuitetspunkter på et endeligt antal kurver. Så er operatøren , defineret på nøjagtig samme måde som operatøren i det foregående eksempel, allerede kompakt i rummet med kontinuerlige funktioner. $[0,1]\ gange [0,1]$ $T:C(0,1)\to C(0,1)$

En diagonaloperator, der svarer til en sekvens og virker i henhold til reglen, er begrænset, hvis og kun hvis sekvensen er afgrænset, og kompakthed er ækvivalent med sekvensens konvergens til nul. ${\displaystyle T_{\lambda }:l_{2}\to l_{2))$ $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )$ $x=(x_{1},x_{2},\dots )\to (\lambda _{1}x_{1},\lambda _{2}x_{2},\dots )$ $\lambda$ $\lambda$

En inverterbar operator er kompakt, hvis og kun hvis den er finitdimensional. $A:X\to Y$ $X,Y$

Finitdimensionelle operatorer

Det er klart, at enhver lineær afgrænset operator med et finitdimensionalt billede er kompakt (sådanne operatorer kaldes finite -dimensional ). For en kompakt operator , hvor er et Hilbert-rum, eksisterer der altid en sekvens af finit-dimensionelle operatorer, der konvergerer til normen. Dette gælder dog ikke for vilkårlig plads . Et Banach-rum siges at have tilnærmelsesegenskaben , hvis en hvilken som helst kompakt operator for ethvert Banach-rum kan tilnærmes med finit-dimensionelle operatorer. Der er adskillelige Banach-rum, der ikke har den tilnærmede egenskab. $T:X\to Y$ $Y$ $T$ $Y$ $Y$ $x$ $T:X\to Y$

Egenskaber for rummet for kompakte operatører

Det følger umiddelbart af de grundlæggende egenskaber for kompakte operatører, at der er et underrum i . Det kan dog påvises, at dette underrum er lukket. I tilfældet når , erhverver rummet af operatorer strukturen af en algebra (multiplikation er givet ved sammensætningen af operatorer). Så er et lukket tosidet ideal i . ${\mathcal {K}}(X,Y)$ ${\mathcal {L}}(X,Y)$ $X=Y$ ${\mathcal {K}}(X,X)$ ${\mathcal {L}}(X)$

Tilnærmelsesegenskaben for et rum kan formuleres som følger: for ethvert Banach-rum er rummet lukningen af rummet af finit-dimensionelle operatorer fra til . $Y$ $x$ ${\mathcal {K}}(X,Y)$ $x$ $Y$

Spektralegenskaber for kompakte operatorer

Lad være en kompakt operatør. Så er operatoren en Noetherian operator med indeks 0 (Fredholm). Specielt har vi Fredholm- alternativet for : det er surjektivt , hvis og kun hvis det er injektivt (alternativet er, at enten er kernen ikke tom eller billedet falder sammen med hele rummet). Som en konsekvens opnår vi straks, at hele ikke-nul - spektret af en kompakt operator er diskret (de resterende og kontinuerte spektre kan kun indeholde nul). Nul hører altid til operatorens spektrum i det uendelige dimensionale tilfælde (ellers ville den inverterbare operator være kompakt) og er muligvis ikke en egenværdi for operatoren . $T:X\to X$ $K=IT$ $K$ $T$ $T$

I det tilfælde, hvor operatoren er selvadjoint (her Hilbert), har vi desuden Hilbert - Schmidt - sætningen : der er et endeligt eller tælligt ortonormalt system af vektorer og en sekvens af reelle tal, der ikke er nul (af samme kardinalitet som system af vektorer) , sådan at operatøren handler i overensstemmelse med reglen . Denne sætning er en naturlig generalisering af en lignende sætning for selvadjointerende operatorer i et finit-dimensionelt rum. Således ligner klassen af kompakte operatorer, set ud fra spektrale egenskaber, operatorer i et finitdimensionelt rum. $T$ $x$ $e_{1},e_{2},\dots$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots$ $T$ ${\displaystyle T(x)=\sum \limits _{n}\lambda _{n}(x,e_{n})e_{n))$

Klasser af kompakte operatører

Lad være en kompakt operatør og vær Hilbert-rum. Så er der et par endelige eller tællelige ortonormale sekvenser af samme kardinalitet i og i og en ikke-stigende sekvens af positive reelle tal (af samme kardinalitet) , der konvergerer til nul, hvis den er uendelig, sådan at operatoren handler i henhold til reglen . Denne kendsgerning er kendt som Schmidt - sætningen (den er meget lig Hilbert-Schmidt-sætningen i formuleringen, og faktisk tjener Schmidt-sætningen, med små modifikationer for en selvadjoint-operator, som et bevis for Hilbert-Schmidts sætning. teorem). Det er nemt at vise, at tallene , som kaldes Schmidt-numre, er entydigt bestemt af operatøren. $T:X\to Y$ $X,Y$ $e_{1},e_{2},\dots$ $x$ $f_{1},f_{2},\dots$ $Y$ $s_{1},s_{2},\dots$ $T$ ${\displaystyle T(x)=\sum \limits _{n}s_{n}(x,e_{n})f_{n))$ $s_{1},s_{2},\dots$

Hvis konvergerer for en operator , kaldes operatoren Hilbert - Schmidt-operatoren . Normen introduceres af relationen , og den genereres af det skalære produkt. Hvis konvergerer , så kaldes operatøren en nuklear operatør eller en operatør med et spor . På området for nukleare operatører introduceres normen af forholdet . $T$ ${\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n}^{2))$ ${\displaystyle \|T\|={\sqrt {\sum \limits _{n}^{\}s_{n}^{2))))$ ${\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n))$ $\|T\|=\sum \limits _{n}s_{n}$

Noter

↑ Krasnov, 1975 , s. 178.
↑ 1 2 3 Krasnov, 1975 , s. 179.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, Nauka, 1965

Litteratur

A. Ya Helemsky. Forelæsninger om funktionsanalyse. - MTSNMO, 2014. - 552 s. - 2000 eksemplarer. — ISBN 5-94057-065-8 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementer i teorien om funktioner og funktionel analyse. - udg. fjerde, revideret. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s. - 35.000 eksemplarer.
Krasnov M. L. Integralligninger. — M .: Nauka, 1975. — 304 s.