Mål for sæt

Målingen af et sæt er en numerisk karakteristik af et sæt; intuitivt kan det forstås som massen af et sæt med en vis fordeling af masse over rummet . Begrebet et mål for en mængde opstod i funktionsteorien for en reel variabel under udviklingen af begrebet et integral [1] .

Faktisk er et mål en bestemt numerisk funktion , der tildeler hvert sæt (fra en bestemt familie af sæt) et eller andet ikke-negativt tal. Ud over at være ikke-negativ, skal et mål som funktion også have egenskaben additivitet - målet for foreningen af usammenhængende mængder skal være lig med summen af deres mål. Det skal bemærkes, at ikke alle mængder er målbare - for hver funktion af et mål menes normalt en bestemt familie af sæt (kaldet målbare med hensyn til det givne mål), som målingen eksisterer for.

Et særligt tilfælde af et mål er Lebesgue-målet for delmængder , som generaliserer begrebet volumen , areal eller længde til tilfældet med sæt, der er mere generelle end blot afgrænset af en glat overflade. $\mathbb {R} ^{n}$ $(n=3)$ $(n=2)$ $(n=1)$

Definitioner

Lad et sæt være givet med nogle fornemme klasse af delmængder , det antages, at denne klasse af delmængder nogle gange er en ring af mængder eller en algebra af mængder , i det mest generelle tilfælde, en semiring af sæt . $x$ ${\mathcal {F}}$

En funktion kaldes et mål (nogle gange volumen ), hvis den opfylder følgende aksiomer: $\mu \colon {\mathcal {F}}\til [0,\;\infty ]$

$\mu (\varnothing )=0$ — målet for det tomme sæt er lig med nul;
For alle ikke-overlappende sæt $A,B\in {\mathcal {F)),$ $A\cap B=\varnothing$ $\mu (A\kop B)=\mu (A)+\mu (B)$ — målet for foreningen af usammenhængende mængder er lig med summen af målene for disse mængder ( additivitet, endelig additivitet ).

Det første aksiom er praktisk, men på en måde overflødigt: det er tilstrækkeligt at antage, at der er mindst én mængde med et endeligt mål, hvoraf det vil følge, at målet for den tomme mængde vil være lig med nul (ellers tilføjes en tomt sæt til ethvert sæt af endelige mål ville ændre målingen, på trods af at sættet ikke er ændret).

Det følger direkte af det andet aksiom (i tilfælde af en ring af mængder), at målet for foreningen af ethvert endeligt antal usammenhængende mængder er lig med summen af målene for disse mængder:

\mu \left(\bigcup \limits _{{i=1}}^{n}A_{i}\right)=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\mu (A_{ jeg})

I tilfælde af en definition over en semiring af mængder tages denne egenskab af finit additivitet normalt i stedet for det andet aksiom, da den endelige additivitet generelt ikke følger af parvis additivitet [2] .

Tælleligt additivt mål

Den (endelige) additivitet af en foranstaltning indebærer generelt ikke, at en lignende egenskab gælder for en tællig forening af usammenhængende mængder. Der er en særlig vigtig klasse af foranstaltninger kaldet tælleligt additive foranstaltninger.

Lad et sæt med distinguished -algebra gives . $x$ $\sigma$ ${\mathcal {F}}$

En funktion kaldes tælleligt additiv (eller -additiv ) mål, hvis den opfylder følgende aksiomer: $\mu \colon {\mathcal {F}}\til [0,\;\infty ]$ $\sigma$

$\mu (\varnothing )=0.$
( -additivitet ) Hvis er en tællig familie af parvise adskilte sæt fra , det vil sige , så: $\sigma$ $\{E_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ $E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\neq j$

\mu \left(\bigcup \limits _{{n=1}}^{\infty }E_{n}\right)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }\mu ( E_{n})

Noter

Medmindre andet er udtrykkeligt angivet, er en tællelig additiv foranstaltning normalt underforstået .
Det er klart, at enhver tællelig additiv foranstaltning er endeligt additiv, men ikke omvendt.
Hvis målet for hele rummet er endeligt, det vil sige , kaldes et sådant mål i sig selv endeligt . Ellers er målingen uendelig . $\mu (X)<\infty$

Sædvanligvis udgør mængder, der er målbare med hensyn til et givet mål, deres egen underklasse i klassen af alle undermængder af rummet . Og selvom der er flere generelle ordninger, der tillader udvidelse af foranstaltninger til store klasser af målbare sæt, er udvidelse af en måling nogle gange kun mulig på bekostning af at miste de unikke egenskaber ved den oprindelige foranstaltning. For eksempel er Lebesgue-målet i finit -dimensionelle euklidiske rum invariant under bevægelserne i dette rum. Enhver udvidelse af Lebesgue-målet til klassen af alle delmængder af det euklidiske rum kan ikke længere være invariant, selv under skift alene (se eksemplet med et umålbart sæt ). Så fra et praktisk synspunkt mister sådanne fortsættelser al værdi. $x$

På det lige og todimensionale plan er der et uendeligt antal forlængelser af Lebesgue-målet fra Borel -algebraen til mængden af alle afgrænsede delmængder, der bevarer den endelige additivitet af målet, og sådan at kongruente mængder har samme mål. Fra dimension 3 er dette umuligt. $\sigma$

Relaterede definitioner

En tripel kaldes et rum med et mål, hvis der er et målbart rum , og er et mål defineret på det. $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $(X,\;{\mathcal {F}})$ $\mu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb{R}$
Hvis er et sandsynlighedsmål , så kaldes et sådant rum med et mål et sandsynlighedsrum . $\mu$
Understøttelsen af en foranstaltning er det mindste lukkede sæt , som foranstaltningen er koncentreret om. Målbæreren betegnes normalt med . Mere præcist er det komplementet til det største åbne sæt sådan, at . $\mu$ $\operatørnavn {supp} (\mu )$ $\operatørnavn {supp} (\mu )$ $\Omega$ $\mu (\Omega )=0$

Egenskaber

Det følger af definitionen, at målet har mindst følgende egenskaber (det antages, at målet er defineret i det mindste på en semiring af sæt):

Målet for det tomme sæt er nul $\mu (\varnothing )=0$
- Denne egenskab antages enten som et aksiom i definitionen af mål, eller det antages, at der er mindst ét sæt, hvis mål er endeligt . Det følger direkte af dette, at målet for den tomme mængde skal være lig med nul (ellers vil tilføjelsen af den tomme mængde til et sæt af endelige mål øge dette sæts mål, selvom mængden ikke ændres). Tilfældet med uendelighed af alle sæts mål er uden interesse og praktisk betydning. Derfor antydes eksistensen af sæt af endelige mål fra begyndelsen.
- Fra ligheden af et sæts mål til nul følger det i det generelle tilfælde ikke, at dette sæt er tomt. Det er sædvanligt at tale om sæt af mål nul .

Monotonicitet - målet for en delmængde er ikke større end målet for selve mængden $A\subseteq B\Højrepil \mu (A)\leqslant \mu (B)$

Dette er en intuitiv egenskab - jo "mindre" sættet er, jo mindre er dets "størrelse".

Målingen af forskellen mellem indlejrede sæt er lig med forskellen på målene for disse sæt $A\subseteq B\Rightarrow \mu (B\backslash A)=\mu (B)-\mu (A)$

Målet for foreningen af to vilkårlige mængder er lig med summen af målene for disse mængder minus målet for deres skæringspunkt (hvis sidstnævnte er defineret): $\mu (A\kop B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B)$ ( inklusion-ekskluderingsformel )

Følgelig,

\mu (A\kop B)\leqslant \mu (A)+\mu (B)

Egenskaber for tællelige additive foranstaltninger

Tælleligt additive foranstaltninger, ud over de angivne, har også følgende egenskaber.

Kontinuitet: målet for grænsen for en uendelig række af indlejrede sæt er lig med grænsen for rækkefølgen af mål for disse sæt: $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}...\supseteq A=\bigcap _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \lim _{{n \rightarrow \infty }}\mu (A_{n})=\mu (A)$
- Det antages her, at målet for det første sæt er endeligt.
Denne egenskab gælder også for den "omvendte" rækkefølge af sæt $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}...\subseteq A=\bigcup _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \lim _{{n \rightarrow \infty }}\mu (A_{n})=\mu (A)$

Tællbar monotoni betyder, at målet for en delmængde af en tællig forening af mængder ikke er større end summen af målene for disse mængder: $A\subseteq \bigcup _{{i=1}}^{\infty }A_{i}\Rightarrow \mu (A)\leqslant \sum _{{i=1}}^{\infty }\mu (A_ {jeg})$

Eksempler

Jordan-målet er et eksempel på en endelig additiv foranstaltning.
Lebesgue-målet er et eksempel på en tællelig additiv foranstaltning.
Sandsynlighed er et eksempel på et endeligt mål.
Hausdorff mål
Borel mål
Haar mål
Et ultrafilter kan defineres som et endeligt additivt mål med værdier i et sæt med to elementer $\{0,1\}$

Fortsatte foranstaltninger

Det er ofte vanskeligt og unødvendigt at definere et mål eksplicit på hvert sæt fra den tilsvarende sigma-algebra (ring eller algebra) af sæt, da det er nok at definere målet på en eller anden klasse af målbare sæt, og derefter ved hjælp af standardprocedurer ( og under kendte forhold), fortsæt til ringen, algebraen eller sigma-algebraen af sæt genereret af denne klasse.

Fortsættelse fra halvcirklen

Klassen af målbare sæt i dens struktur skal være en ring af sæt (hvis målet er additivt) eller en sigma-algebra af sæt (hvis målet er tælleligt additivt), men for at specificere et mål er det i begge tilfælde nok for at definere det på en semiring af sæt - så kan målingen fortsættes på en unik måde til den minimale ring (minimal sigma-algebra) af sæt, der indeholder den originale semiring.

Lad den indledende klasse af målbare mængder have strukturen som en semiring: den indeholder et tomt sæt, og for alle mængder A og B fra deres forskel tillader en endelig opdeling i målbare mængder fra , det vil sige, at der er et endeligt sæt af usammenhængende mængder fra sådan at ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $C_{1},C_{2},...,C_{n}$ ${\mathcal {F}}_{0}$

A\setminus B=C_{1}\kop C_{2}\kop \dots \kop C_{n}

Lad betegne klassen af alle delmængder af rummet under overvejelse, der indrømmer en endelig partition i mængder fra . Klassen er lukket under operationerne differens, skæring og forening af sæt, og er således en ring af sæt, der indeholder (og naturligvis minimal). Enhver additiv funktion på kan entydigt udvides til en additiv funktion på, hvis og kun hvis dens værdier er kompatible på . Dette krav betyder, at for enhver samling af usammenhængende sæt og fra , hvis deres forening er den samme, så skal summen af deres mål også være den samme: ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $\mu$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $B_{1},B_{2},...,B_{m}$ ${\mathcal {F}}_{0}$

Hvis , så .

\bigcup \limits _{{i=1}}^{{n}}A_{i}=\bigcup \limits _{{j=1}}^{{m}}B_{j}

\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\mu (A_{i})=\sum \limits _{{j=1}}^{{m}}\mu (B_{ j})

Eksempel

Lad og vær klasser af målbare sæt på rum og med strukturen som en semiring. Sæt af formen , hvor , danner en semiring af sæt på rummet . ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\mathcal {F}}_{2}$ $X_{1}$ $X_{2}$ $A\ gange B$ $A\in {\mathcal {F}}_{1}$ $B\in {\mathcal {F}}_{2}$ ${\mathcal {F}}$ $X=X_{1}\ gange X_{2}$

Hvis mål og er angivet på og , så defineres en additiv funktion på at opfylde konsistenskravet. Dens udvidelse til den minimale ring indeholdende kaldes det direkte produkt af foranstaltningerne og er betegnet med . Hvis de oprindelige mål var sigma-additive på deres definitionsdomæner, så vil målingen også være sigma-additiv. Dette mål bruges i teorien om multiple integraler (se Fubinis sætning ). ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\mathcal {F}}_{2}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ ${\mathcal {F}}$ $\mu (A\ gange B)=\mu _{1}(A)\mu _{2}(B)$ ${\mathcal {F}}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ $\mu =\mu _{1}\nogle gange \mu _{2}$ $\mu$

Variationer og generaliseringer

En af mulighederne for at generalisere begrebet er ladning , som kan have negative værdier

Nogle gange betragtes et mål som en vilkårlig endelig additiv funktion med et interval i en abelsk halvgruppe : for et tælleligt additivt mål er det naturlige værdiområde en topologisk abelisk halvgruppe ( topologi er nødvendig for at kunne tale om konvergens af en række mål af et tælligt antal målbare dele, hvorpå et målbart sæt er opdelt i definitionen af tællelig additivitet). Et eksempel på et ikke-numerisk mål er et mål med værdier i et lineært rum , især et projektorvurderet mål involveret i den geometriske formulering af spektralsætningen .

Noter

↑ Sazonov V.V. Mål for et sæt // Mathematical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 636. - 1184 stb. : syg. — 150.000 eksemplarer.
↑ Modeksempel for tilfældet med en semiring: lad = , = , og definer funktionen som følger: , , , . Det er let at se, at parvis additivitet og de semiring-aksiomer holder her, men der er ingen endelig additivitet. $x$ $\{1,2,3,4\}$ ${\mathcal {F}}$ $\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{1,2\},X\}$ $\mu$ $\mu (\varnothing )=0$ $\mu (\{1\})=\mu (\{2\})=\mu (\{3\})=\mu (\{4\})=1$ $\mu (\{1,2\})=2$ $\mu (X)=3$

Litteratur

Vulikh, B. Z. Et kort kursus i teorien om funktioner for en reel variabel (introduktion til teorien om integralet). — M .: Nauka, 1973. — 352 s.
Khalmosh P. Teori om foranstaltninger. - M .: Forlag for udenlandsk litteratur , 1953. - 282 s. http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3787 (bogen er en bibliografisk sjældenhed i 2011)
A. N. Kolmogorov , S. V. Fomin Elementer af teorien om funktioner og funktionel analyse Nauka, 1976.
Bogachev V. I. Fundamentals of measure theory, 2. udgave, i to bind, Research Center Regular and Chaotic Dynamics, Moscow-Izhevsk, 2006.
Bogachev V. I., Smolyanov O. G. Virkelig og funktionel analyse. Udgivere: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", Institute for Computer Research, 2009. 724 s. ISBN 978-5-93972-742-6 .
Bogachev V.I., Gaussiske foranstaltninger, Nauka, Moskva , 1997.
Bogachev V.I., Differentiable measurements and the Mallyavin calculus, Research Center Regular and Chaotic Dynamics, Moskva, 2008.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Great Soviet (1 udg.) Britannica (online) Universalis

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler